c = λν λ = longitud de onda (distancia entre crestas de la onda) 1Å(angstrom) = 10 8 cm = m

Transcripción

1 RADIACIÓN TÉRMICA Emisión y absorción de la radiación térmica - Ley de Steffan - Radiación de un cuerpo negro - Ley de Wien - Teoría de Rayleigh-Jeans - Teoría cuántica de Planck. En la Física Clásica se distinguían dos categorías de objetos: la materia y la rediación. La materia estaba formada por partículas perfectamente localizadas y que obedecían la Mecánica newtoniana. La radiación, en cambio mostraba un comportamiento ondulatorio que se manisfestaba especialmente en los fenómenos de interferencia y difracción de la luz. Se sabía que las partículas cargadas producen campos eléctricos; cuando están en movimiento producen campos magnéticos y si están aceleradas emiten radiación. James Clerk Maxwell ( ) identificó a la luz como una forma de radiación y la radiación como una onda electromagnética donde los campos eléctrico y magnético oscilan juntos, uno perpendicular al otro y la onda se mueve en una dirección perpendicular a ambos campos y a la velocidad c. c = λν λ = longitud de onda (distancia entre crestas de la onda) 1Å(angstrom) = 10 8 cm = m 1 µ = 10 4 Å 1 nm (nanometro) = 10 7 cm = 10 9 m ν = frecuencia (ciclos/s) 1Hz (Hertz) = 1 ciclo/s KHz (kilo-hertz) = 1000 ciclos/s MHz (mega-hertz) = 10 6 ciclos/s El espectro electromagnético abarca la luz visible (rango óptico) y hacia las mayores longitudes de onda el infrarrojo, microondas y radio. Para las menores longitudes de onda el ultravioleta, rayos X y rayos γ. La luz blanca está formada por distintos colores (rango de long. de onda). Cuando se la hace pasar por un prisma o red de difracción, se descompone en sus distintos colores (arco iris). No toda la radiación llega a la superficie de la tierra, algunos rangos de long. de onda son absorbidos por la atmósfera. las ventanas que dejan pasar la radiación son: 1

2 Figure 1: Radiación electromagnética 3300 λ 9000 Å Región VISIBLE λ Å INFRARROJO λ Å λ Å 1 λ 1500 cm RADIOFRECUENCIAS Afortunadamente para la vida humana, la atmósfera nos protege de la radiación UV, X y γ que es mucho mas energética. Emisión y absorción de radiación por superficies Todo cuerpo, cuya temperatura es mayor que el cero absoluto, emite radiación térmica. Clásicamente el origen estaría en la aceleración de cargas eléctricas del cuerpo, debido a la agitación térmica. De este modo, la intensidad total irradiada es función de la temperatura del cuerpo. A temperaturas mas altas, mayor movimiento al azar (o energía mayor). Una escala natural de temperatura debería indicar movimiento cero en cero grados (cero absoluto). Esta es la escala Kelvin que difiere 273 de la Celcius. Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energía radiante, tanto desde el interior como desde el exterior, la que incide desde el exterior procede de los objetos que rodean al cuerpo. Cuando la energía radiante incide sobre la superficie, una parte se refleja y la otra parte se transmite. Consideremos la energía radiante que incide desde el exterior sobre la superficie del cuerpo. Si la superficie es lisa y pulida, como la de un espejo, la mayor parte de la 2

3 Table 1: temperatura absoluta C K(Kelvin) cero absoluto congelamiento del agua temperatura del cuerpo humano ebullición del agua temperatura efectiva del sol energía incidente se refleja, el resto atraviesa la superficie del cuerpo y es absorbido por sus átomos o moléculas. Si r es la proporción de energía radiante que se refleja, y a la proporción que se absorbe, se debe de cumplir que r + a = 1. La misma proporción r de la energía radiante que incide desde el interior se refleja hacia dentro, y se transmite la proporcin a = 1 r que se propaga hacia afuera y es la energía radiante emitida por la superficie. Un buen absorbedor de radiación es un buen emisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. También podemos decir, que un buen reflector es un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor. La superficie de un cuerpo negro es un caso límite, en el que toda la energía incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energía incidente desde el interior es emitida. No existe en la naturaleza un cuerpo negro, sin embargo se puede sustituir con gran aproximación por una cavidad con una pequeña abertura. La energía radiante incidente a través de la abertura, es absorbida por las paredes en múltiples reflexiones y solamente una mínima proporción escapa (se refleja) a través de la abertura. Podemos por tanto 3

4 decir, que toda la energía incidente es absorbida. Leyes de cuerpo negro: En 1879 Stefan obtuvo una expresión empírica para la intensidad total emitida por un cuerpo en general: I T = σet 4 I T = energía total emitida por unidad de tiempo y por unidad de superficie a la temperatura T (erg s 1 cm 2 ). Se llama también potencia radiada total por cm 2. e = constante de emisividad. Depende de la naturaleza emisora de la superficie y vale entre 0 y 1. σ = constante de Stefan-Boltzmann: erg s 1 cm 2 K 4 = J s 1 cm 2 K 4 Consideremos el proceso inverso, es decir, cuando la radiación incide sobre la superficie y parte de ella es absorbida transformándose en agitación térmica. En este caso se define un coeficiente de absorción a como la relación entre la energía absorbida por la superficie y la energía incidente. Vale también entre 0 y 1. Si consideramos varias superficies de distinta naturaleza que intercambian energía por emisión y absorción, en caso de estar en equilibrio térmico, se encuentra que: e = a Ley de Kirchhoff (1895) Para el caso idealizado de un cuerpo negro, en el cual la superficie absorbe toda la energía que incide sobre él, tenemos el absorbente y emisor mas eficiente: e = a = 1 4

5 La ley de Stefan queda: I T = σt 4 Figure 2: Curvas experimentales de la distribución espectral de la energía radiada por un cuerpo negro, I(λ) en función de λ para distintas temperaturas. La distribución espectral de esta energía radiada por un cuerpo negro está dada por: I(λ)dλ, definida como la energía emitida por unidad de tiempo y de superficie, a una temperatura T y en el intervalo λ, λ+dλ. La integral de I(λ) sobre todas las longitudes de onda nos dá el área bajo las curvas y es igual a la I T definida por la ley de Stefan, proporcional a T 4. Ley de desplazamiento de Wien: En la figura se muestra que para una dada longitud de onda, I(λ) aumenta al aumentar T y el máximo de cada curva se desplaza al azul cuando aumenta T λ max 1/T T λ max = cte = cmk Dijimos que podemos representar un cuerpo negro como una cavidad en la que existe un pequeño agujero. La radiación que penetra se refleja múltiples veces en las paredes antes de salir, de modo que es prácticamente absorbida en forma total por las paredes. En el caso de equilibrio térmico la radiación emitida por las paredes interiores, que están 5

6 a cierta temperatura, es igual a la absorbida y la densidad de energía electromagnética dentro de la cavidad es constante. Esta densidad de energía depende de la longitud de onda (o frecuencia) y la llamamos ɛ λ (o ɛ ν ). ɛ λ es la densidad de energía entre λ y λ + dλ ɛ ν es la densidad de energía entre ν y ν + dν Basándose en la termodinámica clásica, Wien obtiene: ɛ λ = f(λt ) λ 5 donde la función f(λt ) no fue especificada, pero la ecuación concuerda con lo observado. Los datos experimentales referidos a distintas temperaturas se ubican sobre la misma curva, confirmando que λ 5 ɛ λ es una función universal de la variable (λt ) λ 1 T 1 = λ 2 T 2 = b = mk λ max = b T Para el caso de una estrella, se define la temperatura efectiva como su temperatura superficial si la estrella se comportara como un cuerpo negro. Conocida la T ef podemos decir en qué región del espectro electromagético radiará principalmente esa estrella. Por ejemplo: Betelgeuse: T ef = 3400K y de acuerdo a la ley de Wien: λ max = 0.290cmK 3400K = 8530 Å Es decir, cae en la región roja del espectro. Rigel: T ef = 10100K = λ max = 0.290cm K 10100K = 2870 Å; región UV. 6

7 Sol:, T ef = 5770K = λ max = 0.290cmK 5770K Ley de Rayleigh-Jeans: = 5030Å; región amarilla del espectro. A principios del siglo XX se intentó formular una teoría que evaluara la f(λt ). Para ello se consideró el comportamiento de cargas aceleradas de las paredes de una cavidad. Las cargas son la fuente de la radiación del cuerpo negro y cada una de ellas efectuaban una oscilación armónica simple, con una frecuencia definida alrededor de su posición equilibrio. Según la teoría electromagnética clásica, cada carga radía a la misma frecuencia de oscilación. En equilibrio térmico, la energía de radiación a una frecuencia determinada debe ser proporcional a la energía promedio del oscilador, ya que el oscilador y la radiación están intercambiando constantemente energía. Usando además de la teoría electromagnética, la Mecánica estadística, se llegó al siguiente resultado: N(λ)dλ = número de osciladores por unidad de volumen en el intervalo λ + dλ ɛ λ dλ = N(λ)Ēdλ (1) donde Ē es la energía promedio de los osciladores y según la Mecánica Estadística se puede hallar conociendo P (E)dE, la probabilidad de hallar un oscilador con energía entre E y E + de: La probabilidad es: Ē = 0 EP (E)dE 0 P (E)dE (2) P (E) = Ae E/kT Ley de distribución de Maxwell-Boltzmann donde k = cte de Boltzmann = erg(k) 1 = ev (K) 1 y T temperatura absoluta del sistema en equilibrio. Resolviendo las integrales en (2), obtenemos el valor medio: Ē = kt Reemplazando en (1): ɛ λ dλ = kt N(λ)dλ N(λ)dλ = 8π λ 5 λdλ representa el número de ondas estacionarias por unidad de volumen en la cavidad. 7

8 ɛ λ dλ = 8πλkT dλ λ 5 siendo f(λt ) = 8πkλT La ley de Rayleigh-Jeans concordaba con las observaciones para largas λ pero para λ cortas la discrepancia era muy grande. Esto se denominó catástrofe ultravioleta (curva discontínua del gráfico). Ley de Planck: En 1901 Max Planck obtuvo una expresión para la densidad de energía en un cuerpo negro, que se ajustaba a los experimentos. Contrariamente a lo establecido por la física clásica, establece que los osciladores en la cavidad, sólo pueden absorber o emitir radiación, no en forma contínua, sino en forma discreta, en una cantidad proporcional a la frecuencia. Planck introduce el postulado: Cualquier entidad física cuya coordenada efectúa oscilaciones armónicas simples (es una función sinusoidal del tiempo), solo puede tener una energía total: E = nhν con n = 0, 1, 2, 3... (número cuántico); h = erg seg, constante universal que se conoce como la constante de Planck y ν la frecuencia de oscilación. La energía de un oscilador que radía con una frecuencia propia ν, puede adquirir sólo determinados valores discretos (cuantificados) que se diferencian en un número entero de porciones de energía hν, llamados CUANTOS. Para hallar la expresión de ɛ ν dν, de acuerdo al postulado de Planck, usamos la misma cavidad como en el caso Rayleigh-Jeans, pero ahora la diferencia está en la forma que obtenemos la energía promedio Ē, debemos reemplazar las integrales por sumas: 8

9 Ē = n= n=0 E P (E) 0 P (E) = 0 0 nhν nhν e kt nhν e kt = hν e hν kt 1 ɛ ν dν = N(ν)dν Ē N(ν)dν = 8πν2 dν c 3 ɛ ν = 8πν3 h c 3 1 e hν kt 1 (3) ɛ λ = 8π hc λ 5 1 e hc λ kt 1 La idea de Planck de que los átomos pueden absorber o emitir energía en cantidades discretas o cuantos, es ampliada unos años más tarde por Albert Einstein, quien descubre que los cuantos de energía no están asociados solamente a los átomos, sino que es una propiedad de la radiación misma. Se puede considerar a la luz como portadora de paquetes de energía hν a los que llama fotones. La hipótesis de Planck tuvo una gran trascendencia, ya que introduce por primera vez la idea de cuantificación de la energía. Aunque debemos hacer notar que si bien se llega a una expresión correcta, pues tiene en cuenta sólo consideraciones energéticas y no mecánicas, la deducción hecha por Planck no es físicamente correcta. Veremos hacia el final del curso que la ley de Planck se deduce adecuadamente mediante la Mecánica Estadística Cuántica, considerando la cavidad con radiación como con un gas de fotones. A partir de la ley de Planck se pueden obtener las demás leyes de radiación de cuerpo negro que vimos: (4) Integrando la expresión de Planck (3) sobre todas las frecuencias obtenemos la ley de Stefan-Boltzmann, con la constante σ que toma el valor: 9

10 σ = 2π5 k 4 15h 3 c 2 erg cm 2 (K) 4 seg 1 La ley de desplazamiento de Wien se puede obtener de (4) hallando λ max para la cual la función tiene un máximo. Hacemos x = hc kt λ dɛ(x) dx = 8πk5 T 5 h 4 c 4 ɛ(x) = 8πk5 T 5 h 4 c 4 x 5 e x 1 [ ] 5x 4 (e x 1) x 5 e x = 0 (e x 1) 2 1 e x 1 5 x = 0 Se llega a una ecuación trascendente que se resuelve por aproximaciones sucesivas, resultando: x max = = = λ max T = cte hc kt λ max La ley de Rayleigh-Jeans se obtiene para frecuencias menores (hν kt ). Haciendo en (3) hν 1 se obtiene: kt ɛ ν = 8πν2 kt c 3 10