TEMA 1: ORIGEN Y TIPOS DE MAGNETISMO. La mecánica cuántica Operadores La ecuación de Schrödinger Estados electrónicos en un átomo Notación
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- Manuel Velázquez Alarcón
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1 Tema 1: Origen y Tipos de Magnetismo TEMA 1: ORIGEN Y TIPOS DE MAGNETISMO : Aspectos previos Tema 1b : Origen del Momento Magnético Tema 1c: Magnetismo de electrones localizados: Diamagnetismo orbital y Paramagnetismo de Curie Tema 1d: Magnetismo Intenso: Canje y orden magnético Tema 1e: Magnetismo de electrones deslocalizados : La mecánica cuántica Operadores La ecuación de Schrödinger Estados electrónicos en un átomo Notación 1
2 ANTEDENTES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA J. J. Thomson (1887) descubre el electrón. Louis de Broglie (1924) Dualidad onda-corpúsculo para la materia: e = h p = h m e v e Postulado de Bohr (1913) El momento angular del e está cuantizado en múltiplos de ħ: L = Ԧr Ԧp = nħ La hipótesis de De Broglie (1924) junto a la cuantización del momento angular Las órbitas electrónicas son estados estacionarios con un nº entero de e. e e e 2
3 LA MECÁNICA CUÁNTICA La mecánica cuántica debida a Schrödinger representa al e con la función de onda (r). Significado físico de (r) La probabilidad de encontrar al electrón en un volumen 3 r es (r) *(r) 3 r. La ecuación básica de Schrödinger (1925): juega el papel de las leyes de Newton y de la conservación de la energía en Mecánica clásica: H = H: Operador Hamiltoniano. : autofunciones o autoestados o estados estacionarios. (son las soluciones del hamiltoniano). : autovalores. Son los niveles de energía. 3
4 LA MECÁNICA CUÁNTICA Los observables físicos se representan por operadores diferenciales, O (las variables físicas adquieren la forma de operadores): Momento lineal: p = iħ = iħ x Ԧi + y Ԧj + z k Energía cinética: E C = p2 2m = ħ2 2 2m = ħ2 2m Ԧi + Ԧj + x2 y2 z 2 k Momento angular: መl = Ԧr p = iħ y z z y Ԧi + z x x z Ԧj + x y y x k Los valores permitidos de un observable físico son los autovalores y vienen dados por la ecuación: O i = i i i : autovalores i se calculan resolviendo el determinante: O i I = 0 donde I es la matriz identidad. 4
5 LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER: Ej. OSCILADOR ARMÓNICO La energía se convierte en el operador Hamiltoniano: H = H = p2 2m kx2 = ħ2 2 2m x kx2 Conservación cuántica de la energía en un oscilador armónico E = E C + U = 1 2 mv kx2 Conservación clásica de la energía en un oscilador armónico 5
6 ESTADOS ELECTRÓNICOS EN UN ÁTOMO El tratamiento mecánico-cuántico de los átomos mediante la ec. de Schrödinger permite conocer los estados que pueden ser ocupados por los e. Los niveles electrónicos o funciones de onda de un solo e están caracterizados por 4 números cuánticos, n, l, m l y m s : ቚn, l, m l, m s Nº cuántico principal: n=1, 2, 3. (capas K: n=1, L: n=2, M: n=3,.) Nº cuántico del momento angular orbital o nº cuántico orbital: l = 0, 1, 2, 3,..(n-1) (orbitales s: l=0; p: l=1; d: l=2; f: l=3; ) Nº cuántico magnético : m l = l, l 1, l 2,, 0, l 2, l 1, l ó m l = 0, 1, 2, 3,, l. Hay (2l + 1) valores de m l para cada valor de l. Nº cuántico de espín del e : m s = 1 2 6
7 ESTADOS ELECTRÓNICOS EN UN ÁTOMO Los 3 números cuánticos n, l y m l hacen referencia a la función de onda con una distribución espacial de la carga electrónica conocida como orbital. Cada orbital puede acomodar 2 e con espines m s = 1 2. El Principio de exclusión de Pauli impide que 2 e que están en el mismo estado tengan los mismos 4 nº s cuánticos (dos e no pueden estar en el mismo estado cuántico porque son fermiones). 7
8 Ƹ ESTADOS ELECTRÓNICOS EN UN ÁTOMO Las funciones de onda son autofunciones de los operadores de momento angular orbital መl 2 y መl z : መl 2 หn, l, m l, m s ൿ = l l + 1 ħ 2 donde: l l + 1 ħ 2 son los autovalores de መl 2 መl z หn, l, m l, m s ൿ = m l ħ donde: m l ħ son los autovalores de መl z También lo son del momento angular de espín: sƹ 2 หn, l, m l, m s ൿ = s s + 1 ħ 2 donde: s s + 1 ħ 2 son los autovalores de sƹ 2 s z หn, l, m l, m s ൿ = m s ħ donde: m s ħ son los autovalores de s z Momento angular orbital del electrón: Momento angular espín del electrón (s=1/2): Ԧl orb = l l + 1 ħ l z = m l ħ l z,max = lħ (m l = l) Ej. l=2 l z Ԧl orb = ħ s = s s + 1 ħ = 3 2 ħ s z = ħ/2 (m s = 1/2) Su nº cuántico de espín: s=1/2 (para un e-) con 2 estados de espín: m s = 1/2 ห ൿ y ห ൿ l z l z.max =l ħ l z = 2ħ l z = ħ Ԧl orb m l =2 m l = 1 s z Z s = s s + 1 ħ = 3 2 ħ Ԧl orb l z = 0 m l = 0 s z = +ħ/2 B Ԧl orb = l l + 1 ħ l z = ħ m l =- 1 B s z = ħ/2 l : número cuántico del momento angular orbital l z = 2ħ m l = -2 8
9 NOTACIÓN QUE VAMOS A UTILIZAR Para el momento angular de un solo electrón: l = nº cuántico del momento angular orbital. s = nº cuántico del momento angular intrínseco o de espín. Para el electrón, s=1/2. j = nº cuántico del momento angular total. Para el momento magnético de un solo electrón: m l = nº cuántico magnético del momento magnético orbital. m s = es el número cuántico magnético del momento magnético de espín. m s =±1/2. Para el momento angular de multielectrones o iones: L= nº cuántico del momento angular orbital. S= nº cuántico del momento angular intrínseco o de espín. Momento magnético: Momento magnético orbital: orb Momento magnético de espín: espín o s J= nº cuántico o del momento angular total. Estos números cuánticos pueden ser enteros o fraccionarios excepto l y L que son siempre nº enteros.
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