Transferencia radiativa

Transcripción

1 Capítulo 2 Transferencia radiativa Versión 18 de septiembre de 2017 Los procesos de interacción entre radiación electromagnética y materia se describen formalmente a través de la ecuación de transferencia radiativa. Este formalismo emplea como cantidad básica la intensidad de la radiación, que se relaciona con cantidades medibles como el flujo de energía. La intensidad del campo radiativo es afectada por los procesos de absorción, emisión y dispersión. Este formalismo se describe a continuación Definiciones Intensidad y cantidades derivadas La variable fundamental para la descripción del transporte de energía radiativa es la intensidad específica, I ν, que se refiere conceptualmente a un haz de radiación. Se define a partir del flujo de energía (E) por unidad de tiempo (t), área (A), frecuencia (ν) y ángulo sólido (Ω), de da dt = I ν(ˆk, r, t) ˆk ˆn dω dν, (2.1) con ˆn la normal al elemento de área da que atraviesa el haz, el cual se propaga en la dirección ˆk. I ν es función de la posición, del tiempo, de la frecuencia y del vector de propagación 1 I ν contiene información tanto de la distribución espacial y espectral del campo de radiación, como de su nivel de isotropía. Las unidades (cgs) de la intensidad específica son [erg cm 2 s 1 Hz 1 Sr 1 ]. 1 Formalmente la combinación (ˆk, ν) corresponde con el vector k = (2πν/c)ˆk. El vector de propagación, ˆk = ẑ cos θ+(ˆx cos φ+ŷ sin φ) sin θ se relaciona directamente con el ángulo sólido, dω = sin θdθdφ. 1

2 Figura 2.1: Todos los haces de radiación que salen de (1) con una apertura dada por el ángulo sólido dω 1 atraviesan la diferencial de área da 2 = r 2 dω 1, siendo r la distancia entre ambos puntos. De misma manera, aquellos que pasan por el punto (2) habiendo salido de (1) abarcan un ángulo sólido dω 2 = da 1 /r 2. Se desprende que da 1 dω 1 = da 2 dω 2. El formalismo de transferencia radiativa puede hacerse tanto en términos de la frecuencia, ν, como de la longitud de onda, λ, relacionadas mediante, I λ dλ = I ν dν I λ = c λ 2 I ν. (2.2) El signo negativo indica el sentido opuesto en los intervalos de integración. La conservación de la energía radiativa se traduce en la constancia de la intensidad específica del haz. Considerando un emisor situado en un punto (1) y un receptor en otro punto (2), tenemos que la cantidad de energía que sale de (1) y llega a (2) está dada por de 1 = I ν1 da 1 dω 1 dt dν, donde dω 1 es el ángulo sólido que abarca el receptor (2) visto desde (1). Por otro lado, la cantidad de energía recibida en (2) está dada por de 2 = I ν2 da 2 dω 2 dt dν. En el caso de conservación de la energía radiativa, se tiene de 1 = de 2 : la energía emitida dentro del cono de apertura dω 1 coincide con la captada 2

3 en el área da 2, y la recibida dentro del cono de apertura dω 2 coincide con la emitida dentro del área da 1. En virtud de que da 1 dω 1 = da 2 dω 2 (figura 2.1), tenemos I ν1 = I ν2. (2.3) La intensidad específica es constante a lo largo de la trayectoria, en ausencia de absorbedores o fuentes de radiación. Partiendo de I ν se definen algunas cantidades físicas asociadas a los momentos geométricos del campo de radiación. Intensidad media y densidad de energía La intensidad media de la radiación es el promedio de la intensidad sobre todas las direcciones. Se denota como J ν, dada por: J ν 1 4π I ν dω, (2.4) teniendo unidades de [erg cm 2 s 1 Hz 1 ]. La intensidad media tiene la misma forma funcional que la densidad de energía, u ν, que se define también integrando la intensidad sobre el ángulo sólido, u ν 1 c I ν dω = 4π c J ν ; (2.5) el factor c indica el paso de flujo a densidad. La presión de radiación tiene unidades de [erg cm 3 Hz 1 ]; representa la cantidad de energía por unidad de volumen y de rango espectral en forma de radiación. Flujo de energía El flujo de energía es una cantidad que se mide frecuentemente de manera observacional. Corresponde al primer momento de la distribución angular de la intensidad, F ν I ν cos θ dω, (2.6) teniendo unidades de [erg cm 2 s 1 Hz 1 ]. F ν representa la energía transportada por unidad de área, tiempo e intervalo espectral. El término en coseno corresponde a ˆk ˆn = cos θ, siendo ˆk la dirección de propagación de la radiación y ˆn la normal al elemento del área emisor o receptor. Para fuentes distantes con flujo F ν, la intensidad promedio está dada por I ν = F ν / Ω, con cos θ = 1 para todo fin práctico. 3

4 El flujo de energía tiene la particularidad de ser cero en el caso isotrópico. Podemos definir dos componentes de incidencia paralela y anti-paralela a una superficie, que consideramos aquí normal al eje ẑ. En coordenadas esféricas, F + ν = 2π π/2 0 0 I ν cos θ sin θdθ dϕ, F ν = 2π π/2 0 π I ν cos θ sin θdθ dϕ, (2.7) de manera que F ν = F ν + Fν. Es importante distinguir entre el flujo emitido, F ν1, y el recibido, F ν2 : cuando hay conservación de la intensidad, estos se relacionan aproximadamente como I ν F ν1 / Ω 1 = F ν2 / Ω 2, siendo Ω 1 el ángulo sólido dentro del cual se da la emisión, y Ω 2 el ángulo sólido que abarca la fuente vista por el observador. Generalmente Ω 2 Ω 1, y el flujo emitido es mucho mayor que el observado, F ν1 F ν2. En términos de variables observadas, F obs = F em Ω obs / Ω em. Para una fuente isotrópica Ω em = π, mientras que Ω obs = πδθ 2, siendo δθ el radio angular de la fuente observada. En el caso del Sol, F obs corresponde con la constante solar, s 1367 W/m 2, mientras que el flujo emitido es F em W/m 2. Una forma común de describir el flujo, especialmente en el óptico y bandas aledañas, es el sistema de magnitudes, definido de forma logarítmica, m ν = 2.5 log(f ν /F ν0 ), con F ν0 un flujo de referencia para la frecuencia ν. El sistema de magnitudes se define de manera que la estrella Vega tenga magnitud cero en las distintas bandas fotométricas. En radio-astronomía es más común el uso del Jansky, unidad lineal definida como, 1 Jy erg cm 2 s 1 Hz 1. Los flujos de referencia F ν0 aparecen expresados en Jy en la tabla 1.1 del primer capítulo. Otra cantidad de interés en astronomía es el brillo del cielo, expresado comúnmente en magnitudes por segundo de arco cuadrado, que corresponde con la intensidad específica de la emisión del cielo. Presión de radiación La presión de radiación corresponde al segundo momento de la intensidad, P ν 1 I ν cos 2 θ dω, (2.8) c teniendo unidades de [dyn cm 2 Hz 1 ], equivalentes a unidades de densidad de energía [erg cm 3 Hz 1 ]. 4

5 La intensidad específica y sus momentos caracterizan las componentes espectrales de un haz de radiación, siendo integrables sobre frecuencias, I = 0 I ν dν, u = para obtener las cantidades globales. 0 u ν dν, F = Relación con ondas electromagnéticas 0 F ν dν,... (2.9) En el capítulo 1 se definió el flujo y la densidad de energía de un campo electromagnético, S = c E 4π B = c 4π E 2ˆk, (2.10) con S el vector de Poynting, que se relaciona con la energía recibida o emitida a través de: c E = S ˆn da dt = 4π E 2 ˆk ˆn da dt = I ν ˆk ˆn da dt dν dω. (2.11) Se puede ir formalmente de la dependencia temporal de los campos a su descripción espectral a través de la transformada de Fourier. La dependencia de S con los campos es cuadrática, de donde se desprende que la definición se refiere al flujo por unidad de tiempo o por unidad de frecuencia, S(t) erg cm 2 s 1 S(ν) erg cm 2 Hz 1. Para poder definir un flujo por unidad de tiempo y de frecuencia es necesario considerar formalmente intervalos espectrales y temporales que satisfagan ω t 1. Siendo así, podemos considerar el flujo por unidad de frecuencia promediado por cada ciclo, ( ) ω S(ω) S ω = erg cm 2 Hz 1 s 1. (2.12) 2π Un campo de radiación incorporará un conjunto de ondas electromagnéticas propagándose en todas direcciones, S ω ( r) = ˆk ( ) ( ) ω c E( r, 2π 4π ω) 2 ˆk, (2.13) siendo E( r, ω) una componente de Fourier del campo eléctrico de radiación y ˆk el vector de propagación del mismo. La intensidad específica I ω considera la distribución angular de S ω, de manera que podemos identificarla con I ω ( r, ˆk) = ( ωc 8π 2 ) d { E( r, ω) 2}. (2.14) dω 5

6 Figura 2.2: (a) Campo isotrópico de radiación; (b) campo de una fuente isotrópica; (c) esfera radiando semi-isotropicamente. El cálculo de la densidad de energía, el flujo y la presión de radiación se hacen considerando, con el cuidado requerido, la geometría del mismo (fig. 2.2). Campo de radiación isotrópica Radiación isotrópica corresponde a una intensidad I ν independiente de la dirección de propagación ˆk. Este caso difiere del de una fuente isotrópica, en el cual un observador lejano ve radiación proveniente de la dirección de la fuente, no de todas direcciones. El observador, inmerso en el campo de radiación, observa la misma intensidad en todas las direcciones. Un ejemplo conocido de radiación isotrópica es el fondo cósmico de microondas (CMB). Si I ν no depende de ˆk, entonces sale de las integrales sobre dω: J ν = I ν, al ser la intensidad específica igual a la intensidad media; F ν = 0, el flujo neto de radiación es nulo, dado que rayos de luz atraviesan una superficie dada direcciones opuestas; P ν = u ν /3, a partir de la integral de cos 2 θ dω La ecuación de transferencia radiativa La conservación de la energía en un haz de radiación que se propaga entre dos puntos (1) y (2), implica I ν1 = I ν2. Esta igualdad se generaliza a lo largo de una trayectoria dada por s con la relación, di ν ds = 0. (2.15) Al considerar la interacción de la radiación con el medio deja de cumplirse la conservación de energía radiativa, y se generaliza esta relación mediante la 6

7 ecuación de transferencia radiativa. Los procesos a considerar son: emisión espontánea e inducida, absorción y dispersión Emisión espontánea Un medio emite radiación como consecuencia de que sus átomos y moléculas ocupan distintos niveles energía debido a intercambios por choques entre las partículas, por ejemplo. La emisión de radiación es una forma natural de pasar a un estado de energía menor, siguiendo el principio físico de mínima energía. De esta forma, la energía previamente adquirida por algún proceso físico se incorpora a la energía de un haz de radiación, siguiendo la expresión, de = j ν dv dω dt dν, con j ν el coeficiente de emisión [erg cm 3 s 1 Hz 1 Sr 1 ]. El aumento de la energía radiativa por emisión espontánea se describe como, di ν ds = j ν. (2.16) Frecuentemente la emisión espontánea es isotrópica y conviene describirla por unidad de masa, mediante la emisividad específica: ε ν = 4π j ν /ρ, con unidades de [erg s 1 g 1 Hz 1 ], y siendo ρ la densidad de masa Absorción y emisión inducida El proceso de absorción de radiación puede describirse de manera probabilística, fotón por fotón, de forma que la intensidad de radiación absorbida es directamente proporcional a la intensidad de la radiación incidente, di ν ds = α νi ν, (2.17) donde α ν es el coeficiente de absorción [cm 1 ]. Su inverso es el camino libre medio, l ν = 1/α ν. Para describir las propiedades de absorción de un medio en términos de la densidad numérica de absorbedores, o de su densidad de masa, podemos emplear la sección eficaz, σ ν, de cada absorbedor, α ν = n σ ν, 7

8 siendo n la densidad numérica de partículas. La sección eficaz tiene unidades de área [cm 2 ]. Alternativamente, se usa el coeficiente de opacidad, κ ν, que se relaciona con la densidad de masa, α ν = ρ κ ν, con unidades [g 1 cm 2 ]. En condiciones muy particulares, el medio es estimulado por radiación incidente y emite más radiación de la que recibe. Esta emisión estimulada es proporcional a la intensidad de la radiación incidente, y por tanto su comportamiento es físicamente más cercano al de la absorción que al de la emisión espontánea. La emisión estimulada se describe como una contribución negativa al coeficiente de absorción, α estim ν < La ecuación de transferencia radiativa y soluciones Considerando los procesos de emisión y absorción conjuntamente, obtenemos la ecuación de transferencia radiativa: di ν ds = α νi ν + j ν. (2.18) En el caso sin absorción, α ν = 0, la solución a la ecuación queda en términos lineales: s I ν (s) = I ν (s 0 ) + j ν (s ) ds. s 0 En el caso sin emisión, j ν = 0, la solución a la ecuación de transferencia queda como un decaimiento exponencial de la intensidad: I ν (s) = I ν (s 0 ) e τν, donde τ ν es la profundidad óptica, definida como: τ ν s s 0 α ν ds. (2.19) Si τ ν 1 se dice que el medio es transparente u ópticamente delgado; mientras que si τ ν 1, el medio es opaco u ópticamente grueso. Debido en parte a las incertidumbres en estimar distancias y tamaños de objetos astrofísicos, resulta más conveniente expresar la ecuación de transferencia en términos del espesor óptico: di ν dτ ν = I ν + S ν, (2.20) 8

9 donde S ν j ν /α ν es la función fuente (emisión / absorción). Expresada de esta forma, la ecuación de transferencia (2.20) tiene como solución formal: τν I ν (τ ν ) = I ν (0)e τν + S ν (τ ν)e (τν τ ν ) dτ ν. (2.21) 0 En particular, si S ν no depende de τ ν se tiene: I ν (τ ν ) = I ν (0)e τν + S ν (1 e τν ). (2.22) Para τ ν 1 tenemos I ν (τ ν ) I ν (0); mientras que si τ ν 1, I ν (τ ν ) S ν. Este comportamiento es inherente a la ecuación 2.20, donde I ν pierde su comportamiento inicial en escalas de orden τ ν 1, y tiende a adquirir las características del medio, descrito por la función fuente. En el caso particular de emisión estimulada, en lugar de una atenuación de la intensidad, se obtiene una amplificación exponencial de la misma. Podemos ver este caso tomando un coeficiente de opacidad negativo, τ ν = τ, y una función fuente negativa, S ν = S ν, de donde, I ν (τ ν ) = (I ν (0) + S ν) e τ, una amplificación exponencial para τ 1. Manifestaciones importantes de este proceso son los máseres Galácticos y extragalácticos Radiación en equilibrio termodinámico El estudio de la interacción entre materia y radiación en equilibrio termodinámico empieza históricamente con la discusión de Kirchhoff sobre los procesos involucrados, dando lugar a la ley de Kirchhoff y, posteriormente, a la distribución de Planck 2. Estos procesos son descritos por la función fuente, S ν, que en equilibrio se relaciona con la distribución de Planck La ley de Kirchhoff En 1859 Gustav Kirchhoff consideró la emisión de radiación por unidad de tiempo en una dirección ˆk, dada por una función P e (ˆk) en un punto dado (figura 2.3), junto con el proceso de absorción, descrito por la potencia de la radiación incidente, P i ( ˆk). El coeficiente de absorción, a λ, indica la fracción de la radiación absorbida por el objeto. Si el objeto está en equilibrio 2 Lectura recomendada: La teoría del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica: por Thomas S. Kuhn. 9

10 Figura 2.3: Absorción (arriba) y emisión (abajo) de radiación dentro de un cono de apertura dω en la dirección ˆk. Una fracción a λ de la radiación incidente de longitud de onda λ es absorbida. termodinámico, P e debe ser función de la temperatura y de la longitud de onda, j λ (T ), y el coeficiente de absorción será también función de la temperatura y longitud de onda, a λ (T ). Si además existe un equilibrio entre la radiación emitida y absorbida, y la radiación está en estado de equilibrio termodinámico a la misma temperatura, obtenemos la ley de Kirchhoff, j λ (T ) = a λ (T )K λ (T ) j λ(t ) a λ (T ) = K λ(t ), (2.23) donde K λ (T ) es una función de carácter universal que describe la distribución en longitud de onda de la radiación en estado de equilibrio termodinámico. Un aspecto fundamental identificado por Kirchhoff, es que el cociente j λ /a λ depende del material, mientras que la función K λ es independiente del mismo. Por tanto, la ley de Kirchhoff (2.23) se cumple para cualquier objeto en equilibrio termodinámico, independiente de sus propiedades, o de las de la radiación incidente. Un aspecto fundamental de la ley de Kirchhoff es el principio de balance detallado: el equilibrio se cumple no sólo de manera global, {potencia absorbida = potencia emitida}, sino también de manera detallada: es decir para cada dirección, intervalo de ángulo sólido, longitud de onda e incluso para cada componente de polarización La radiación de cuerpo negro El desarrollo de la teoría de cuerpo negro Hacia 1894, Planck se advocó a la búsqueda de la función K λ, la distribución espectral de la radiación en equilibrio termodinámico, conocido como el problema del cuerpo negro; un absorbedor ideal, definido por 10

11 Figura 2.4: Cuerpo negro emitiendo de manera isotrópica (rojo) después de termalizar radiación anisotrópica incidente (en azul). a λ = 1 j λ (T ) = K λ (T ), emite con esta distribución espectral y, al no reflejar la radiación incidente, es completamente negro. En 1879 Stefan había empleado argumentos termodinámicos para mostrar que la densidad de energía, u, de la radiación contenida en una cavidad de paredes negras (figura 2.4), debía satisfacer u = σt 4, siendo σ una constante. De ahí, Wien dedujo en 1893 que u debía cumplir u λ = 4π c K λ = λ 5 φ(λt ) u ν = 4π c K ν = ν 3 φ(t/ν), siendo φ una función de una sola variable. Esta es la forma original de la ley de desplazamiento de Wien. El mismo Wien buscó la expresión que mejor ajustara los datos experimentales de la época, proponiendo en 1896 la expresión K λ (T ) = bλ 5 e a/λt, con a y b constantes a determinar. Planck hizo un estudio de la interacción entre resonadores y campos electromagnéticos. Usando consideraciones termodinámicas, demostró en 1899 que la ley de distribución de Wien cumple el principio de máxima entropía. Pero experimentos con detectores infrarrojos a principios de 1900, sensibles entre 12 y 18 µm, mostraron que la distribución de Wien es inadecuada para longitudes de onda larga, lo que llevó a la búsqueda de una generalización de la misma. El 19 de octubre de 1900 Planck presentó la expresión, K λ = C λ 5 e a/λt 1, (2.24) la cual ajustaba correctamente los datos experimentales, y cumplía con el principio de máxima entropía. Esta expresión requiere que los intercambios de energía de los resonadores de Planck con el campo de radiación se divida 11

12 en un número entero de elementos, o cuantos, de dimensiones ε = hν. En 1905, Rayleigh y Jeans mostraron por separado que el postulado cuántico es incompatible con los principios clásicos, y que bajo el principio clásico de equipartición de la energía la radiación en equilibrio termodinámico debería cumplir u λ (T ) = 8πkT/λ 4, la distribución de Rayleigh-Jeans. El espectro de la radiación de cuerpo negro La distribución espectral de la radiación emitida por un absorbedor y emisor perfecto en equilibrio termodinámico a una temperatura T está descrita por la función de Planck, expresada en términos de la longitud de onda como B λ (T ) = 2hc2 /λ 5 e hc/λkt 1, (2.25) conforme a la expresión original de Planck (2.24), e introduciendo la constante de Planck, h erg s. La Planckiana se expresa comúnmente en términos de frecuencia, B ν (T ) 2hν3 /c 2 e hν/kt 1, (2.26) con la consideración de que se trata de una distribución que describe el flujo por unidad espectral, ya sea en términos de frecuencias o de longitudes de onda. Para conservar el flujo en toda banda espectral debe cumplirse, B ν dν = B λ dλ, y dado que dν = c dλ/λ 2, se introduce el cambio en el exponente. La radiación de cuerpo negro es isotrópica y no depende de la constitución del objeto, mas allá de que debe ser negro en el rango de frecuencias considerado. La función de Planck se muestra en la figura 2.5. Momentos geométricos Sus momentos geométricos de la función de Planck se calculan directamente bajo la consideración de isotropía. Intensidad media y densidad de energía: La intensidad media, J ν, es el promedio de la intensidad sobre el ángulo sólido por lo que, siendo B ν isotrópica, J ν = B ν (T ) J = 0 12 J ν (T ) dν B(T ) = σ π T 4, (2.27)

13 con σ = 2π 5 k 4 /15h 3 c erg cm 2 s 1 K 4, la constante de Stefan-Boltzmann. J es la intensidad media integrada sobre frecuencias. La densidad de energía es u ν = 4π c J ν = 4π c B ν(t ) u(t ) = at 4, donde a = 4σ/c es la constante de radiación, misma que fuera planteada por Stefan en Flujo de energía: Siendo la Planckiana isotrópica, el flujo de energía es nulo, F ν = 0. De acuerdo a la relación 2.7, podemos integrar la intensidad sobre medio hemisferio, obteniendo F ν + = πb ν (T ). Esta expresión coincide con el flujo integrado alrededor de fuente puntual isotrópica, que integrada sobre frecuencias es, F (T ) = πb(t ) = σt 4. (2.28) Presión de radiación: Para emisión isotrópica la presión de radiación se relaciona con la densidad de energía como, p ν = u ν /3. La relación integrada p = u 3 = 1 3 at 4, (2.29) viene siendo la ecuación de estado de un gas de radiación. Comportamiento de la función de Planck La función de Planck es creciente con la temperatura, B ν / T > 0, de manera consistente con el B T 4, como se describió antes. El máximo de B ν corresponde a hν/kt = η, siendo η la solución de η = 3(1 e η ) η 2.821, es decir ν max Hz (T/K). Debido a la dependencia en λ 5, el máximo de B λ corresponde a una longitud de onda distinta, dada por λkt/hc = 1/ζ, donde ζ es la solución de ζ = 5(1 e ζ ) ζ La relación resultante es la ley de desplazamiento de Wien, λ max T cm K. (2.30) En particular, con T cmb = ± K el fondo de radiación de microondas tiene máximos de emisión en λ max 1.06 mm, ν max 215 GHz. 13

14 Figura 2.5: La función de Planck, B ν (arriba) o B λ (abajo). A la izquierda en unidades lineales y a la derecha en logarítimicas. Las líneas punteadas denotan las aproximaciones de Rayleigh-Jeans y de Wien. Límites asintóticos A bajas frecuencias, definidas por hν/kt 1, la Planckiana tiende a la función de Rayleigh-Jeans, I (RJ) ν (T ) = 2ν2 kt. (2.31) c2 14

15 Esta forma funcional fue derivada por Rayleigh y Jeans en 1905 siguiendo el principio clásico de equipartición de la energía. Alguna suposición en su derivación era incorrecta, ya que la integral sobre frecuencias diverge, 0 dν. Esto se manifestaría también en que un objeto a temperatura ambiente sería extremadamente brillante en el ultravioleta extremo, problema conocido en su momento como la catástrofe ultravioleta. Para frecuencias grandes, hν/kt 1, la función de Planck tiende a la función de Wien, I RJ ν I ν (w) (T ) = 2hν3 c 2 e hν/kt, (2.32) que fue históricamente la primera descripción de la emisión de cuerpo negro. A frecuencias altas la función de Wien decrece exponencialmente con ν, por lo que es integrable y cumple cualitativamente con la ley de desplazamiento, λ max T = constante. Sin embargo, falla a frecuencias pequeñas donde predice incorrectamente I ν ν 3. Temperaturas astrofísicas La función de Planck permite asignar un valor de temperatura a una medición de flujo o intensidad, particularmente para fuentes resueltas angularmente, y valorar las condiciones físicas del emisor. Los tres principales estimadores son: La temperatura de brillo, que se define a partir de la relación I ν = B ν (T b ). La temperatura de brillo se especifica para una frecuencia determinada. En el régimen de Rayleigh-Jeans, de uso común en radioastronomía, la temperatura de brillo es una medida del flujo, T b = c2 2ν 2 k I ν. En radioastronomía la intensidad se expresa frecuentemente como una temperatura de antena, que viene siendo el promedio de la temperatura de brillo sobre el haz de la antena mas el ruido instrumental, caracterizado con la temperatura de ruido. Dado que la temperatura de brillo es generalmente función de la frecuencia, no se le usa en el régimen de Wien, donde el flujo cambia rápidamente con T. 15

16 La temperatura efectiva se define a partir del flujo integrado en el emisor, F = σ T 4 e. La temperatura efectiva es una medida del flujo integrado y se usa frecuentemente para describir tipos de estrellas. La luminosidad de una estrella está dada por L = 4πR 2 σt 4 e. Para el Sol, T e 5770 K, correspondiente a un flujo emitido de F = σ Te erg cm 2 s 1. En una estrella roja se tiene tipicamente T e 3000 K, mientras que una estrella azul puede alcanzar T e 30, 000 K. La temperatura de color se define a partir del espectro de cuerpo negro que mejor ajusta a los datos en consideración, independientemente del flujo total Ley de Kirchhoff y radiación térmica La ley de Kirchhoff, expresada inicialmente por la expresión (2.23), nos dice que para un cuerpo en equilibrio el cociente entre los coeficientes de emisión y absorción está dado por la función de Planck, j ν /α ν = B ν (T ), (2.33) es decir S ν = B ν (T ). Esta relación depende sólo del equilibrio termodinámico del medio, independientemente de las características de la radiación, descritas por I ν. Decimos que la radiación es térmica cuando S ν = B ν (T ). Más aún: podemos tener un medio estrictamente fuera de equilibrio termodinámico en el que las distribuciones estadísticas que describen al medio corresponden localmente con las de equilibrio termodinámico. En ese caso se define la temperatura como un parámetro local, T ( r), que cumple la condición de equilibrio termodinámico local (ETL = LTE, en inglés). En este caso, la función fuente es la función de Planck evaluada localmente, en términos de coordenadas o de profundidad óptica: S ν = B ν (T ( r)), o S ν = B ν (T (τ ν )). En el caso de radiación térmica en el régimen de Rayleigh-Jeans, la ecuación de transferencia puede escribirse como di ν dτ ν = I ν + B ν (T (τ ν )) dt b dτ ν = T b + T. (2.34) 16

17 Por un lado, se tiene que la emisión térmica es igual a la emisión de cuerpo negro si di ν = 0; lo cual se da para medios ópticamente gruesos, τ ν. Para un medio en equilibrio termodinámico estricto, T es independiente de τ ν, y la solución de la ecuación de transferencia puede expresarse como una relación entre la temperatura de brillo y la del medio, T b (τ ν ) = T b (0) e τν + T (1 e τν ). De manera congruente con la solución más general, la temperatura de brillo tiende a la del medio en el caso ópticamente grueso Los coeficientes de Einstein La relación entre los coeficientes de emisión y absorción descrita por la ley de Kirchhoff proviene de una relación fundamental entre estos procesos a nivel microscópico, la cual se cumple de manera general, independientemente del equilibrio, y se expresa a través de relaciones entre coeficientes introducidos por Einstein. Las relaciones entre los coeficientes de Einstein se derivan considerando un sistema cuántico idealizado con dos niveles de energía: un nivel inferior 1, de energía E 1, peso estadístico g 1, y población n 1 (numérica o por unidad de volumen); y un nivel superior 2, de energía E 2, peso estadístico g 2, y población n 2. Las transiciones entre niveles se dan mediante la emisión o absorción de un fotón de energía hν = E 2 E 1 (Fig. 2.6). De manera natural, el valor de E 2 tiene una indeterminación descrita por una función φ(ν) que representa la probabilidad de emitir o absorber un fotón de energía ν cercana a ν 0 = E/h (figura 2.6). La función está centrada en ν 0 y el ancho natural de la misma está dado por el principio de indeterminación, E t h, siendo t el tiempo típico de decaimiento desde el n 2. En la práctica deiferentes procesos contribuyen a ensanchar la función φ(ν): por ejemplo, la distribución de velocidades de las partículas contribuye con el efecto Doppler térmico, con un ensanchamiento ν ν 0 kt/mc 2. Los procesos de interacción de este sistema con la radiación son los mismos de la ecuación de transferencia radiativa: la emisión espontánea, caracterizada por el coeficiente A 21 que mide la probabilidad de transición por unidad de tiempo (s 1 ). La absorción, que depende del flujo incidente de radiación, dado por J ν para absorción isotrópica. La probabilidad de transición por absor- 17

18 Figura 2.6: Izquierda: sistema cuántico de dos niveles ilustrando el proceso de emisión espontánea, emisión inducida y absorción. Derecha: función de probabilidad de que el sistema absorba o emita un fotón de frecuencia ν. ción queda en términos del coeficiente B 12 como B 12 J donde J = 0 J ν φ(ν) dν, representa el flujo de radiación y la respuesta del sistema. El proceso de emisión estimulada, que depende del flujo incidente de radiación de manera análoga al proceso de absorción: la probabilidad de transición queda expresada en términos de un coeficiente de misma forma, B 21 J. Se dice que hay un equilibrio estadístico si el número de transiciones 1 2 es igual al de transiciones 2 1, es decir n 1 B 12 J = n2 B 21 J + n2 A 21 J = A 21 /B 21 n 1 B 12 /n 2 B 21 1, (2.35) siendo ésta una relación fundamental entre las poblaciones de los niveles y la intensidad de la radiación. Si además se tiene el equilibrio termodinámico, las poblaciones de los niveles se relacionan a través de la ley de Boltzmann, n 1 /n 2 = (g 1 /g 2 )e (E 1 E 2 )/kt, de donde, J = A 21 /B 21 (g 1 B 12 /g 2 B 21 ) e hν/kt 1. (2.36) 18

19 Identificando esta expresión con la ley de Kirchhoff, J ν = B ν, se obtienen las relaciones entre los coeficientes de Einstein: g 1 B 12 = g 2 B 21, A 21 = 2hν3 c 2 B 21. (2.37) Estas son propiedades inherentes a los sistemas cuánticos, independientes de las poblaciones de los niveles de energía, que relacionan de manera fundamental los procesos de emisión y de absorción. Este tipo de relaciones se denominan relaciones de balance detallado y pueden emplearse fuera de equilibrio termodinámico. Los coeficientes de emisión y absorción de estos sistemas vienen dados por j ν = hν 4π φ(ν)n 2A 21, α ν = hν 4π φ(ν) (n 1B 12 n 2 B 21 ). (2.38) El cociente entre los coeficientes de emisión y absorción es la función fuente, que en el caso más general viene dada por, S ν = n 2 A 21 n 1 B 12 n 2 B 21 = 2hν 3 /c 2 n 1 g 2 /n 2 g 1 1, (2.39) independientemente de las condiciones físicas del sistema. Si las poblaciones están en equilibrio y se ajustan a la ley de Boltzmann, entonces tenemos emisión térmica, S ν = B ν (T ), para ν alrededor de ν 0 = E/h. Un caso radicalmente fuera de equilibrio es el de un sistema con una sobrepoblación del nivel superior tal que n 2 g 2 < n 1 g 1. El coeficiente de absorción es entonces negativo y la radiación incidente es amplificada de manera exponencial, I ν (s) = I ν (0)e αν s, dando lugar a un efecto maser. Esta emisión se observa en regiones con choques que provocan poblaciones de niveles lejanas al equilibrio termodinámico Dispersión El proceso de dispersión pura (scattering en Inglés) consiste en la absorción y re-emisión isotrópica y coherente de radiación. El término coherente indica que las distribuciones espectrales de la radiación incidente y dispersada son iguales. La dispersión se describe mediante un coeficiente de dispersión 3, α (d) ν, que cumple: j (d) ν = α (d) ν J ν, (2.40) 3 Rybicki emplea σ ν, j (d) ν, aunque esta ya se introdujo para denotar la sección eficaz. 19

20 donde J ν es la intensidad media de la radiación. En el caso particular de dispersión sin absorción y sin emisión espontánea tenemos S ν = J ν, la ecuación de transferencia es, di ν ds = α(d) ν (I ν J ν ). (2.41) Dado que J ν es una integral de I ν, la ecuación 2.41 es de tipo integrodiferencial y no es fácilmente soluble. El término α ν (d) I ν denota la fracción de radiación interceptada por el dispersor, la cual es re-emitida isotrópicamente a través del término α ν (d) J ν. Nótese que si α ν (d) depende de ν, la distribución espectral cambia localmente, I ν (s) I ν (0), aunque no lo haga en promedio, J ν (s) = J ν (0). Un ejemplo es la dispersión de Rayleigh en la atmósfera terrestre, que siendo una función creciente con la frecuencia resulta en un Sol enrojecido y un cielo azul. En el caso de radiación térmica podemos considerar la acción conjunta de dispersión, absorción y emisión espontánea, distinguiendo el coeficiente de absorción como α ν (a). La ecuación de transferencia radiativa queda como: di ( ν ds = α ν (a) quedando la función fuente redefinida como: S ν α(a) ν ) + α ν (d) (I ν S ν ), (2.42) B ν + α ν (d) J ν α (a) ν + α (d) ν suponiendo válida la ley de Kirchhoff para la absorción, j (a) ν emisión espontánea está contenida en el término α (a) ν, (2.43) = α ν (a) B ν. La B ν, mientras que la absorción pura es α ν (a) I ν. Los términos de dispersión son aquellos proporcionales a α ν (d). A la suma de los coeficientes de dispersión y absorción, α ν (a) + α ν (d) se le denomina coeficiente de extinción. Un ejemplo concreto de su empleo es la corrección de datos fotométricos o espectroscópicos en el visible por extinción debida a la atmósfera terrestre. 20

21 Figura 2.7: Geometría de una atmósfera plano paralela. La estratificación es vertical, a lo largo de la dirección z, mientras que la línea de visión corresponde a ds = (±)dz/µ, con µ = cos θ Atmósferas plano paralelas Una atmósfera plano-paralela está estructurada a lo largo de una sola dirección, que denominaremos ẑ (figura 2.7). Esta aproximación es útil para el estudio de atmósferas delgadas en estrellas o planetas. Los tres casos que se presentan son: la deducción de la ecuación de difusión radiativa; la aproximación de Eddington, incluyendo el caso de una atmósfera gris; y una solución para la transferencia de energía radiativa en atmósferas plano-paralelas presentada por Simonneau La ecuación de difusión radiativa La ecuación de difusión radiativa se obtiene mediante la aproximación de Rosseland, que a su vez nos conduce a una relación entre el flujo de energía y el gradiente de temperatura de un medio. Se considera un medio planoparalelo estratificado cuyas propiedades físicas dependen únicamente de la coordenada z. En ese caso, la intensidad de la radiación I ν es función de z y de µ = cos θ, siendo θ el ángulo de la línea de visión con la normal al plano del medio. Usamos ds = dz/µ, para escribir la ecuación de transferencia como: µ I ν(z, µ) = (αν a + α s z ν) (I ν S ν (z)). (2.44) 21

22 El inverso de µ se denomina masa de aire. Podemos despejar I ν planteando una relación propicia para un proceso de iteración, ( ) µ Iν I ν = S ν αν a + αν s. (2.45) z A orden cero despreciamos el cambio de la intensidad con la profundidad, por lo que tenemos I ν (0) (z, µ) = S ν (0) (z). Dado que S ν (0) no depende de µ, es isotrópica J ν (0) = S ν (0). Esto es particularmente válido para un medio con emisión térmica, S ν (0) = B ν. La aproximación de Rosseland consiste en suponer que la función fuente está dada por una superposición de funciones de Planck con T = T (z). Substituyendo en la ecuación 2.45 obtenemos, a primer orden, ( ) I ν (1) µ dbν = B ν αν a + αν s. (2.46) dz Podemos entonces calcular el flujo de radiación +1 F ν (z) = 2π I ν (z, µ) µdµ = 2π 1 αν a + αν s 4π db ν = 3(αν a + αν) s dt db ν dz +1 1 µ 2 dµ dt dz. (2.47) Si integramos sobre frecuencias obtenemos la ecuación de difusión radiativa, F (z) = 16σT 3 3α R dt dz, (2.48) donde, empleando las propiedades de la función de Planck, definimos la opacidad de Rosseland como [ 1 ( ) ( ) ]/ [ 1 dbν ] db ν α R 0 αν a + αν s dν dt 0 dt dν. (2.49) La ecuación de difusión radiativa describe el flujo de energía originado por un gradiente de temperatura. Esta relación de particular utilidad en el estudio de interiores estelares Aproximación de Eddington y atmósfera gris La aproximación de Eddington para el análisis de atmósferas estelares supone un flujo semi-isotrópico, permitiendo describir la intensidad como una función lineal de µ, I ν (τ ν, µ) = a ν (τ ν ) + µ b ν (τ ν ), (2.50) 22

23 Figura 2.8: Trayectorias de rayos de luz provenientes del centro del Sol o del limbo. donde reemplazamos α ν dz por dτ ν, la profundidad óptica de la atmósfera medida a lo largo de la vertical. Las funciones a ν (τ ν ) y b ν (τ ν ) se relacionan con los momentos de la intensidad específica, es decir la intensidad media, el flujo de radiación y su presión J ν = 1 2 p ν = 2π c I ν dµ = c 4π u ν = a ν, I ν µ 2 dµ = 4π 3 a ν c. +1 F ν = 2π I ν µdµ = 4π 1 3 b ν, En particular se tiene que campos semi-isotrópicos cumplen la misma relación entre densidad y presión de radiación que en el caso isotrópico, p ν = 1 3 u ν. (2.51) Al substituir la aproximación (2.50) en la ecuación de transferencia radiativa, µ( I ν / τ ν ) = I ν S ν, se relacionan las funciones a ν y b ν con S ν. Entre las aplicaciones más conocidas de la aproximación de Eddington está la atmósfera gris, en la que la opacidad es independiente de la frecuencia, τ ν = τ. Trabajando con las funciones a y b integradas sobre frecuencias, y suponiendo un medio térmico, S = B = (σ/π)t 4, podemos relacionar T = T (τ) con la temperatura efectiva imponiendo la condición de que en la 23

24 frontera externa de la atmósfera, τ = 0, el flujo es solamente emergente e igual a F = σte 4. Se obtiene I(τ, µ) = 3σ ( 4π T e 4 µ + τ + 2 ), T 4 (τ) = 3 ( 3 4 T e 4 τ + 2 ). (2.52) 3 Vemos que T (0) 0.841T e y que T (τ) = T e en τ = 2/3. De la forma completa para la intensidad (2.52) obtenemos la ley de oscurecimiento al limbo, I(0, µ) I(0, 1) = 3 ( µ + 2 ). (2.53) 5 3 Bajo las aproximaciones de Eddington y de atmósfera gris, la intensidad en el limbo solar debe ser 0.4 veces la observada en el centro del disco del Sol La solución de Simonneau para el espectro de una atmósfera plano-paralela Edouard Simonneau (1981) presenta un tratamiento para estimar el espectro emergente de una atmósfera estelar, dado el coeficiente de opacidad κ λ, en función de la longitud de onda 4. Para τ λ 1, la ecuación de transferencia puede escribirse como de donde podemos aproximar µ I λ τ λ = I λ B λ (T (z)), (2.54) I λ = B λ + µ db λ dτ λ. (2.55) Proponemos entonces para la intensidad en la superficie (τ λ = 0) { 0 para µ < 0 I λ (0, µ) = B λ (0) + µ [db λ /dτ λ ] 0 para µ 0. (2.56) Calculamos el flujo en la superficie, F λ (0) = 2π +1 1 I λ µ dµ = πb λ (0) + 2π 3 db λ dτ λ (0). (2.57) Nótese que en una atmósfera plano-paralela el flujo integrado es constante, es decir independiente de z 5. 4 siguiendo el tratamiento original uso λ en vez de ν. 5 el flujo integrado es aproximadamente constante para una atmósfera delgada en una simetría esférica. 24

25 Procedemos a integrar sobre λ, tomando en cuenta las definiciones de opacidad media de Rosseland (ec. 2.49) y de Planck, κ p = 1 κ λ B λ dλ, (2.58) B(T ) 0 recordando α λ = ρκ λ. Empleando la relación entre el flujo y la temperatura efectiva, F = σt 4 e ; y entre la integral de la Planckiana y la temperatura inicial, B(T 0 ) = (σ/π)t (0) 4, se obtiene: F = πb(0) + 4π 3 ( κp κ R ) B(0) T (0) 4 = T 4 e 1 + 4κ p /3κ R. (2.59) Podemos ahora calcular la temperatura física en la superficie, T 0 = T (0), en función de la temperatura efectiva, siempre y cuando podamos determinar κ p (ρ, T ) y κ R (ρ, T ). En el ejemplo particular de una atmósfera gris, κ λ = cte, tenemos κ p = κ R, de donde T 0 = (3/7) 1/4 T e T e. Esta expresión se compara mejor con la solución exacta, T T e, que la solución de la aproximación de Eddington, T 0 = T e /(2) 1/ T e. Conocida la temperatura al borde de la atmósfera, podemos deducir el espectro emergente (ec. 2.57) evaluando la Planckiana y su derivada: F λ = πb λ (0) { 1 + κ p 3κ λ ( e hc/λkt 0 e hc/λkt 0 1 ) hc λkt 0 }. (2.60) En el régimen de Rayleigh-Jeans F λ πb λ (0) (1 + κ p /3κ λ ), siendo el espectro el de cuerpo negro en valores de λ donde el medio es opaco, κ λ κ p. En la región de Wien, comúnmente en el ultravioleta, { F λ πb λ (0) 1 + κ ( )} p hc, 3κ λ λkt 0 siendo F λ B λ (0)/κ λ. La mayor incertidumbre para calcular el espectro ultravioleta radica en conocer κ λ. 25