1 EL OSCILADOR ARMONICO

Transcripción

1 1 EL OSCILADOR ARMONICO 1.1 Autofunciones y Autovalores El potencial del oscilador armónico en una dimensión corresponde a la siguiente expresión matemática: V = 1 kx (1) donde k es la constante de la fuerza del oscilador. El Hamiltoniano es Ĥ = h m dx + 1 kx y la ecuación de Schrödinger es: Esta ecuación puede ser escrita como: d ( h d m dx + 1 ) kx Ψ(x) = EΨ(x) () donde y d dx Ψ + (α β x )Ψ = 0 (3) α = me h (4) β = mk h (5) El método comunmente empleado para resolver ecuaciones lineales y homógeneas como la ec. 3 es el siguiente: (1) Encontrar la solución asintótica (para valores grandes de x ) Como E es un número finito, para cualquier valor de E es posible encontrar un valor de x tal que, para todos los valores de x mayores que E, se cumpla que: α β x Entonces la ec. 3 adquiere una forma más sencilla: d Ψ dx = β x Ψ (6) 1

2 que admite soluciones de tipo exponencial, e ax. Derivando la función de ensayo y substituyendo en la ec. 6: ae ax + 4a x e ax = β x e ax Para la solución asintótica, el primer término del miembro de la izquierda es despreciable. Se obtiene y la solución es: a = ± β Ψ = c 1 e β x + c e β x El primer término de esta función tiende a infinito para x, de modo que no cumple con el postulado I y es necesario eliminarlo imponiendo la condición c 1 = 0. Finalmente, es la solución asintótica correcta. () Introducción en la solución de un polinomio en x Ψ = Ne β x (7) Para modificar la función asintótica de manera que sea válida en todo el espacio ( < x < ), se postula una nueva función: Ψ = e β x f(x) (8) donde f(x) es un polinomio en x del cual hay que determinar los coeficientes. Substituyendo en la ec. 3 se obtiene: f βxf + (α β)f = 0 (9) donde f y f son las derivadas primera y segunda de f(x), respectivamente. La ec. 9 es exactamente análoga a una ecuación bien conocida en matemáticas, la ecuación diferencial de Hermite, cuyas soluciones son los polinomios de Hermite: H v (ξ). Los primeros polinomios de Hermite son: H 0 (ξ) = 1 (10) H 1 (ξ) = ξ (11) H 3 (ξ) = 4ξ (1) H 4 (ξ) = 8ξ 3 1ξ (13)

3 donde ξ = βx (14) Es importante notar que estos polinomios son, alternadamente, funciones pares e impares, es decir que contienen solamente potencias de la misma paridad. Algunas propiedades importantes útiles de los polinomios de Hermite son las siguientes: ξh v (ξ) = 1 H v+1(ξ) + vh v 1 (ξ) (15) dh v (ξ) dξ = vh v 1 (ξ) (16) H v (ξ)h m (ξ)e ξ dx = π v v! si v = m (17) H v (ξ)h m (ξ)e ξ dx = 0 si v m (18) Se demuestra que las soluciones son aceptables si cumplen la condición: α 1 = v (19) β donde v es un número entero. Substituyendo α y β por sus valores respectivos se obtiene la condición de cuantificación de los niveles de energía del oscilador armónico: E v = Las funciones de onda normalizadas son: ( v + 1 ) h k π m Ψ v (x) = 1 β v v! π 1/ (0) H v (x)e βx (1) 1. Diagrama de Niveles La cuantización de los niveles del oscilador armónico proviene, como en el caso de la partícula en la caja, de imponer condiciones de contorno a las soluciones de una ecuación diferencial. El número entero v es el número cuántico que caracteriza el estado del sistema. La cantidad 1 k π m que aparece en la ec. 0 es idéntica a la frecuencia clásica de un oscilador de masa m sometido a una fuerza restitutiva kx. Por ese motivo se le llama también ν 0, y la expresión para la energía se escribe como: 3

4 donde ( E v = v + 1 ) hν 0 v = 0, 1,,... () ν 0 = 1 k π m El diagrama de niveles es el de la Fig La curva V (x) representa la energía potencial en función de x, mientras que las líneas horizontales representan la energía total del estado, que es una constante independiente de x. Así, para el estado caracterizado por v =, la energía total vale 5 hν 0, pero la energía potencial varía con x: en los extremos (x = a y x = a) la energía total es igual a la energía potencial y la energía cinética es cero; en x = 0, la energía potencial es cero y la energía cinética es 5 hν 0. La Fig. 4.5, presenta una serie de niveles equidistantes E v. (3) 1.3 La Energía del Punto Cero La ec. indica que, aún en su nivel fundamental, el oscilador armónico tiene una energía total, la energía del punto cero, que es diferente de cero. Clásicamente es como si el oscilador no pudiera nunca parar de oscilar alrededor de su posición de equilibrio. Este efecto es una consecuencia del principio de incertidumbre. En el punto x = 0, la energía potencial es cero y la energía cinética es igual a la energía total E v. El momento lineal es: p x = ± me v de modo que, si la energía E v fuera cero, se cumplirían simultáneamente x = 0 y p x = 0, lo cual entraría en contradicción con la desigualdad de Heisenberg. En comparación, eel caso de la partícula en la caja, la energía del nivel n = 0 es cero, pero la función correspondiente: ψ 0 = π a sennπx a también vale cero, de modo que este nivel no está ocupado. 4

5 1.4 El Espectro del Oscilador Armónico Cuando el oscilador armónico pasa del estado de energía E v a un estado de energía mayor E v, absorbe luz de energía E = E v E v. Sin embargo, no todas las transiciones son posibles. La regla de selección es: v = ±1 (4) que indica que el oscilador armónico solo puede pasar al nivel inmediatamente inferior ó al nivel inmediatamente superior. Las líneas que aparecen en el espectro corresponden entonces a la frecuencia ó ν = 1 h ν = E v+1 E v h {( v ) ( hν 0 v + 1 ) } hν 0 = ν 0 La única línea permitida es la que corresponde a un fotón de frecuencia exactamente igual a la frecuencia clásica de vibración. Sin embargo es importante distinguir claramente entre la primera, que es la frecuencia de la luz, y la segunda, que está relacionada con el movimiento mecánico de vibración de un oscilador. El problema del oscilador armónico encuentra aplicación inmediata en el análisis de los espectros de vibración de moléculas. En el caso de una molécula diatómica AB, la banda espectral intensa que corresponde a las transiciones vibracionales está centrada en: donde µ es la masa reducida ν 0 = 1 k π µ (5) µ = M AM B M A + M B (6) de la molécula y k es la constante de fuerza del enlace A B. Sin embargo, en el caso de moléculas las vibraciones no son perfectamente armónicas, (el potencial no es exactamente una parábola), y las transiciones v = ±, ±3 son permitidas, aunque aparecen con mucho menos intensidad que las que corresponden a v = ±1. Para v = ±, la frecuencia de banda es ν = ν 0 5

6 La presencia de estas bandas adicionales (llamadas sobretonos) en el espectro de una molécula diatómica sirve para verificar la asignación de una banda. 1.5 Representación Gráfica de las Funciones de Onda. El Efecto Túnel Como en el caso de la partícula en la caja unidimensional, las funciones de onda pueden ser representadas en un gráfico superpuesto al diagrama de niveles. Un detalle llama inmediatamente la atención: la función de onda, y consecuentemente también la densidad de probabilidad, no son cero en los puntos donde la energía total y la energía potencial se igualan. Para una partícula con energía total E 1, por ejemplo, la función de onda no es cero en puntos con x > x 1, y existe una probabilidad finita de que el oscilador se encuentre en x > x 1. Por ejemplo, en un punto A sobre la horizonal E 1 y x > x 1, la energía potencial de la partícula es V A, que es superior a la energía total E 1. Como E 1 = T A + V A la energía cinética sería negativa. La posibilidad de que la partícula se encuentre en puntos donde V > E es un efecto puramente cuántico y recibe el nombre de efecto túnel, porque parece que la partícula penetra en la barrera de potencial como por un túnel. La explicación de este fenómeno debe ser buscada, como para la energía del punto cero, también en el principio de incertidumbre: el concepto de posición tiene un sentido diferente en el caso de partículas submicroscópicas y la interpretación clásica necesariamente lleva a contradicciones. El efecto túnel fué introducido en 198 casi simultáneamente por varios físicos para explicar, entre otros fenómenos, la emisión de electrones por un metal frío al aplicar un campo eléctrico fuerte, y el decaimiento radiactivo por emisión de partículas α. En ambos casos, las partículas se encuentran presas entre barreras de potencial grandes y no es posible explicar clásicamente como consiguen escapar. De acuerdo con los resultados cuánticos las funciones de onda no son necesariamente cero en regiones clásicamente prohibidas, y hay una probabilidad finita de tunelaje entre una región permitida y otra, a través de una región prohibida, siempre y cuando la barrera no sea ni infinitamente alta, ni infinitamente ancha, y cuando la masa de la partícula es pequeña. De una manera general, el efecto túnel ocurre apreciablemente cuando el potencial del sistema presenta una barrera estrecha y finita. La probabilidad de tunelaje disminuye al aumentar la masa de la partícula, y el ancho y la altura de la barrera. 6