Física Cuántica. D.Sc. Ing. Benjamín Barán Prof. Titular de de FÍSICA II II Facultad de de Ingeniería Universidad Nacional de de Asunción

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1 Física Cuántica D.Sc. Ing. Benjamín Barán Prof. Titular de de FÍSICA II II Facultad de de Ingeniería Universidad Nacional de de Asunción E.mail:

2 Introducción n Histórica 1900 Max Planck Radiación de un cuerpo negro 1905 Albert Einstein Efecto Fotoeléctrico 1913 Niels Bohr propone su modelo atómico 1916 R.A. Millikan mide h 1923 Efecto Compton 1924 Louis de Broglie propone un comportamiento ondulatorio de las partículas 1927 C.J. Davisson y L.H. Germer de Bell Telephone experimentan difracción de electrones 1925 Erwin Schrödinger propone Ecuación de ondas 1927 Principio de Incertidumbre de Wemer Heisemberg

3 Radiación n de un Cuerpo Negro I(f,T) [w/hz.m 2 ] T 1 T 2 Teoría clásica de la radiación: I(f,T) = Cte. k.t.f 2... donde la constante de Boltzman k = 1.38x10-23 [J K] T 3 f [Hz] Teoría de Planck: Hipótesis: osciladores de energía discreta E n = n. h.f; n = 0,1,2,... I(f,T) = Cte.f 3 / (1 - e hf-kt )... donde la constante de Planck h = 6.63x10-34 [J.s]

4 Efecto Fotoeléctrico Luz con potencia P f I I [A] P 2 P 1 Potencial V RESULTADOS EXPERIMENTALES El potencial de corte solo depende de la frecuencia f de la luz y no de su intensidad o potencia P de la luz. Al aumentar la potencia P de la fuente de luz, se aumenta I, pero no se varía el potencial de corte. Postulado de Einstein: fotones con E = h.f

5 Ejemplo 1: cuántos fotones por segundo emite una fuente monocromática de luz verde-amarilla (5.500 A ) de 25 w? 25 w E = P.t = N. h.f = N. h.c / λ N = λ. P.t / h.c = 7 x fotones

6 E = h.f p = E / c Efecto Compton (1923) (choque elástico de un fotón y un electrón) E = 0 p = 0 E = h.f p = E / c E = mv 2 /2 p = 0 La onda (de rayos X) dispersada por el grafito sale con una frecuencia menor f (φ) que depende del ángulo φ λ -λ = ( h / m.c) (1 - cos φ) φ

7 Producción n y Aniquilación n de Pares E = h.f p = E / c hf = E - + E + E - e- E = 0 p = 0 E = 0 p = 0 E + e+ E - E + e- e+ E = h.f p = E / c

8 Ondas de De Broglie (1924) La naturaleza dual (onda-partícula) de la luz, también se manifiesta en la materia p = E / c = h.f / λ.f = h / λ λ = h / p electrón: e m/s λ = 7.3 x m pelota: 40 m/s 2 kg λ = 8.3 x m 1927 C.J. Davisson y L.H. Germer de Bell Telephone realizan experimentos con difracción de electrones

9 Principio de Incertidumbre de Heisenberg Al medir una partícula, se modifica su estado por lo que existe un límite hasta donde se puede conocer su posición y cantidad de movimiento, simultáneamente. Δp.Δx > h/4π ΔE.Δt > h/4π fotón de observación v

10 Ecuación n de Schrödinger -h 2 ( 2 Ψ 2 Ψ 2 Ψ ) 2m Ψ +V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h x 2 y 2 z 2 t h = h / 2π i = (-1) 1/2 ψ(x,y,z,t)... función (compleja) de onda V(x,y,z)... función de energía potencial ψ (x,y,z,t) 2... puede entenderse como la probabilidad de encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t.

11 Ecuación n estacionaria de Schrödinger Solución unidimensional: Ψ(x,t) = Ψ(x) e -iet / h -h 2 2m ( d 2 Ψ ) dx 2 + V Ψ = E Ψ Solución cuando V= 0 Ψ(x) = Α e ikx + B e -ikx con k = (2mE) 1/2 h

12 Pozo infinito de Energía Condiciones de frontera: E Ψ(x=0) = Ψ(x=L) = 0 entonces: Ψ(x) = A sen( kx ) kl = nπ k L = (2mE) 1/2 h L L = nπ x de donde: E = n 2 E 1 con E 1 = y como: p = h /λ = h k p 1 = h 2 L h 2 8 m L 2 y p n = n p 1

13 como: Ψ(x) = A sen( kx ) Recordando que: Ψ(x) 2 dx = 1 - L A 2 sen 2 ( kx ) dx = 1 A = (2/L) 1/2 0 Finalmente,para el estado base: Ψ(x) = (2/L) 1/2 sen( n k 1 x ) con k 1 = Notar que Δ x L/2 mientras Δ p h/2l por lo que Δ x Δ p h/4 (2mE 1 ) 1/2 h

14 Ejemplo: EFECTO TUNEL V v a b x Mecánica Clásica x < a; P(x>b) = 0 Mecánica Cuántica: P(x>b) > 0

15 Solución n del EFECTO TUNEL Para 0 x a: -h 2 2m ( 2 Ψ ) x 2 = i.h Ψ t Separación de variables: Ψ(x,t) = Ψ(x) e -iet / h -h 2 2m ( d 2 Ψ ) dx 2 = E Ψ Ψ(x) = Α e ikx + B e -ikx con k = (2mE) 1/2 h Finalmente: Ψ 1 (x,t) = Α e i(kx-wt) + B e -i(kx+wt) con ω = E / h

16 Para a x b: -h 2 2m ( 2 Ψ ) x 2 + V Ψ = i.h Ψ t Ψ 2 (x,t) = C e i( k 2 x w t) + D e -i(k 2 x + w t) con k 2 = ( 2m(V-E) )1/2 h Condición de borde: Ψ 1 (a,t) = Ψ 2 (a,t) De donde C y D no pueden ser simultáneamente nulos Entonces, Ψ 2 (b,t) no es nulo

17 Para x b: -h 2 2m ( 2 Ψ ) x 2 = i.h Ψ t Ψ 3 (x,t) = F e i(kx-wt) + G e -i(kx+wt) Condición de borde: Ψ 2 (b,t) = Ψ 3 (b,t) De donde F y G no pueden ser simultáneamente nulos, por lo que existe alguna probabilidad mayor que cero de encontrarse en esta región.

18 Conclusiones La Física Clásica es una buena aproximación de la realidad para el mundo macroscópico, debido a la pequeña granularidad de la naturaleza (h=6.63x10-34 [J.s]). Todo lo conocido en la naturaleza, ondas y partículas, presentan una dualidad onda-partícula. Existe un límite impuesto por la misma naturaleza para el conocimiento cinemático y dinámico de una partícula (Principio de Incertidumbre de Heisenberg). El estudio de la naturaleza solo puede hacerse en forma probabilística (Función de onda ψ ).