El modelo semiclásico de las propiedades de transporte: Objetivo
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- Eugenio Lucero Juárez
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1 El modelo semiclásico de las propiedades de transporte: Objetivo En el estudio de las propiedades de transporte se usa una aproximación que se basa en los principios usado para el estudio de los electrones libres, pero teniendo en cuenta la verdaderas bandas de energía del sólido. Este modelo nos va a permitir predecir la evolución de la posición (r) y del vector de onda (k) cuando se aplican solicitaciones externas sobre el material (campos eléctricos, magnéticos, gradientes de temperatura, etc). Para ello como parámetro fundamental de entrada en el modelo se van a usar las bandas de energía ε(k), sin que sea necesaria información explicita del potencial cristalino en nuestro sólido. Por tanto el objetivo es relacionar las bandas de energía con las propiedades de transporte.
2 Hipótesis del modelo semiclásico. Dadas las funciones ε n (k) en el modelo semiclásico se asociada a cada electrón una posición r, un vector de ondak y un índice de banda n. En presencia de una acción externa E(r,t), y/oh(r,t), r, n y k evolucionan siguiendo la siguientes reglas: 1. El índice de banda n es constante, es decir no se contemplan posibles transiciones inter-banda. Esta aproximación es válida siempre y cuando los campos y gradientes usados no sean muy elevados, y en todo caso es válida para campos y gradientes de los usados habitualmente en laboratorio. 2. La evolución temporal del k y r de un electrón en la banda n vienen dadas por las ecuaciones: 3. No existen electrones distintos con idéntico n, k y r diferendo en un vector del espacio reciproco. En otras palabras los niveles n,k yr y n, k+g y r son dos formas equivalentes de describir el mismo electrón. De esta forma se introducen las ideas de Bloch en este modelo. 4. En equilibrio térmico la ocupación de los estados por parte de los electrones viene dada por la estadística de Fermi-Dirac.
3 Esta modelo se enmarca dentro del concepto conocido como «límite clásico de la teoría cuántica» en el que un electrón está representado por un paquete de ondas centrado sobre un vector de ondas k que se atribuye al electrón y cuya respuesta a excitaciones externas puede ser descrito por ecuaciones clásicas. La justificación teórica de la validez del modelo no es sencilla, y no la vamos a estudiar, nos limitaremos a usarlo y comprobar sus predicciones. La primera ecuación semiclásica Se deduce de la primera ley de Newton y de la relación de Broglie. Se asume que la cantidad juega para los electrones el papel de cantidad de movimiento p A partir de esta ley se puede determinar k(t), que se conoce con el nombre de trayectoria recíproca del electrón.
4 La segunda ecuación semiclásica Es una ley cinemática que da cuenta de del movimiento electrónico. En el límite clásico la velocidad se identifica con la velocidad de grupo del paquete de ondas v g =dω/dk 1 Esta segunda ley muestra que la velocidad es normal a la superficie de energía constante que pasa por el punto k
5 El concepto de masa efectiva de los electrones Partiendo de las dos ecuaciones básicas del modelo semi-clásiso Se puede demostrar que F Es decir podemos «asumir» que el electrono se comporta como si tuviese una masa dada por la ecuación: 1 1 A la que denominaremos masa efectiva el electrón
6 La ecuación general para 3D sería: 1 1 Por tanto todo sucede como si pudiésemos sustituir la influencia del potencial cristalino sobre los electrones a través de suponer que los electrones tienen una masa efectiva m* que depende de las bandas de energía del sistema. Es decir en lugar de trabajar con la ecuación: 2 Ψ Ψ Podemos hacerlo con la ecuación: 2 Ψ Ψ
7 ε F ε F En los casos en los que el nivel de Fermi se sitúa en una zona en las masas efectivas de los electrones son negativas los electrones involucrados en los fenómenos de trasporte (aquellos con energía cercanas a nivel de Fermi) se comportarán como si tuviesen masas positivas. Este efecto permite explicar por ejemplo el que para ciertos metales los coeficientes de HALL sean positivos
8 Comparativa entre la teoría de electrones libres y el la basada en el Teorema de Bloch
9 El concepto de hueco Uno de los mejores logros del moldeo semicláscio es la explicación de fenómenos no explicables en el modelo de electrones libres, pero que tendrían sentido en aquel modelo si hubiese en el sistema partículas cargadas positivamente. Veamos como se introduce en esta teoría el concepto de hueco. 1. La contribución a la corriente de los electrones en una banda viene dada por la ecuación. Donde la integral se extiende a todos los niveles ocupados de la banda.
10 2. En una banda completamente llena no hay posibilidad de corriente, por tanto Con lo podríamos escribir la ecuación: Por tanto la corriente producida por los electrones que ocupan una determinada franja de banda es la misma que se produciría si: a. Estos niveles no estuviesen ocupados b. Los restantes niveles de la banda estuvieran ocupados por partículas de carga positiva (+e)
11 Es decir, aunque las únicas partículas existentes son los electrones, nosotros podemos considerar que la corriente es producida por otras «partículas ficticias» con carga positiva, que llenan aquellos niveles de la banda no ocupados por los electrones. A estas partículas ficticias las llamamos huecos Cuando elegimos el lenguaje de los huecos para definir una corriente, estamos considerando los niveles no-ocupados por los electrones. Se debe analizar cada banda de forma independiente, bien en el lenguaje de los electrones o bien en el lenguaje de los huecos; no se deben mezclar las descripciones en la misma banda. 2. El vector de onda total de los electrones en una banda llena es nulo. =0 Este resultados es consecuencia de la geometría de la primera zona de Brillouin. Cuando la banda esta llena a falta de un electrón, diremos que existe un hueco en esa banda. Si como hemos dicho las propiedades físicas de este hueco se deducen de la suma de todos los electrones de esta banda. Cuando falta un electrón en una banda en el estado k e el vector de onda total del sistema es k e y el vector de onda atribuible al hueco será k h =-k e
12 En este mismo lenguaje se le asigna a este hueco la energía que le falta a la banda para estar llena (la del electrón que falta cambiada de signo) ε h (k h )=-ε e (k e )
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