Postulados de la mecánica cuántica. Ponentes: Rodrigo Aguayo Ortiz Paulina Flores Carrillo Tania Hernández Ríos

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Emilia Valverde Toledo
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1 Postulados de la mecánica cuántica Ponentes: Rodrigo Aguayo Ortiz Paulina Flores Carrillo Tania Hernández Ríos

2 CONTENIDO Mecánica cuántica Postulados de la mecánica cuántica Postulado I. Estado del sistema Postulado II. Observables Postulado III. Mediciones Postulado IV. Valores esperados Postulado IV. Evolución temporal de los estados 2

3 Mecánica Cuántica La mecánica cuántica es un conjunto de principios que describen el comportamiento de la materia y sus interacciones a escala atómica y subatómica. La teoría de la relatividad resulta aplicable a los sistemas de gran escala. La física clásica era incapaz de explicar ciertos fenómenos que ocurren a nivel atómico y subatómico. La mecánica cuántica es la obra de muchos nombres propios: Planck, Schrödinger, Bohr, Heisemberg, De Broglie, Dirac y otros, incluido el mismo Einstein, hicieron diferentes contribuciones a la teoría. 3

4 Postulados de la Mecánica Cuántica Un postulado es un enunciado que se propone como cierto sin necesidad inicial de prueba y que se utiliza como punto de partida para la construcción lógica de una teoría. La validez de la teoría se examina a posteriori, comprobando que se pronostica correctamente el resultado de experimentos controlados. 4

5 Postulado I Estado del sistema a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad b) Evolución temporal de los estados: Ecuación de Schrödinger c) Principio de superposición 5

6 Postulado I. Estado del sistema a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad El estado de un sistema físico está descrito por una función Ψ(x,t) de las coordenadas (x) y del tiempo (t). Esta función, llamada función de estado o función de onda, contiene toda la información que es posible determinar acerca del sistema. El módulo al cuadrado de la función de onda es la probabilidad, por unidad de volumen, de encontrar a una partícula. 6

7 Postulado I. Estado del sistema a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad En caso de que queramos localizar la partícula en un volumen, efectuaremos la siguiente integral: Eso se traduce en que las funciones de onda han de estar normalizadas, es decir, la integral en todo el espacio de su módulo al cuadrado ha de ser la unidad: 7

8 Postulado I. Estado del sistema a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad -Condiciones de aceptabilidad Cómo saber si una función de onda puede representar un estado cuántico? 1.- La función ha de ser continua en todo su rango. 2.- La función ha de ser univaluada. Con esto nos aseguramos que sólo tenemos una probabilidad de encontrar la partícula en cada punto del espacio. 3.- La función ha de tener derivada y además ha de ser continua. 4.- La función ha de anularse en el infinito 8

9 Postulado I. Estado del sistema b) Evolución temporal de los estados: Ecuación de Schrödinger A. Energía cinética B. Momento lineal de la partícula Por lo tanto, podemos expresar la energía cinética como: C. Energía potencial únicamente depende de la posición de las partículas involucradas (protones y electrones) D. Energía total del sistema. 9

10 Postulado I. Estado del sistema b) Evolución temporal de los estados: Ecuación de Schrödinger La energía total, como la energía cinética y la potencial, son observables y podemos medirlas en los sistemas. Es posible asociar unos operadores cuánticos Hamiltoniano Ĥ= T + V La ecuación del mismo. condensa toda la información sobre la posible evolución Así la ecuación de Schrödinger será: Que toma la siguiente forma: 10

11 Postulado I. Estado del sistema c) Principio de superposición Sean dos funciones de onda cualesquiera, Ψ 1 (r, t) y Ψ 2 (r, t), que representan estados de un mismo sistema, y sean dos números complejos arbitrarios c 1 y c 2. La combinación lineal Ψ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 es la función de onda de un estado válido del sistema, y este estado se dice que es una superposición de los representados por Ψ 1 y Ψ 2. 11

12 Postulado I. Estado del sistema c) Principio de superposición > Obsérvese que Ψ = c 1Ψ 1+ c 2Ψ 2 Por lo tanto: Ψ 2 = c 1 2 Ψ c 2 2 Ψ c 1c 2 Ψ 1Ψ 2 + c 2c 1 Ψ 2Ψ 1 La probabilidad del estado superpuesto no es una simple suma de las probabilidades de los estados que se superponen. Las funciones de onda se suman pero la información está contenida en su cuadrado. Esta regla permite explicar los fenómenos ondulatorios, tales como la difracción de electrones o neutrones. 12

13 Postulado II Observables 13

14 Postulado II. Observables Todo observable estará representado por un operador hermítico y lineal. Operador: Regla que convierte una función en otra. 14

15 Postulado II. Observables - Explicación a) Operador Lineal: asegura el principio de superposición. b) Operador Hermítico: asegura que sus valores propios sean reales y no complejos. 15

16 Postulado II. Observables - Operadores 16

17 Postulado III Mediciones 17

18 Postulado III. Mediciones Los únicos resultados de las medidas asociadas al operador Â son sus valores propios. FUNCIÓN PROPIA: aquella función que al aplicarle el operador nos da la misma función multiplicada por un escalar, que es el VALOR PROPIO de esta función. Â f(x) = α f(x) 18

19 Postulado III. Mediciones - Ejemplos: 19

20 Postulado III. Mediciones - Interpretación Dado un estado arbitrario, no podemos predecir qué resultado se obtendrá en una medida individual sobre el sistema. Lo que sí podremos decir es con qué probabilidad se obtendrán las posibles medidas (valores propios del observable). 20

21 Postulado IV Valores esperados 21

sistema al estado propio (Ψ n ) y da como resultado un valor propio (a n ).

22 Postulado IV. Valores esperados La medición del observable Â en un conjunto de sistemas idénticos preparados en el estado Ψ=Σ n Ψ n c n, trasforma el estado del sistema al estado propio (Ψ n ) y da como resultado un valor propio (a n ). En consecuencia, el valor promedio de una colección de medidas de Â en el mismo estado es: ó El denominador es 1 si Ψ está normalizada. El acto de medición altera el estado del sistema y lo transforma en un estado propio del operador medido. Si todos los sistemas están en el mismo estado, podemos predecir el valor promedio (valor más probable) o valor esperado de la medida. 22

23 Postulado IV. Valores esperados La incertidumbre mide la desviación con respecto al valor medio: ó Cuando dos operadores no conmutan (no tienen un conjunto de funciones propias en común y uno de los operadores altera el estado del sistema con respecto a la medición del otro) entonces: Principio de incertidumbre de Heisenberg: Si hacemos una medición más precisa de la posición aumenta la incertidumbre en la velocidad, y viceversa. 23

24 Postulado V Evolución temporal de estados 24

tiempo siguiendo la ecuación de onda de Schrödinger: - Hamiltoniano: -

25 Postulado V. Evolución temporal de estados La función de onda del sistema varía en el tiempo siguiendo la ecuación de onda de Schrödinger: - Hamiltoniano: - Ecuación extendida: *Se puede encontrar un estado estacionario cuando la energía potencial no es dependiente del tiempo. Función espacial Función temporal 25

26 Postulado V. Evolución temporal de estados (1) Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo [Función espacial] -Extendida: (2) Función de onda de un estado estacionario [Función temporal] - Estado cuántico estacionario: estado en el que se pueda factorizar su dependencia temporal en una fase. - La densidad de probabilidad es independiente del tiempo: 26

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