Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas"

Martín Cordero Montes
hace 6 años
Vistas:

1 Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas g(e) g(e) Desde un punto de vista fundamental, se debe resolver el siguiente problema para obtener los niveles de energía de los electrones en un cristal: donde Diferentes aproximaciones que se utilizan conducen a la ecuación de Schrodinger para 1 electrón en un potencial efectivo : one electron approximation donde 1

2 Ejemplo: Aproximación: En el marco de la one electron approximation: U(r) = U ion (r) + U ee (r) Ecuaciones de Hartree Se resuelven en forma autoconsistente U ee (Ψ)!!! Por lo tanto, es de suma importancia el problema de un electrón en un potencial periódico: donde Teorema de Bloch Las soluciones son del forma donde 2

3 Notemos que Condiciones periódicas de contorno (Born-von Karman) Número de celdas N 2 a 2 N 3 a 3 N 1 a 1 Los valores permitidos de k son: 3

4 Comentarios: 1- El número de k permitidos que pertenecen a la primer zona de Brillouin es igual al número de celdas del cristal N. 2- El volumen del espacio k asociado a cada punto k permitido es: Pero: El volumen de la celda primitiva de la red directa 3- no son autofunciones del operador 4- El vector siempre se puede restringir a la 1 zona de Brillouin. En efecto, todo vector se puede escribir: = k + G Donde G pertenece a la red reciproca y k a la 1ZB. 4

5 G Si para se cumple Esta condición también se cumple para k ya que e i G. R = 1 Demostración del Teorema de Bloch Expando la función de onda en una base de ondas planas (satisfacen las condiciones periódicas de contorno) Como U(r) es periódico: donde - Se fija el nivel de energía / - -Para cristales con simetría de inversión: 5

6 (1) (2) K+q=q Cambio los índices de suma Kq por K q (1) + (2) : Como la base es ortogonal y completa: Se puede escribir con k pertenece a la 1ZB Haciendo el cambio Ecuación de Schrodinger en el espacio k 6

7 Dado un k dentro de la 1ZB, la ecuación anterior acopla solamente Problema original N problemas independientes (N valores de k dentro de la 1ZB) Entonces: Queda demostrado el teorema de Bloch, ya que la función es una función periódica 5- Fijado k, existen muchas soluciones de la ecuación de Schrodinger 7

8 Se puede demostrar que: El conjunto de todas las energías y autoestados del sistema se obtiene resolviendo el problema para los k dentro de la 1ZB Para n fijo, es una función continua de k Banda ~ puntos k dentro de la 1ZB N valores permitidos de k El estado fundamental de N e electrones se obtiene ocupando con 2 electrones ( ) cada uno de los niveles de menor a mayor energía, hasta ubicar todos los electrones N e =n c N donde n c es el número de electrones por celda Ej.: 1D n c = 2,4,6, E g band gap Aislador o semiconductor { n c = 6 Bandas vacías Bandas ocupadas 8

9 n c = 1,3,5, n c = 5 ε F Metal Superficie de Fermi Electrones en un potencial periódico débil U(r) lo tratamos como una perturbación - Empty Lattice Approximation (orden cero) Modelo de electrones casi libres U(r) = 0 e - libres pero imponiendo la periodicidad Esquema de zona repetida 9

10 Esquema de zona reducida Esquema de zona extendida Usando la teoría de perturbaciones se puede mostrar que : No degenerados Degeneración orden m Ej.: dos niveles degenerados en 1D 10

11 Banda 4 Gap 3 Banda 3 Gap 2 Banda 2 Banda 1 Gap 1 Red cuadrada en 2D 11

12 Todas las zonas ocupan el mismo volumen Superficies de Fermi 12

13 z=2 Esquema de zona reducida Esquema de zona repetida Empty lattice approx. Nearly free electron approx. W Γ X 13

14 cubica simple fcc bcc hexagonal Bandas de energía de electrón libre para una red fcc 14

15 bcc fcc 1 Zona Brillouin 2 Zona Brillouin 3 Zona Brillouin Superficie de Fermi de electrón libre para una estructura fcc (z=4) 15

16 fcc bcc 16

17 Estructura de bandas del Alumnio Se pueden describir con la aproximación electrones casi-libres Estructura de bandas del Cobre } Bandas chatas provenientes de los orbitales 3d No se pueden obtener con NFE 17

18 Método Tight-Binding Escribir la función de onda de Bloch como una combinación lineal de orbitales atómicos (LCAO). 18

19 orbital atómico α centrado en el sitio R j Cumple teorema de Bloch!!! Trabajaremos en notación de brakets Ψ > α, R j > Ψ > = N -1/2 Σ e ik.rj R j > Quiero resolver: H Ψ > = E(k) Ψ > Proyecto la ecuación de Schrodinger sobre < R 0 Tigh-Binding: < R 0 R j > = δ 0j < R 0 H R j > = E 0 si j = 0 -t si j primer vecino de o 0 en los otros casos E(k) = E o + Σ (-t) e ik.rj j p.v. 19

20 Estructura de bandas y superficie de Fermi de metales simples Monovalentes Alcalinos: Sodio Desviaciones de la superficie de Fermi medida respecto a una esfera perfecta 20

21 Nobles: Bandas d Banda s Estructura de bandas del Cu Γ-L = 21

22 Divalentes bcc fcc > > Las superficies de Fermi se extienden más allá de la 1ZB 22

23 Ca Mg (hcp) 23

24 Trivalentes Al n=2 n=3 Tetravalentes Pb: [Xe] 4f 14 5d 10 6s 2 6p 2 n=3 24

25 Si : [Ne] 3s 2 3p 2 semiconductor Metales de transición Fe: [Ar] 3d 6 4s 2 25

26 C v = γ T γ ~ g(e F ) Na γ = cal/mol K 2 Mn γ = cal/mol K 2 Superficie de Fermi del Mo Superficie de Fermi del W 26

27 Tierras raras Los electrones d de un metal de transición se hibridizan con los s y p formando la banda de conducción. Banda de conducción s+p+d+f? s+p+d f f Independient electron approx. breaks down Semimetales Ej.: As, Sb, Bi. grafito 27

28 Algunos compuestos binarios KCl 28

29 29

Documentos relacionados

Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas

Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas g(e) g(e) Desde un punto de vista fundamental, se debe resolver el siguiente problema para obtener los niveles de energía de los electrones en un