Implementación de DFT en sistemas periódicos
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- Josefina Belmonte Navarro
- hace 5 años
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1 Implementación de DFT en sistemas periódicos
2 Plan Red cristalina. Red recíproca. Teorema de Bloch. Bases. Pseudopotenciales. Parametros: cutoffs, kpoints..
3 Ingredientes Definición de la geometría. Red cristalina. Interacción electron-electrón: DFT. Red recíproca. Interacción electrón-red: pseudopotenciales. Funciones bases.
4 Periodicidad Celda unidad que se repite periodicemente Paralepípedo definido por tres vectores a 1 a 2 a 3 Una base de átomos en posiciones. a =x a1 y a 2 z a3 = X i 1 Y j 2 Z k 3 R =n1 a 1 n 2 a 2 n3 a 3 Una red. ni =0,±1,±2,±3, Cristal Rn 1, n 2, n 3, a = R a
5 Red recíproca Conjunto de vectores G que satisfacen G R =2 l, l=0,±1,±2,... Esto se cumple si G=m i b j =2 ij 1 b1 m2 b 2 m3 b3,con a En redes tridimensionales los vectores primitivos son a 2 a 3 a 3 a 1 a 1 a 2 b 1=2, b 2=2, b 3=2. a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3
6 Teorema de Fourier en redes cristalinas Toda función periódica f r R = f r se puede expandir r i G f r = f G e, G 1 r 3 i G con f G = f r e d r = a 1 a 2 a 3 es el volumen de la celda unidad.
7 Ley de Bragg en el lenguaje de la red recíproca k =G Donde k = k 2 k 1 es el cambio de vector de onda del rayo X en la difracción.
8 Teorema de Bloch En un sistema periódico infinito perfecto el conjunto de soluciones de ecuación de Schrödinger se pueden representar de la forma r i k r i G n, k r =e c n, G e, G Los estados monoelectrónicos en un cristal periódico perfecto se caracterizan por un índice de banda n y un vector de onda k. El conjunto de energias monoelectrónicas n, k se llama Estructura de bandas.
9 Vectores de onda Consideremos un cristal limitado por N 1 a 1, N 2 a 2, N 3 a 3 de modo que tiene N =N 1 N 2 N 3 celdas Condiciones de frontera periódicas r = r N 1 a 1 = r N 2 a 2 = r N 3 a 3 Se puede demostrar que todos los estados monoelectrónicos se catalogan con los vectores de onda n1 n2 n3 k= b1 b 2 b 3, con ni =0, 1, 2,..., N i. 1 N1 N2 N3
10 Vectores de onda n1 n2 n3 b1 b 2 b 3, con ni =n i =0,1, 2,..., N i 1. N1 N2 N3 Son exactamente N = N 1 N 2 N 3 vectores k, uno por celda. k = Si el cristal tiene M electrones por celda, hay NM electrones en todo el cristal, a cada uno de los N vectores de onda le corresponden M estados ocupados diferenciados por el índice de banda. A T=0 K los índices de banda cumplen Estados ocupados: n=1, 2,..., M Estados desocupados: n=m+1, M+2,...
11 Vectores de onda en el límite termodinámico n1 n2 n3 b1 b 2 b 3, con ni =n i =0,1, 2,..., N i 1 N1 N2 N3 Son exactamente N = N 1 N 2 N 3 vectores k, uno por celda. k = Si el cristal es infinito los vectores de onda forman un continuo. La región ocupada por los vectores de onda tiene el volumen de una celda unidad de la red recíproca, centrada en G=0. Dos vectores k que se diferencien en un vector G de la red reciproca son equivalentes. Cualquier celda elemental de la red reciproca contiene todos los k para describir todos los estados del cristal. n, k G r =e 0 i k G 0 r c n,g e G r i G =e i k r c n, G e G G 0 r i G = n, k r,
12 1ra Zona de Brillouin Los puntos de la figura pertenecen a una red reciproca en 2D. La 1ZB es el conjunto de puntos más cercanos a un punto de la red que a cualquier otro punto de esta. 1ra Zona de Brilloin de la red 3D cubica centrada en las caras (fcc). fcc es la red de los metales simples y de los semiconductores Si y GaAs.
13 1ra Zona de Brillouin vs celda unidad recíproca n1 n2 n3 b1 b 2 b 3, N1 N2 N3 con ni =n i =0,1, 2,..., N i 1 k = b 1 Dos vectores k que se diferencien en un vector G de la red reciproca son equivalentes. La celda unidad y la ZB contienen vectores k equivalentes.
14 Diagrama de bandas en la 1ZB Es imposible representar en una figura los n, k cuando los vectores de onda k forman una malla de una región espacial. En vez de eso se grafican las energías tomando los k a lo n,k largo de una trayectoria en la 1ZB.
15 Diagrama de bandas Es imposible representar en una figura los n, k cuando los vectores de onda k forman una malla de una región espacial. En vez de eso se grafican las energías tomando los k a lo n,k largo de una trayectoria en la 1ZB
16 Cálculos SCF: funciones bases Parameter
17 ! Una ecuación para cada vector k!
18
19
20 Pseudopotenciales Need fast decay to 0
21 Pseudopotenciales Objetivos Sacar del cálculo los niveles profundos (core) que no influyen en la química. Eliminar las oscilaciones de los orbitales cerca del nucleo. No importan para la química y demandan muchas ondas planas.
22
23
24 Linea continua (PS): pseudo orbitales Línea discontinua (AE): orbitales reales
25
26 Parámetros fundamentales para un calculo SCF Cuantas ondas planas? Cuantos puntos k? Metales: parámetro de smearing.
27 Cuantas ondas planas? Cutoffs Densidad de carga max G G ' =2 max G E 'cut =4 E cut Potencial de Hartree y de intercambio-correlacion
28 Cuantas ondas planas? Cutoffs Hay que hacer un estudio de convergencia Un criterio razonable E cutoff E 0.01 ev o ev N atomos
29 Cuantas ondas planas? Cutoffs Mejor es estudiar la convergencia de la propiedad que quiere calcular Un criterio razonable P E cut P 1 kbar
30 Cuantas ondas planas? Cutoffs Si quiere optimizar geometría, vea la convergencia de las fuerzas Un criterio razonable F E cut F 0.01 ev / A~ a.u. 1 a.u.=1 Ry/1bohr=13.6/ ev/a
31 Cuantas ondas planas? Cutoffs Recuerde que para la densidad de carga hay un cutoff distinto. Con pseudopotenciales de norma conservada n E cut =4 E cut Con pseudopotenciales ultrasuaves y PAW n E cut = E cut, tipicamente 6 12 Recomendación si trabaja con PP ultrasuaves: Ponga un cutoff para la densidad de carga grande (600 Ry), Optimice el cutoff de las funciones de ondas (20-45 Ry). Finalmente reduzca el cutoff de la densidad de carga.
32 Cutoff de la densidad de carga y Fast Fourier Transform V xc n r V xc G G ' via Fast Fourier Transform rompe la simetría de traslación en el espacio libre se restringe a la malla (grilla) de la FFT. Energía de un átomo de oxígeno en la posición (x,0,0) en una supercelda cúbica de 10Å de lado. Las variaciones se deben al hecho de que la FFT restringe la simetria traslacional del espacio libre.
33 Puntos k 1 E celda= N [ k i=1 f i, k i, k v xc r n r d 3 r ] 1 n r n r ' 3 3 d r d r ' E xc [n r ], 2 r r ' n1 n2 n3 k= b1 b 2 b3, N = N 1 N 2 N 3 vectores N1 N2 N3 E celda N 1, N 2, N 3 E cuando N. En la práctica, afortunadamente converge para N i ~1 30. Mientras mas grande la celda menor N i se necesita.
34 Puntos k
35 Puntos k
36 Puntos k : Parte irreducible Solamente se calculan funciones de onda para los puntos k no equivalentes por simetria. Para las demas, se hacen transformaciones de simetria en lugar de resolver las ecuaciones cuánticas.
37 Implementación de DFT en sistemas periódicos Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 1
38 Plan Red cristalina. Red recíproca. Teorema de Bloch. Bases. Pseudopotenciales. Parametros: cutoffs, kpoints.. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 2
39 Ingredientes Definición de la geometría. Red cristalina. Interacción electron-electrón: DFT. Red recíproca. Interacción electrón-red: pseudopotenciales. Funciones bases. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 3
40 Periodicidad Celda unidad que se repite periodicemente Paralepípedo definido por tres vectores a 1 a 2 a 3 Una base de átomos en posiciones. a =x a1 y a 2 z a3 = X i 1 Y j 2 Z k 3 R=n1 a 1 n 2 a 2 n3 a 3 Una red. ni =0,±1,±2,±3, Cristal Rn 1, n 2, n 3, a = R a Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 4
41 Red recíproca Conjunto de vectores G que satisfacen R =2 l, l=0,±1,±2,... G Esto se cumple si G=m i b j =2 ij 1 b1 m2 b 2 m3 b3, con a En redes tridimensionales los vectores primitivos son a 2 a 3 a 3 a 1 a 1 a 2 b 1=2, b 2=2, b 3=2. a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 5
42 Teorema de Fourier en redes cristalinas Toda función periódica f r R = f r se puede expandir r i G f r = f G e, G con f G = 1 r 3 i G f r e d r = a 1 a 2 a 3 es el volumen de la celda unidad. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 6
43 Ley de Bragg en el lenguaje de la red recíproca k =G Donde k = k 2 k 1 es el cambio de vector de onda del rayo X en la difracción. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 7
44 Teorema de Bloch En un sistema periódico infinito perfecto el conjunto de soluciones de ecuación de Schrödinger se pueden representar de la forma n, k r =e i k r c n, G e i G r, G Los estados monoelectrónicos en un cristal periódico perfecto se caracterizan por un índice de banda n y un vector de onda k. El conjunto de energias monoelectrónicas n, k se llama Estructura de bandas. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 8
45 Vectores de onda Consideremos un cristal limitado por N 1 a 1, N 2 a 2, N 3 a 3 de modo que tiene N =N 1 N 2 N 3 celdas Condiciones de frontera periódicas r = r N 1 a 1 = r N 2 a 2 = r N 3 a 3 Se puede demostrar que todos los estados monoelectrónicos se catalogan con los vectores de onda n1 n2 n3 k= b 1 b 2 b, con ni =0, 1, 2,..., N i. 1 N1 N2 N3 3 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 9
46 Vectores de onda n1 n n b 1 2 b 2 3 b 3, con ni =ni =0,1, 2,..., N i 1. N1 N2 N3 Son exactamente N = N 1 N 2 N 3 vectores k, uno por celda. k = Si el cristal tiene M electrones por celda, hay NM electrones en todo el cristal, a cada uno de los N vectores de onda le corresponden M estados ocupados diferenciados por el índice de banda. A T=0 K los índices de banda cumplen Estados ocupados: n=1, 2,..., M Estados desocupados: n=m+1, M+2,... Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 10
47 Vectores de onda en el límite termodinámico n1 n2 n3 b 1 b 2 b, con ni =n i =0, 1, 2,..., N i 1 N1 N2 N3 3 Son exactamente N = N 1 N 2 N 3 vectores k, uno por celda. k = Si el cristal es infinito los vectores de onda forman un continuo. La región ocupada por los vectores de onda tiene el volumen de una celda unidad de la red recíproca, centrada en G=0. Dos vectores k que se diferencien en un vector G de la red reciproca son equivalentes. Cualquier celda elemental de la red reciproca contiene todos los k para describir todos los estados del cristal. n, k G r =e 0 i k G 0 r 0 i G G r c n, G e = n, k r, c n,g ei G r =e i k r G G Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 11
48 1ra Zona de Brillouin Los puntos de la figura pertenecen a una red reciproca en 2D. La 1ZB es el conjunto de puntos más cercanos a un punto de la red que a cualquier otro punto de esta. 1ra Zona de Brilloin de la red 3D cubica centrada en las caras (fcc). fcc es la red de los metales simples y de los semiconductores Si y GaAs. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 12
49 1ra Zona de Brillouin vs celda unidad recíproca n1 n n b 1 2 b 2 3 b 3, N1 N2 N3 con ni =ni =0,1, 2,..., N i 1 k = b 1 Dos vectores k que se diferencien en un vector G de la red reciproca son equivalentes. La celda unidad y la ZB contienen vectores k equivalentes. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 13
50 Diagrama de bandas en la 1ZB Es imposible representar en una figura los n, k cuando los vectores de onda k forman una malla de una región espacial. En vez de eso se grafican las energías tomando los k a lo n,k largo de una trayectoria en la 1ZB. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 14
51 Diagrama de bandas Es imposible representar en una figura los n, k cuando los vectores de onda k forman una malla de una región espacial. En vez de eso se grafican las energías tomando los k a lo n,k largo de una trayectoria en la 1ZB Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 15
52 Cálculos SCF: funciones bases Parameter Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 16
53 ! Una ecuación para cada vector k! Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 17
54 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 18
55 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 19
56 Pseudopotenciales Need fast decay to 0 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 20
57 Pseudopotenciales Objetivos Sacar del cálculo los niveles profundos (core) que no influyen en la química. Eliminar las oscilaciones de los orbitales cerca del nucleo. No importan para la química y demandan muchas ondas planas. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 21
58 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 22
59 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 23
60 Linea continua (PS): pseudo orbitales Línea discontinua (AE): orbitales reales Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 24
61 Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 25
62 Parámetros fundamentales para un calculo SCF Cuantas ondas planas? Cuantos puntos k? Metales: parámetro de smearing. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 26
63 Cuantas ondas planas? Cutoffs Densidad de carga max G G ' =2 max G E 'cut =4 E cut Potencial de Hartree y de intercambio-correlacion Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 27
64 Cuantas ondas planas? Cutoffs Hay que hacer un estudio de convergencia Un criterio razonable E cutoff E 0.01 ev o ev N atomos Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 28
65 Cuantas ondas planas? Cutoffs Mejor es estudiar la convergencia de la propiedad que quiere calcular Un criterio razonable P E cut P 1 kbar Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 29
66 Cuantas ondas planas? Cutoffs Si quiere optimizar geometría, vea la convergencia de las fuerzas Un criterio razonable F E cut F 0.01 ev / A~ a.u. 1 a.u.=1 Ry/1bohr=13.6/ ev/a Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 30
67 Cuantas ondas planas? Cutoffs Recuerde que para la densidad de carga hay un cutoff distinto. Con pseudopotenciales de norma conservada n E cut =4 E cut Con pseudopotenciales ultrasuaves y PAW n E cut = E cut, tipicamente 6 12 Recomendación si trabaja con PP ultrasuaves: Ponga un cutoff para la densidad de carga grande (600 Ry), Optimice el cutoff de las funciones de ondas (20-45 Ry). Finalmente reduzca el cutoff de la densidad de carga. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 31
68 Cutoff de la densidad de carga y Fast Fourier Transform V xc n r V xc G G ' via Fast Fourier Transform rompe la simetría de traslación en el espacio libre se restringe a la malla (grilla) de la FFT. Energía de un átomo de oxígeno en la posición (x,0,0) en una supercelda cúbica de 10Å de lado. Las variaciones se deben al hecho de que la FFT restringe la simetria traslacional del espacio libre. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 32
69 Puntos k E celda = 1 N f i, k i, k v xc r n r d 3 r [ k i=1 ] 1 n r n r ' 3 3 d r d r ' E xc [n r ], 2 r r ' n1 n2 n3 k= b1 b 2 b, N =N 1 N 2 N 3 vectores N1 N2 N3 3 E celda N 1, N 2, N 3 E cuando N. En la práctica, afortunadamente converge para N i ~1 30. Mientras mas grande la celda menor N i se necesita. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 33
70 Puntos k Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 34
71 Puntos k Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 35
72 Puntos k : Parte irreducible Solamente se calculan funciones de onda para los puntos k no equivalentes por simetria. Para las demas, se hacen transformaciones de simetria en lugar de resolver las ecuaciones cuánticas. Eduardo Menendez, Grupo de Nanomateriales, Universidad de Chile, 36
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