Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos

Transcripción

1 Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Ultima actualización 5 de noviembre de 06 Índice. La partícula libre. Partícula en una caja 3. Barreras finitas y efecto tunel 5 Referencias Atkins, P.W., de Paula, J. Química Física, 8 a Ed., Editorial Panamericana, 008 Bertran, J. y otros, Química Cuántica Síntesis, 00. La partícula libre Partícula libre en una dimensión La ec. de Schr odinger para una partícula libre será (V = 0) Ĥ Ψ() = ˆT Ψ() = E Ψ() h m d Ψ() = E Ψ() esta es una ec. diferencial de segundo orden cuyas soluciones son d A partir de la soluciones puede observarse que Ψ() = A e ip / h p = me Ψ() = A e ip / h p = me i = i =

2 misma solución que obtenida con el principio de correspondencia funciones propias de ˆp No hay cuantización de E. Partícula en una caja mono-, bi- y tridimensional Partícula en una caja monodimensional Definición del problema = 0 = L Soluciones fuera de la caja V= ( < 0 o > L) ˆp +V () Ψ() = E Ψ() m d Ψ d + m h E V () Ψ = 0 d Ψ d + m h E Ψ = 0 d Ψ d Ψ = 0 d Ψ d = Ψ Ψ = d Ψ d = 0 Soluciones en el interior de la caja V=0 (0 < < L) definiendo d Ψ d + m h E Ψ = 0 k = me h

3 tenemos la ec. diferencial la ec. diferencial tiene como soluciones generales d Ψ d = k Ψ() d Ψ d = k Ψ() Ψ() = C e ik + De ik Ψ() = Asink + Bcosk E k = k h m Análisis de la solución las condiciones de contorno Ψ() = Asink + Bcosk Ψ( = 0) = 0 B = 0 Ψ( = L) = 0 kl = nπ, n =,,... imponen niveles de energía discretos E = k h m = n h π ml = h 8mL n, n =,,... la función de onda queda, entonces, en la forma normalizando para obtener A = + A = /L Ψ() = Asin nπ L =L ( Ψ Ψd = A =0 sin nπ L ) d = A L Resumen de las soluciones ( nπ ) Ψ n () = L sin L E n = n h 8mL 3

4 Forma y características de las soluciones 6 ( h 8mL ) En/ 9 4. Forma de las soluciones (paridad, número de nodos). confinamiento cuantización de estados 3. energía de punto cero consecuencia de principio de incertidumbre 4. separación entre niveles no uniforme 5. principio de correspondencia: cuando n distribución uniforme (límite clásico) 0 /L Caja bidimensional Los términos del hamiltioniano de una partícula en una caja bidimensional actuan, cada uno de ellos, sobre variables diferentes h Ψ(,y) m + Ψ(,y) y = E Ψ(,y) ello permite separar variables en la función de ondas de la partícula sustituyendo la forma de la función de onda h m h m Ψ(,y) = ψ () ψ y (y) d ψ ψ y d + ψ d ψ ψ d + d ψ y ψ y dy d ψ y dy = E ψ ψ y = E E + E y = E podemos, entonces separar la ec. de Schrödinger de una partícula en una caja bidimensional en dos problemas monodimensionales independientes h d ψ m ψ d = E h d ψ y m ψ y dy = E y h d ψ m d ψ y dy d = E ψ h m ψ,n = sin n π ψ y,ny = L L = E y ψ y sin n y π y L y L y E = h 8m n L E y = h 8m n y L y 4

5 Wavefunction for n =, n y = Ψ(, y) 0 0 Energía total y función de onda E n,ny = En + En y y = h n 8m L + n y Ly Ψ(,y) = sin n π sin n yπy L L y L L y y/l y /L caso particular, caja cuadrada L = L y = L, degeneración Caja tridimensional De forma similar E n,n y = E n,n y,n z = h n 8m L Ψ(,y,z) = h ( n 8mL + n ) y + n y Ly + n z Lz 8 sin n π sin n yπy sin n zπz L L y L z L L y L z caso particular, caja cúbica L = L y = L z = L, degeneración E n,n y,n z = h ( n 8mL + n y + n ) z 3. Barreras finitas y efecto tunel U 0 h d m d +U 0() Ψ() = E Ψ() Ψ() = Ae ik + Be ik 5

6 Efecto tunel Energía coeficiente de refleión Ψ A = Ae ik + Be ik k = me h Onda reflejada Onda incidente A B C Ψ B = C e α + De α α = Ψ C = F e ik Onda transmitida m(u0 E) h R = B A coeficiente de transmisión (probabilidad de penetración) T = F A LIGHT PARTICLE HEAVY PARTICLE T = si L es grande, U 0 >> E y/o m es grande U ( ) 0 + 4E(U 0 E) sinh m(u0 E)L/ h T 6E(U 0 E) U0 e L m(u 0 E)/ h límite clásico cuando L, U 0 y/o m efecto tunel importante para e, moderado para protones, menor otros importante en emisión de partículas α reacciones redo reacciones de transferencia protónica reacciones en la superficie de electrodos Efecto tunel en electrones Los e tienen una masa tan pequeña que con facilidad pueden atravesar barreras de varios ev de alto y varios nm de ancho Diodos semiconductores Transporte de carga en la cadena de fotosíntesis Transporte de carga en la cadena del ATP Reacciones redo Transferencia de carga en la superficie de electrodos 6