Radiación del cuerpo negro

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1 Radiación del cuerpo negro Aparece un nuevo problema en la Física clásica. Cuando se estudia la emisión de radiación térmica por un cuerpo se ve que ésta depende de la temperatura y de la composición de ese cuerpo. Un cuerpo negro es un cuerpo ideal en el que la emisión de radiación térmica no depende más que de la temperatura a la que se encuentran sus paredes. A cada frecuencia corresponde una densidad de energía que depende solamente de la temperatura de las paredes y es independiente del material del que están hechas. La emisión de energía por parte de un cuerpo es función de la temperatura a la que se encuentra. Un cuerpo negro perfecto se podría conseguir utilizando una esfera hueca cubierta en su cara interna por carbón activo y con un pequeño agujero en su superficie que dejara salir la radiación emitida por este cuerpo negro. El estudio de esta radiación emitida por este cuerpo a distintas temperaturas da como resultado cuando se representa la energía emitida frente a las frecuencias a las que se emite para distintas temperaturas se obtienen una serie de gráficas que se pueden explicar desde el punto de vista clásico usando las leyes de Wien (la longitud de onda para la que se emite un máximo de energía es inversamente proporcional a la temperatura λ max T = Cte) y de Stefan-Boltzmann (E = σ T 4 ). Sin embargo la primera de estas leyes es válida para frecuencias no excesivamente altas. A medida que la temperatura va subiendo el máximo de emisión se va acercando hacia longitudes de onda correspondientes a color azul y violeta del visible y los resultados experimentales se alejan de los predichos por la ley de Wien. Tampoco la segunda de las leyes da una explicación satisfactoria a este suceso. Max Planck supuso para explicar el fenómeno que los átomos se comportaban como osciladores armónicos de frecuencia n pero además estos no podía absorber o emitir energía de forma continua sino en múltiplos de cantidades que son proporcionales a la frecuencia de oscilación. E = h ν Donde h es una constante que se llamará constante de Planck y cuyo valor es: h = 6, J s La energía emitida solo puede tomar valores de n h ν donde n toma valores enteros 0, 1, 2, 3 Se dice entonces que la energía emitida o absorbida está cuantizada, es decir, toma valores discontinuos. A nivel macroscópico no percibimos esta discontinuidad porque la constante de Planck tiene un valor muy pequeño. Página 1 de 8

2 El efecto fotoeléctrico En 1887 E. Hertz había observado que se producán descargas eléctricas en metales cuando eran iluminados por luz UV, Sin embargo este fenómeno se producía de forma diferente según fuese la luz que incidiera sobre el metal. El fenómeno solamente se produce para cada metal a partir de una cierta frecuencia de la radiación incidente. Cuando la frecuencia de la radiación incidente supera esa frecuencia el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la radiación incidente, aunque su energía cinética máxima de cada uno es independiente de dicha intensidad. Por otra parte el fenómeno, si se produce, es instantáneo, no hay retardo en ningún caso por baja que sea la intensidad de la radiación incidente. La explicación que da Einstein es: Considerar que la luz está formada por fotones, partículas cuya masa en reposo es cero, y cuya energía viene dada por h ν. Siendo h la constante de Planck y ν la frecuencia de la radiación. Como se dijo antes solo se produce para cada material con una frecuencia mínima (frecuencia umbral) La energía correspondiente a esa radiación de frecuencia umbral sería la energía necesaria para arrancar un electrón del átomo del metal, hν recibe el nombre de función de trabajo o trabajo de extracción. (h ν 0 ) Al aumentar la intensidad luminosa se aumenta el hν 0 número de fotones incidentes por lo que el número de electrones extraídos también aumentará. V Puesto que cada fotón arranca un electrón no tiene sentido el retardo en el proceso. Así pues podemos decir que para una cierta radiación: Energía radiación = Energía umbral + Energía cinética electrón arrancado h ν = h ν 0 + E c Para poder medir la energía cinética de los electrones desprendidos se ajusta el campo eléctrico en sentido contrario de forma que lo electrones vuelven a ser atraídos por la placa opuesta. Variando la tensión conseguimos que no pase corriente. Página 2 de 8

3 La comprobación cuantitativa de la validez de la explicación de Einstein, se debe al experimento diseñado por Millikan en Espectros atómicos Cuando sobre un átomo se hace incidir un haz de luz éste es capaz de absorber parte de la misma para una serie de frecuencias determinadas. La luz que pasa sin ser absorbida a través de la muestra presenta una serie de bandas oscuras que corresponden a las frecuencias de las radiaciones que han sido absorbidas por los átomos. Se trata de un espectro de absorción. Por el contrario si comunicamos energía a la muestra y se deja que ésta vuelva a su estado anterior solamente emitirá la energía que corresponde a las frecuencias de las radiaciones que aparecen en las bandas oscuras del espectro anterio. Se llama espectro de emisión. Los espectros de absorción o emisión de los distintos elementos tienen en si mismos una cierta dificultad para ser explicados desde el punto de vista que ofrece el modelo atómico de Rutherford. En este modelo se plantea simplemente que los electrones que giran en torno al núcleo tienen cualquier energía puesto que pueden estar a cualquier distancia del núcleo. El estudio de los espectros de elementos en estado gaseoso lleva a la conclusión de que estos se podían agrupar en conjuntos denominados series espectrales. Las frecuencias de estas series vienen dadas por una fórmula sencilla. Balmer, estudiando el espectro visible del hidrógeno llegó a establecer una fórmula que permitía el cálculo de la frecuencia de la radiación emitida. Esta formula coincidirá más tarde con la establecida por Bohr para calcular la energía de absorción o emisión en los cambios de órbita para el electrón: E f mz e 1 1 = 1 1 E0 = R 2 8ε 0h n0 n f n0 n f Además de la serie de Balmer existen otras series espectrales tanto en el IR como en el UV. Modelo atómico de Bohr El modelo atómico de Bohr se basa en tres postulados: Los electrones giran en torno al núcleo en órbitas circulares estacionarias, sin emitir ni absorber energía. Página 3 de 8

4 De esta forma elimina la primera dificultad que no puede superar el modelo atómico de Rutherford. El electrón, puesto que el átomo es estable no emite ni absorbe energía mientras está en la misma órbita. Las órbitas no pueden ser cualesquiera sino solamente aquellas en las que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de ħ (h/2π) siendo h la constante de Planck mvr = n h/ (2 π) n es el número cuántico principal que toma valores enteros positivos 1, 2, 3 Cuando un electrón cambia de órbita emite o absorbe una cantidad de energía que es igual a la diferencia entre las energías de la posición final e inicial e igual a hν E f - E 0 = h ν La combinación del segundo y tercer postulados explicarán perfectamente la formación de espectros discontinuos del hidrógeno y coinciden asombrosamente los valores de las frecuencias de los mismos con las predichas por los postulados. Matemáticamente estos postulados implican que: La fuerza centrípeta del electrón es igual a la fuerza de atracción electrostática entre el núcleo y el electrón: mv 2 /r = ze 2 /4πε 0r 2 Con el segundo postulado: mvr = nh/2π El radio permitido será por tanto: r = n 2 h 2 ε 0 / (Ze 2 πm) = (n 2 / Z) a 0 Donde a 0 es el radio de Bohr que coincide con el radio de la órbita del electrón del átomo de hidrógeno en su estado fundamental La energía de un electrón será la suma de su energía cinética y potencial: (mv 2 /2) + ( - ze 2 /4πε 0r) = - ze 2 /(8πε 0r) Sustituyendo r por su valor (*) la energía del electrón en una órbita viene dada por: E = - mz 2 e 2 /(8εh 2 n 2 ) Por tanto la variación de energía cuando el electrón cambia de órbita vendrá dada por: E f mz e 1 1 = 1 1 E0 = R 2 8ε 0h n0 n f n0 n f Modificación de Sommerfeld (Órbitas elípticas) Se observa un desdoblamiento de las rayas espectrales lo que obliga a pensar que en cada nivel los electrones pueden encontrarse en distintos subniveles de energía. Esto lleva a considerar: 1. la posibilidad de la existencia de órbitas elípticas. 2. la masa del electrón varía con la velocidad de acuerdo con la teoría de la relatividad. Para estas órbitas se considera que el eje mayor es igual al radio de Bohr en el nivel correspondiente marcado por n. El semieje menor debe ser el que marque el valor de la Página 4 de 8

5 excentricidad. Precisamente se introduce el número cuántico l (azimutal) que cuantiza la excentricidad de las órbitas. Solamente son posibles aquellas órbitas en las que el número cuántico secundario l toma valores enteros comprendidos entre 0 y (n 1). Esto coincide con los resultados experimentales. Efecto Zeemann (Orientación espacial de las órbitas) Se observó que en el seno de un campo magnético había un desdoblamiento de las rayas espectrales. Esto se explica suponiendo que las órbitas pueden tener distintas orientaciones espaciales respecto al campo magnético. Tampoco en esta ocasión podían ser cualesquiera sino que estaban cuantizadas. El número cuántico que se toma para esto es el número cuántico magnético m cuyos valores pueden ser enteros comprendidos entre + l y - l, es decir que las orientaciones posibles son 2 l + 1 Efecto Zeemann anómalo (Spin del electrón) Cuando el espectro (estudiado en metales alcalinos) se emitía como en el caso anterior en el seno de un fuerte campo magnético y el aparato tenía una gran resolución se observa que cada una de las rayas espectrales se divide en dos. Esto se explica considerando que el electrón gira sobre si mismo (spin) también en forma cuantizada. El número cuántico magnético de spin m s toma valores (+½) y ( - ½). Según sea el sentido de rotación del electrón el campo magnético que se genera se alineará paralelo o antiparalelo al campo magnético externo lo cual implica dos posibles cambios energéticos en las transiciones que se producen cuando se emiten o se absorben las radiaciones que dan lugar a los espectros. A pesar de todo este modelo tenía poco futuro y debido a los problemas que presentaba y a pesar de todas las felices explicaciones que daba de muchos resultados experimentales fue sustituido por el modelo de orbitales atómicos. Problemas en el modelo atómico de Bohr (ampliado) El primero de los problemas es que esta teoría solo puede aplicarse a átomos hidrogenoides, es decir que solamente tengan un electrón en su corteza. Por otra parte en el modelo atómico de Bohr se encuentran conviviendo de forma un tanto artificial la Mecánica Clásica y la Mecánica Cuántica. esto hace que los nuevos números cuánticos que van apareciendo lo hacen un poco forzados por los resultados experimentales. Parece necesaria una teoría mejor. Página 5 de 8

6 Principios básicos para las soluciones Hipótesis de de Broglie La consideración de dualidad onda-partícula deducida en la explicación del efecto fotoeléctrico por Einstein podría aplicarse también al resto de las partículas subatómicas teniendo en cuenta que algunas de ellas se comportan como ondas en unas ocasiones (dispersión de un haz de electrones) y en otras como partícula. A esto le dio forma teórica y matemática retomada por L.V. de Broglie Para ello parte de que si la frecuencia de un fotón es ν, su energía se puede expresar como hν pero también se puede expresar como pc siendo p su momento lineal y c la velocidad de la luz. Por todo ello se puede deducir que: h ν = p c pero : ν = λ / c aunque también ν = h ν / h = pc / h. Se deduce que: λ = h / p Para cualquier partícula podría aplicarse el mismo razonamiento y asociarle una onda cuya longitud vendría dada por: λ = h / (mv) Los experimentos realizados independientemente por C.J.Davisson y G.P. Thomson cuando estudian el impacto de haces de electrones sobre una red cristalina confirman esta teoría pues se observa que se produce la difracción de dichos electrones fenómeno que es propio de una onda. Esta expresión por una parte confirma la validez del segundo postulado de Bohr y mas tarde fue comprobada experimentalemente al estudiar la difracción de electrones a través de una lámina muy fina de un metal. Por supuesto esto es aplicable a cualquier cuerpo lo que ocurre es que la longitud de la onda asociada a una masa grande será tan pequeña que la onda asociada no podría detectarse. Busca en YouTube (Experimento de la doble rendija) y si no vete a Principio de indeterminación Las ideas de De Broglie sobre la dualidad onda corpúsculo llevaron a W. Heisemberg a establecer la imposibilidad de determinar con toda precisión la posición y la velocidad de las partículas. La incertidumbre en el cálculo de la posición x y del momento lineal p serán tales que: x p h / 4 π λ=h/(mv) Una longitud de onda muy definida da una gran exactitud en el cálculo del momento lineal Esto implica que cuanto mayor sea la precisión con que determinemos la posición mayor será la imprecisión del momento lineal. Cuando la amplitud es muy grande en un punto significa mayor probabilidad de encontrar ahí la partícula pero mucha imprecisión en el cálculo de λ y como consecuencia del momento lineal mv Página 6 de 8

7 También el principio de incertidumbre se aplica al valor de la energía de una partícula y el tiempo en el que posee esa energía: E t h / (4 π) Desde luego esto no es un problema ni de la imprecisión del aparato de medida ni tan siquiera de la forma en que hacemos la medición, es una consecuencia de la dualidad onda corpúsculo, es decir de la propia naturaleza de la materia. Para precisar el momento lineal de la partícula debemos conocer con mucha precisión la longitud de onda lo cual implica una onda extendida. Por el contrario una gran precisión en la medida de la posición implica un valor de la longitud de onda poco precisa y con ello imprecisión en el cálculo del momento lineal. Albert Einstein nunca asumió la validez del principio de incertidumbre mostrando su disconformidad con el en la frase ya célebre "Dios no juega a los dados". Mecánica ondulatoria. Schrödinger La hipótesis de De Broglie trajo consigo un montón de consecuencias. En primer lugar la onda asociada a cada partícula tendrá una determinada amplitud además de su longitud, frecuencia... Esa onda asociada se determina mediante la función de onda. La función de onda elevada al cuadrado está relacionada con la intensidad y con la amplitud de la onda. Por otra parte la amplitud de la onda está relacionada con la probabilidad de que la partícula se encuentre en un determinado punto por tanto el cuadrado de la función de onda nos da idea de la probabilidad de encontrar la partícula en una determinada zona del espacio. La primera interpretación se debe a Max Born. La descripción del estado de las partículas por medio de la función de onda asociada a ellas recibe el nombre de Mecánica ondulatoria. Cuando la usamos conceptos como posición o trayectoria quedan diluidos en el de probabilidad de localizar una partícula en una determinada zona del espacio. La aplicación de operadores (conjunto de operaciones matemáticas) a la función de onda permite el cálculo de magnitudes físicas. Uno de estos operadores es el hamiltoniano que aplicado a la función de onda permite calcula la energía de la partícula: Siendo m la masa, Ep energía potencial y E su energía total. Para resolver aparecen una serie de condicionantes matemáticos que son precisamente los números cuánticos. (Igual que para que la raíz cuadrada de un número tenga solución real es necesario que éste sea positivo). De esta forma la introducción de los números cuánticos no Página 7 de 8

8 viene aquí impuesta por resultados experimentales (como parches para que salga) sino como condiciones matemáticas. Modelo de orbítales atómicos La función de onda (Ψ) describe el comportamiento del electrón se llama orbital y su cuadrado indica la probabilidad de encontrar el electrón en una determinada zona del espacio. La función de onda es función de la posición espacial determinada por las coordenadas de la partícula en cada momento (x,y,z) pero estas también pueden expresarse en forma de coordenadas polares con lo que su valor sería (r, θ, φ). La función de onda entonces se podría expersar: Ψ (x,y,z) = Ψ (r,θ φ) = R (r) Θ(θ) Φ(φ) Donde R(r) es la función radial y describe la variación de y en función de la distancia al núcleo, Θ(θ) y Φ(φ) son funciones angulares relacionadas con la forma espacial del orbital. Al aplicar el operador hamiltoniano al átomo de hidrógeno aparecen condicionantes matemáticos para poder resolver. Son los números n, l y m que ya aparecían en el modelo atómico de Bohr-Sommerfeld aunque aparece con anterioridad la necesidad de introducir el número cuántico de spin al tener en cuenta los efectos relativistas. La probabilidad de encontrar el electrón a una determinada distancia del núcleo es directamente proporcional al cuadrado de R(r). Haciendo cálculos se observa que para los distintos niveles de energía (n) la máxima probabilidad de encontrar el electrón coincide con los radios de las órbitas de Bohr. Sin embargo en el modelo de orbítales el electrón no se encuentra confinado en una órbita sino que podría encontrarse en cualquier lugar. No obstante existen unas zonas donde la probabilidad es mayor. El cuadrado de las funciones θ y Φ da idea de la forma de la superficie de probabilidad es decir una superficie que englobara una zona de mayor probabilidad de encontrar el electrón. A esa zona en la que existe una probabilidad grande de encontrar el electrón se le llama orbital. La superficie que envuelve esa zona tiene diferente forma para cada conjunto de números cuánticos n, l y m lo que origina diferentes formas de orbitales. Página 8 de 8

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