Introducción al Método Inverso de Dispersión

Transcripción

1 Universidad Nacional de Ingeniería 10 de abril del 2014

2 Teoría de dispersión Analicemos el operador de Schrödinger (operador de Sturm-Liouville): L = d 2 + u(x) (1) d x 2 en toda la recta < x <. El potencial u(x) se considera lo suficientemente suave y tiende a cero para x. El problema de los valores propios es: Lψ = d 2 ψ + u(x)ψ = λψ (2) d x 2

3 El espectro continuo toma valores en el semieje real λ > 0; los valores propios del espectro discreto son negativos. x. Los potenciales con un número finito de estados ligados se pueden excluir imponiendo sobre u(x) la restricción: u(x) (1 + x )dx < (3)

4 En lugar de la energía λ es mas conveniente utilizar el momento k (λ = k 2 ). Entonces d 2 ψ d x 2 + u(x)ψ = k2 ψ (4) Ahora para k tenemos espectro continuo y espectro discreto se tiene en los puntos del eje imaginario k = iκ n, n = 1, 2, 3,..., N κ > 0.

5 Para cada k 0 real el conjunto de soluciones de la ecuación forma un espacio lineal bidimensional G k. { φ1 (x, k) = e ikx + o(1) φ 2 (x, k) = e ikx x (5) + o(1) { ϕ1 (x, k) = e ikx + o(1) ϕ 2 (x, k) = e ikx + o(1) x (6)

6 Debido a que el potencial es real tenemos: ϕ 1 (x, k) = ϕ 2(x, k), φ 1 (x, k) = φ 2(x, k). (7) Ademas, es evidente, que: ϕ 1 (x, k) = ϕ 2 (x, k), φ 1 (x, k) = φ 2 (x, k). (8) Una base es combinación lineal de la otra base por eso se puede escribir: ϕ i (x, k) = T ij φ j (x, k), i = 1, 2. (9) j=1,2

7 La matriz T (k) que se define de esta manera se va a llamar matriz de transición. Por (7) T tiene la forma: ( ) a(k) b(k) T (k) = b (k) a (10) (k) En adelante se va omitir los indices, de esta manera tenemos: ϕ(x, k) = a(k)φ(x, k) + b(k)φ (x, k) (11) El wronskiano de las bases es: W (ϕ, ϕ ) = W (ψ, ψ ) = 2ik (12)

8 Esta última relación junto con la formula significa, que a(k) 2 b(k) 2 = 1 (13) eso quiere decir que la determinante de la matriz es uno: det T (k) = 1.

9 Se puede ver facilmente, que las magnitudes a 1 (k) y b(k)a 1 (k) son los correspondientes coeficientes de transmisión y reflexión para la onda, que incide sobre el potencial por la derecha. en realidad la función propia asintotica ϕ(x, k)a 1 (k) tiene para x la forma: ϕ(x, k) a(k) = e ikx + b(k) a(k) eikx + o(1) (14) es decir representa la superpusición de la onda incidente y de la onda reflejada.

10 En el otro lado de la recta x ϕ(x, k) a(k) = e ikx a(k) + o(1) (15) en donde solo esta la onda transmitida. Si t(k) = a 1 (k) representa la aamplitud de dispersión hacia adelante y r(k) = b(k)a 1 (k) hacia atras. De (13) se deduce que: t(k) 2 + r(k) 2 = 1 (16)

11 Como es conocido t(k) es una función anaĺıtica de la energía λ en la hoja física de la superficie de Riemann λ (Im λ > 0), a exepción de los puntos del espectro discreto λ = λ n en donde la amplitud tiene polos simples. Ademas la amplitud hacia adelante no es cero en la hoja física. Esto significa que a(k) es anaĺıtica en el semiplano superior de k y tiene ceros simples en los puntos k n = iκ n, κ 2 n = λ. Se entiende tambien que a(k) 1 para k, Imk 0.

12 La función de onda del espectro discreto de obtiene colocando en (11) k = iκ n de donde: ϕ(x, iκ n ) = a(k)ψ(x, iκ n ) + b(k)ψ (x, iκ n ) (17) Para x se tiene: ϕ(x, iκ n ) = e i(iκn) + o(1) = e κnx + o(1) (18) para κ n > 0, de donde se deduce, que k = iκ n se encuentra en el eje imaginario en el semiplano superior de la variable compleja k.

13 Para x en comportamiento de ϕ(x, iκ n ) se establece: ϕ(x, iκ n ) = a(iκ n )e κnx + b(iκ n )e κnx (19) el primer sumando crece ilimitadamente y al mismo tiempo las funciones propias del espectro discreto deben de ser de cuadrado integrable, por lo tanto se debe cumplir que: a(iκ n ) = 0 (20)

14 Diferenciamos la ecuación Lϕ(x, k) = k 2 ϕ(x, k) por k en el punto iκ n : (L κ 2 n) k ϕ(x, iκ n ) = 2iκ n ϕ(x, iκ n ). (21) Multiplicamos esta relación por ϕ(x, iκ n ) e integramos la igualdad obtenida por todos los x. Integrando por partes la integral ϕ(x, iκ n )(L + κ 2 n) k ϕ(x, iκ n )dx (22)

15 teniendo en cuenta que la parte principal en la asintotica de k ϕ(x, iκ n ) en el por x tiene la forma a (iκ n )e κnx, se obtiene facilmente : ϕ 2 (x, iκ n )dx = ia (iκ n )b(iκ n ) (23) es decir a (iκ n ) 0. De esta formula se deduce, que la magnitud ia (iκ n ) es real y tiene el mismo signo de b(iκ n ).

16 La matriz de transición T (k) nos da una información completa sobre el espectro continuo del operador de Schrödinger. Toda esta información de T (k) se encuentra en el coeficiente de reflexión: r(k) = b(k) a(k) (24) Es suficiente establecerlo en el semieje k > 0, debido a que r( k) = r (k). Asi de (13) encontramos: a(k) 2 = (1 r(k) 2 ) 1 (25) es decir el módulo de r(k) determina de manera única a(k). Conociendo los ceros de la función anaĺıtica a(k) en el semieje superior, se puede determinar de manera única lo último por su módulo.

17 Para x ϕ n c n e κnx (26) Datos de dispersión {κ n, c n, r(k); n = 1, 2,..N} (27)

18 Par de Lax Sea la ecuación de evolución: w t = F (w, w x, w xx,...) (28) Lψ = λψ (29) ψ = Mψ (30) t Los coeficientes de los operadores L y M dependen de w y de sus derivadas por x. Condición de compatibilidad: L t = [L, M] (31)

19 Ejemplos: Ecuación de Korteweg de Vries w t + 3 w w 6w x 3 x = 0 (32) Se encuentra el par de Lax L = w 2 x 2, M = 4 3 w 6w x 3 x + p(t) = 0 (33)

20 Ecuación de Gelfand Levitan Marchenko: K(x, y) + F (x, y) + Ejemplo: Si F = N ( x t + K(x, z)n(x;, z, y)dz = 0 y > x (34) ( x + ) ) 3 L = 0 (35) y w = 2 d K(x, x) (36) dx

21 F (x, y) = N n=1 c n ia (iκ n ) e κn(x+y) + 1 e ik(x+y) dk (37) 2π