. Por ejemplo, para ubicar los puntos, simplemente se localiza su respectivo valor en la numeración y se le marca.

Transcripción

1 MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS COORDENADOS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL Eiste una correspondencia biectiva o biunívoca entre el conjunto de los números reales el de los puntos de una recta. A esta recta que tiene un origen, un sentido en donde se pueden ubicar todos los números reales se le conoce como sistema coordenado unidimensional. Gráficamente esto es: P P P P La notación habitual para localizar un punto es: P ( ). Por ejemplo, para ubicar los puntos P (. 6), P ( 0. ), P ( 7. ), P ( ), simplemente se localiza su respectivo valor en la numeración se le marca. Se define como abscisa de un punto a la distancia del origen al punto en magnitud signo. La distancia dirigida ( dd ) que eiste de un punto P a un P viene dada por el valor final menos el inicial: dd P P. La distancia ( d ) entre dos puntos P P está dada por el valor final menos el inicial pero en valor absoluto, esto es: d P P. Es decir, la diferencia que eiste entre distancia dirigida distancia entre dos puntos es que en la primera se toma en cuenta el signo su magnitud, en la segunda sólo se toma su magnitud. Se mide en unidades ( u ). Encontrar la distancia dirigida la distancia entre los siguientes pares de puntos: ) P ( ) P ( ) Solución: 6 dd 6 9u. d 6 9 9u.

2 ) ( π) P Solución: P 6 π dd u ( ). (. 9). 69. u. d SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL Es un sistema formado por dos ejes numéricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se genera estableciendo una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano los elementos de todas las parejas ordenadas de números reales. Esto quiere decir que se genera un plano a partir de una infinidad de puntos. Cuadrante II (-, +) Cuadrante I (+, +) Cuadrante III (-, -) Cuadrante IV (+, -) Se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje horizontal ( ) El eje vertical ( ) recibe el nombre de eje de las ordenadas. Para ubicar un punto en el plano se utiliza la siguiente notación: P (, ) Ubicar los siguientes parejas ordenadas en el plano: P 8 (, ), P,, P (, ), P (, ), P (, π), P ( 0, ), P (. 0) 6 7, Solución:

3 P (-, π) P (,) P (-,) P 6 (0,) P 7 (.,0) P (-.66,-) P (,-) Ejemplos. Dados los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano correspondiente: ) A {,, }, B { 0,, } El conjunto solución a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas A B, 0,,,,,, 0,,,,,, 0,,,, ordenadas. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Gráficamente esto es: ) A {, R }, B { 0, R } El conjunto solución a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitada tanto en como en. Gráficamente esto es:

4 ) A { R }, B { R } El conjunto solución a este producto cartesiano es una superficie plana ilimitada tanto en como en. Gráficamente esto es: Como puede deducirse, el sistema coordenado bidimensional está constituido por el producto cartesiano de los números reales (en ) por los números reales (en ), es decir, R R R. SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL Es un sistema formado por tres ejes numéricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se forma estableciendo una correspondencia biunívoca entre los puntos de un espacio los elementos de todas las ternas ordenadas de números reales. Esto quiere decir que se genera un volumen a partir de una infinidad de puntos.

5 z P(,, z ) z Se forman ocho regiones llamadas octantes. El eje recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje recibe el nombre de eje de las ordenadas. El eje z recibe el nombre de eje de las cotas. Para ubicar un punto en el espacio se utiliza la siguiente notación: P (,,z) que en un plano., es decir de forma similar DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean P (, ) (, ) P dos puntos cualesquiera en el plano: P(, ) d - P(, ) - Al formarse un triángulo, se observa que los catetos son las diferencias de ordenadas de abscisas. Ahora, recordando el teorema de Pitágoras epuesto en la unidad II: c a + b aplicándolo se tiene: d ( ) + ( ) despejando d se obtiene la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos:

6 d ( ) + ( ) Ejemplos. Obtener la distancia entre los siguientes pares de puntos: ) P (, ) P ( 7, ) ( 7 ) + ( ( ) ) d u ) P ( 6, ) P ( ), ( ( 6) ) + ( ( ) ) d u 7 ) P, P, 8 8 d ) P (,π) P (, 0. 70) Utilizando tres cifras decimales: ( 6.. ) + ( ) (. 676) + (. ) d u. Si los puntos P (, ), P ( ) (, ), P son los vértices de un triángulo, obtener su perímetro. u. P (,) P (-,-) P (,-) 6

7 la distancia entre P la distancia entre P P es: d ( ( ) ) + ( ( ) ) P es: d ( ) + ( ) + ( 6) P es: ( ( )) ( ( )) ( ) 0 la distancia entre P d Por tanto, el perímetro viene dado por la suma de sus tres lados: P d + d + d u. Sea el punto P (, ) el punto ( ) que los separe sea unidades. Sustituendo los datos en la fórmula se tiene: P,0, obtener la abscisa de ( ) + ( 0 ( ) ) ( ) + ( ) + 69 despejando se tendrán dos soluciones de : ( ) ( ) 6 ± P. 80 P ( ) el punto ( ),, por lo que los puntos buscados son aproimadamente:, P de tal manera que la distancia En el espacio, la fórmula de distancia entre dos puntos se deduce de forma similar que en dos dimensiones, considerando que la distancia es un segmento de recta que pertenece a un plano. Esto es, si se tienen los puntos P (,, z) P (,, z ), la distancia que los separa es: d ( ) + ( ) + ( z ) z Gráficamente, es: z z P (,, z ) d z P (,, z ) 7

8 Obtener la distancia entre los puntos: P (, 7) P ( 8, ),, ( 8 ) + ( ( 7) ) + ( ) ( 0) + ( ) + ( ) d u DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto P (, ) que satisface la comparación entre dos magnitudes. a En general, si la razón es de la forma r, implica que el segmento se divide en a + b partes. Por b 7 ejemplo, si r, el segmento se divide en partes iguales. Sean los puntos P (, ) P (, ), así como el segmento de recta que los une: P (, ) P(,) P (, ) - Sea un punto (, ) P que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es: r r donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza. Si se despeja de la primera ecuación se tiene: r r ( ) r + r + r + r + r, que implica: ( ) 8

9 + r + r análogamente se puede encontrar que: + r + r epresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale r, las ecuaciones se convierten en: + + Ejemplos. Obtener las coordenadas de un punto (, ) siguientes pares de puntos en la razón dada: P que divida al segmento de recta que se forma al unir los ) P (, ), P ( 9, ), r 7 + ( 9) + 7 ; Por lo tanto, el punto buscado es: P 7, + + ( ) ) P (, 8), P ( 7, ), r + + ( 7) Por lo tanto, el punto buscado es: 8 9 ; 8 P, ( ) Encontrar el punto medio del segmento de recta unido por los puntos A( 8,) B (, 6) Aplicando las fórmulas del punto medio: 8 + ; 9 ( 6) +. El punto es:, P.

10 Hallar las coordenadas de dos puntos P (, ) P (, ) puntos k (, ) B ( 9,7) en tres partes iguales. Solución: El primer punto está al final del primer tercio, es decir a razón uno a dos: 9 + ( 9) + ; + + el primer punto buscado es: P, ( 7), que dividan al segmento que une a los El segundo punto está al final del segundo tercio, es decir a razón dos a uno: 8 + ( 9) ; el segundo punto buscado es: P 7, + + ( 7) + + r : r : Sabiendo que el punto P ( 9,) divide al segmento que determina la unión de los puntos ( 68) (, ) P en la razón + r + r, despejando : r, hallar las coordenadas de P. 7 ( + r) ( + r) + r r ( + r) r ( + r) r procediendo de forma similar se obtiene: sustituendo en ambas epresiones: P,

11 Por lo tanto, el punto buscado es: P ( 6, ) Hallar las coordenadas de un punto P (, ) que divida al segmento unido por los puntos (, 0) P ( 6) en las siguientes razones:, 8 00 a) r b) r c) r d) r e) r f) r g) r h) r 600 i) r j) r k) r 6 establecer una conclusión del comportamiento de los puntos con respecto a las relaciones. P Solución: Al ser fijos P P, las fórmulas + r + r relaciones dadas puesto que las coordenadas no cambian. + r + r se aplican fácilmente a todas las Procediendo repetidamente se obtienen los siguientes puntos de división: P a P P P b c P P d e f P g (, 8) (.,.7) (, ) (.8,.6) (.9,.9) (, 0) (.,.) ( 7, 78) P h P i (No eiste) P j P k (, 6) (.0, 6.0) A partir de los resultados, se puede concluir que: Con r 0, el punto (, ) A medida que r va creciendo (, ) P se ubica en P P se desplaza hacia P En su punto medio r vale Cuando r es negativa, el punto se ubica en su prolongación hacia abajo alejándose hasta que llega a r donde es infinito cambia de sentido. Al seguir decreciendo, tiende a P. Geométricamente, lo anterior se puede representar como:

12 P j 8 P (,6) P e P k r < r > 6 P b P c P d - P a P (,-0) -8 0<r< P f P g - P h -<r<0 P i no eiste, pero geometricamente implica En el espacio, las fórmulas división de un segmento en una razón dada se deduce de forma similar que en dos dimensiones a que el segmento puede ser parte de un plano que une dichos puntos. Esto es, si se tienen los puntos P (,, z), P (,, z ) como etremos de un segmento una razón r, el punto que lo divide se puede encontrar por medio de: + r + r ; + r + r ; z + z z + r Gráficamente, es:

13 z z P (,, z ) P (,, z) z P (,, z ) Obtener las coordenadas de un punto (,,z) puntos P (, 6) ( 8,, ), P con la razón 87 + ( 8) ( ) ( ) z Por lo tanto, el punto buscado es: P que divida al segmento de recta que se forma al unir los 87 P, 9 9, 9 r. APLICACIONES La utilidad de los sistemas coordenados es especial en la Geografía, la Topografía en la Aeronáutica, principalmente a través de la utilización de mapas en radares. Por ejemplo, se puede determinar la posición de algún objeto, utilizando un sistema coordenado teniendo el eje, hacia el Norte el eje, hacia el Este. Esto define las coordenadas de un punto, que puede ser una casa, una ciudad, un avión, una montaña, etc.

14 Los sistemas coordenados también sirven para conocer el punto en que se encuentran dos móviles que se desplazan en direcciones distintas a una misma velocidad. O bien conocer la distancia de dos objetos si están inmóviles. Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero ha algunas sutilezas. Por ejemplo, la superficie esférica aproimada de la Tierra no se puede representar sobre un mapa plano sin que haa distorsión. A unas cuantas decenas de kilómetros, el problema es mu poco notorio, pero a una escala de cientos o miles de kilómetros, la distorsión aparece necesariamente. Se puede hacer una variedad de representaciones aproimadas cada una implica un tipo algo diferente en la distorsión de forma, área o distancia. Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes en procesos de Ingeniería. Por ejemplo, las coneiones triangulares maimizan la rigidez, las superficies lisas disminuen la turbulencia los recipientes esféricos minimizan el área de la superficie para cualquier volumen o masa dada. Cambiar el tamaño de objetos manteniendo la misma forma puede tener efectos profundos debido a la geometría de la escala: el área varía como el cuadrado de las dimensiones lineales, el volumen lo hace como el cubo. Un tipo común de mapa eagera las áreas aparentes de las regiones cercanas a los polos (por ejemplo, Groenlandia Alaska), mientras que otros tipos específicos representan de manera engañosa la distancia más corta entre dos lugares, o aun qué punto es adacente a qué otro.