CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. Oscar Cardona Villegas Héctor Escobar Cadavid

Transcripción

1 CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Oscar Cardona Villegas Héctor Escobar Cadavid UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA ESCUELA DE INGENIERÍAS 06

2 MÓDULO COORDENADAS CARTESIANAS Hasta el siglo XVII el álgebra y la geometría se desarrollaron como disciplinas matemáticas independientes, sin embargo Descartes y Fermat dieron un gran paso en el desarrollo de la geometría, el cual consistió en hacer a ésta menos geométrica y más algebraica, lo que les permitió expresar las figuras geométricas en forma de ecuaciones algebraicas. Así se resolvieron problemas considerados antes insolubles. El objetivo central de la geometría analítica es entonces encontrar la representación geométrica adecuada de las expresiones algebraicas y por lo tanto resolver los problemas de la geometría por medio del álgebra. El punto clave para lograr esto está en la introducción de un sistema de referencia, idea simple pero genial de Descartes en 69, que dio origen a la geometría analítica clásica. Actualmente, con la introducción de una herramienta tan poderosa como los vectores, la geometría analítica clásica se ha simplificado de manera notable. El concepto fundamental sobre el que se desarrolla la geometría analítica es el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta. Esto se conoce como el axioma de Cantor y Dedekind. Por el momento la idea de recta es la misma que se trae desde geometría euclidiana, como un término indefinido al cual se hace una aproximación por medio de los postulados.

3 Axioma de Cantor Dedekind: Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta de modo que: a. A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real. b. A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta. Este axioma es la base para definir las coordenadas cartesianas. En las secciones siguientes se definen las coordenadas cartesianas sobre una recta, un plano, el espacio tridimensional y, por inducción, en el espacio de n dimensiones.. COORDENADAS CARTESIANAS EN UNA DIMENSIÓN Sobre una recta horizontal (esto es convencional, la recta puede ir en cualquier dirección) se escoge de forma arbitraria un punto O correspondiente al real cero y al cual se le llama origen. Luego se escoge, como convenga, una longitud como unidad de medida y con esta se localiza a la derecha de O un punto P y se le asigna el número. El origen divide a l en dos semirrectas, la que contiene a P se llama el lado positivo y la otra el lado negativo. A todo punto P sobre el lado positivo se le asocia el número correspondiente a la longitud del segmento OP medido en términos de OP ; y a todo punto P en el lado negativo se le asocia el negativo del número real obtenido de la misma manera. De este modo dos números consecutivos de (o de los enteros) quedan separados en l por un segmento de medida igual a la de OP (figura.).

4 Figura. Coordenadas cartesianas de una dimensión Establecida esta correspondencia, la recta se llama recta numérica real o eje coordenado y el número real asociado se llama su coordenada. Si x es la coordenada de P se escribe P ( x) ó P( x ). Definición. Dados los puntos sobre la recta real P ( x) y P ( x ),la distancia euclidiana entre ellos está dada por: PP x x ( x x ) Definición. La recta numérica real con la distancia o métrica * euclidiana se conoce como espacio euclidiano unidimensional. Y se representa por E.. COORDENADAS CARTESIANAS EN DOS DIMENSIONES Si se toman dos rectas reales no paralelas l y l (convencionalmente tomamos a l horizontal) que tengan definida la misma unidad de medida y que se corten en sus orígenes, entonces se genera lo que se denomina un plano cartesiano (figura.). * Los conceptos de métrica y espacio métrico serán ampliados en algebra lineal. 4

5 Figura.. Coordenadas cartesianas en dos dimensiones Si P es un punto cualquiera del plano, este se puede condicionar o referenciar trazando por P paralelas a l y l. La paralela a l corta a l en Px ( x) y la paralela a l corta a l en P ( y ). El punto P queda determinado y biunívocamente por la pareja ordenada ( x, y ). Esta pareja de números reales se denomina coordenadas cartesianas de P ; y más concretamente x se denomina la abscisa y y la ordenada. Se escribe P ( x, y) o P( x, y ).De este modo es preferible llamar a l como eje de las x (o eje x ) y a l como eje de las y (o eje y ); el punto de corte de los dos ejes es el origen O y, claro, tiene asignada la pareja (0,0). Lo más conveniente es que los ejes coordenados sean perpendiculares. En ese caso se tiene un plano cartesiano ortogonal y la pareja ordenada ( x, y ) se llama coordenadas cartesianas ortogonales de P. Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes que se numeran como se ve en la figura. 5

6 Figura.. Plano cartesiano ortogonal Teorema. Si P ( x, y) y P ( x, y) son dos puntos cualesquiera del plano cartesiano ortogonal (fig..4) entonces la distancia o métrica euclidiana entre ellos (que se define como la longitud del segmento que los une) está dada por : PP ( x x ) ( y y ) Figura.4. Teorema. 6

7 Actividad en clase: demostrar el teorema anterior. Definición.. El plano cartesiano ortogonal con la métrica euclidiana recibe el nombre de Espacio Euclidiano Bidimensional y se simboliza por E. Nótese que lo que se ha hecho es representar cada punto del plano como una pareja ordenada de números reales, es decir, se ha establecido una correspondencia biunívoca entre los elementos de Re y los puntos del plano cartesiano. Esta relación es tan estrecha que, en la práctica, se dice que el punto es la pareja ordenada y viceversa. Teorema. Sean P ( x, y ) y P ( x, y) dos puntos del plano y P un punto del segmento PP tal que PP r P P, r Re 0 (fig..5). Las coordenadas ( x, y ) de P en términos de las coordenadas de P y P están dadas por : x x rx r y y y ry r 7

8 Figura.5. Teorema. Actividad en clase: demostrar e ilustrar este teorema. Corolario: Si P es el punto medio de P P entonces r y sus coordenadas son: x x x y y y y. COORDENADAS CARTESIANAS EN TRES DIMENSIONES Si se toman las tres rectas reales l, l y l no coplanares y concurrentes en sus orígenes, en las en las cuales se ha definido la misma unidad de medida, se genera un espacio cartesiano tridimensional. Cualquier punto P situado en dicho espacio se puede condicionar o referenciar biunívocamente al trazar por P planos paralelos a los planos generados por cada par de rectas. El plano paralelo a l l corta a l en Px ( x ), el plano paralelo a l l corta a l en Py ( y ) y el plano paralelo al plano de l l corta a l en Pz ( z ). La triada ordenada ( x, y, z ) son las coordenadas cartesianas de P, lo cual se escribe P( x, y, z) o P ( x, y, z). 8

9 Lo más conveniente es que l, l y l sean ortogonales dos a dos (fig..6), en este caso ( x, y, z ) se llaman coordenadas cartesianas ortogonales de P. Figura.6. Coordenadas cartesianas en tres dimensiones Las rectas l, l y l se conocen como ejes x, y y z ; los planos xy, yz y xz se llaman planos coordenados; la coordenada x se llama abscisa, la coordenada y ordenada y la z cota o altura. Las ocho partes en que se divide el espacio, octantes. El que corresponde al lado positivo ( ) de los ejes es el primero. Finalmente, el lado positivo de los ejes se elige según lo que se conoce como sistema derecho: tomando (imaginariamente desde luego) el eje x con la mano derecha y con el pulgar en el sentido positivo, los otros dedos se curvan desde el eje y hacia el eje z. (fig..7) Figura.7. Sistema derecho 9

10 Como en el caso del plano, se ha establecido una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio tridimensional y el conjunto de las ternas ordenadas de números reales Re. Teorema. Sean P ( x, y, z ) y P ( x, y, z ) dos puntos cualesquiera del espacio cartesiano ortogonal. La distancia o métrica euclidiana entre P y P es: PP ( x x ) ( y y ) ( z z ) Actividad en clase: demostrar e ilustrar este teorema. Definición.4 El espacio cartesiano ortogonal con la métrica euclidiana se denomina Espacio Euclidiano Tridimensional y se representa por E. Teorema.4 Dado un segmento de E con extremos P ( x, y, z ) y P ( x, y, z ). Si P es un punto del segmento P P tal que PP r P P entonces las coordenadas ( x, y, z ) de P son : x x rx r y y ry r z z rz r Actividad para el estudiante: demostrar e ilustrar este teorema. 0

11 .4 COORDENADAS EN N DIMENSIONES (N>) Por inducción, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de un espacio n dimensional ( n ) y Re n, el conjunto de las n-adas ordenadas de números reales. Un espacio de más de tres dimensiones se conoce como hiperespacio *. Para la mente humana es difícil concebir un mundo físico de más de tres dimensiones pues nuestros sentidos sólo perciben un espacio tridimensional. Sin embargo los espacios n dimensionales ( n ) tienen un tratamiento matemático análogo al del espacio tridimensional y aunque no tienen porqué tener relación directa con el mundo físico, si son de gran utilidad en muchas aplicaciones. En un hiperespacio cartesiano ortogonal de n dimensiones, el sistema de referencia está formado por n rectas, cada una de las cuales es perpendicular a las demás, tienen un origen común y una misma unidad de medida. A cada punto P situado en dicho espacio le corresponde una única n-ada ( x, x,..., x n), llamada sus coordenadas cartesianas ortogonales y donde cada x i es la coordenada sobre l i del punto de proyección de P sobre ella. Se representa P( x, x,..., x ). n Un conjunto de puntos (figura geométrica) en un espacio n E con n denomina una variedad. Por ejemplo, el universo físico de la relatividad se puede considerar como una variedad de cuatro dimensiones dotado de una métrica, que describe las propiedades físicas del universo. se * Para profundizar al respecto leer sobre espacios afines.

12 Definición.5 Sean P ( x, x,..., x n) y P ( y, y,..., y n) dos puntos de un hiperespacio cartesiano ortogonal. La distancia euclidiana entre P y P es: PP ( x y ) n i i i Definición.6 El hiperespacio cartesiano ortogonal de n dimensiones con la métrica euclidiana se llama Espacio Euclidiano n dimensional y se representa por n E..5 Ejemplos. Hallar las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son los puntos A(,), B(, ) y C (4,5) Solución: referirse a la figura.8 en la que se ha dibujado el triángulo. Sean D, E y F los puntos medios de los lados del triángulo. Por el teorema. se obtienen sus coordenadas así: D, 7 E, 7 F, por el teorema., se hallan las longitudes de las medianas AF, BE y CD. 7 AF ( ) 85

13 7 BE CD Figura.8. Ejemplo. Hallar las coordenadas del baricentro del triángulo del ejemplo. Solución: El baricentro es el punto de corte de las medianas del triángulo. De la geometría euclidiana se sabe que el baricentro esta a de la longitud de una mediana desde el vértice respectivo. Tomando, por ejemplo, la mediana CD ; si P( x, y ) es el baricentro, entonces se CP cumple que, PD Por el teorema., 4 () x y 5 4 y

14 El baricentro tiene coordenadas, 4.. El segmento de A(,,4) a B(5,6, ) se prolonga en una distancia igual a su longitud. Encontrar las coordenadas del punto final y del punto medio de la parte agregada. Solución: Supóngase que el segmento se extiende hasta el punto C( x, y, z ). El punto B queda como punto medio de AC, o sea que por el teorema.4 y con r : x y 5, 6, y y de ahí, x 7, y 4 y z 8 4 z El punto extremo es entonces C(7,4, 8) El punto medio de BC, por el mismo teorema, es (6,0, 5). 4. Probar que los puntos P (7,,), P (4,,), P (4,,5) yp 4 (,,) son los vértices de un tetraedro regular. Solución: Todas las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros. Los puntos dados son vértices de un tetraedro regular si cada una de ellos equidista de los 4

15 otros tres, o sea si PP PP PP 4 P P4 P P4. Mediante el teorema. se verifica que todas estas distancias miden..6 EJERCICIOS Ejercicios básicos. Hallar las coordenadas del punto del eje x que equidista de los puntos en E, A(,, 5) y B(,7,).. Verificar en cada caso si los puntos siguientes son colineales o no. a. (,),(0,),(9,7) b. (,),(,),(0,8) c.(, ),(5, ),(,). Si (, y) equidista de (,6) y (7, ), encontrar y. 4. Encontrar las coordenadas del punto que está a 5 de la distancia de A( 7,,) a B (,7,). 5. Dados A( 5,8, ) y B(6,5, 5), encontrar las coordenadas de un punto P sobre AB extendido más allá de B, de modo que AP AB. 6. Encontrar la condición para que el punto P( x, y, z ) diste trece unidades del punto A(,4,). 5

16 7. Hallar en cada caso las coordenadas del punto que divide el segmento AB en la razón r dada : a. A(,7), B(6,), r b. A(,), B(,4), r 8 c. A(, ), B( 4,), r 5 8. Hallar las coordenadas del punto del segmento PQ que está a 4 de la distancia de P(,5,6) a Q(6, 7, ) a partir de P. 9. Dados los puntos A(,,6) y B (5,4,), hallar C sobre la recta AB, tal que AC mida el doble que AB ( soluciones). 0. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos puntos extremos son (5,,7) y (,,).. Determinar si los puntos siguientes son colineales o no. a. (0,. 5), (,4,4), (,,) b. (,,5), (0,,6), (,,) c. (,.4), (,5,0), (0,,5) 6

17 Ejercicios avanzados. Mostrar que los puntos P (,5), P (,9), P (,7) y P (6,) 4 son los vértices de un paralelogramo.. Los puntos medios de los lados de un triángulo son ( 5,),(,4) y (5,5). Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo.. Hallar las coordenadas del baricentro (punto de corte de las medianas) del triángulo con vértices en (, ),( 4,7) y (8,0). 4. Mostrar que los puntos A(8,9), B ( 6,) y C (0,5) son los vértices de un triángulo isósceles. 5. Deducir la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos P ( x, y ) y P ( x, y ) si estos están referidos a un sistema cartesiano no ortogonal cuyos ejes forman un ángulo cuya medida es. 6. Mostrar que los puntos A(, ), B(+,+ ), C(, ), son los vértices de un triángulo equilátero. 7. Verificar si A(,4, 6), B(,8,), C(4,,-) y D (5,7,6), son los vértices de un paralelogramo. (Ayuda: recuerde que se debe verificar si los puntos son coplanares) 7

18 8. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto ( x, y, z ) equidista de los dos puntos (,0,) y (,,). 9. Dados los puntos A( x, y ) y B( x, y ) de modo que los segmentos OA y OB son lados adyacentes de un paralelogramo y O el origen, hallar las coordenadas del cuarto vértice del paralelogramo. 0. Un octágono regular de lado se coloca con centro en el origen y dos de sus lados paralelos al eje x. Hallar las coordenadas de sus vértices.. Probar, usando lo visto en este capítulo, que el segmento de recta que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa.. Mostrar que los puntos A(,,0), B(6,6,0) y C (6,,) son los vértices de un triángulo isósceles y encontrar su área.. Hallar el área del triángulo de P (,), P (4,7) y P (,9). E cuyos vértices son los puntos 4. Un cohete despega de un punto P de la Tierra tal que OP forma con los ejes X y Y ángulos de y 4 respectivamente. El sistema de referencia se sitúa con origen en el centro de la Tierra y de modo que el eje Z pasa por los polos. El cohete viaja en línea recta hacia un satélite a 500 Km de altura sobre la superficie. A del recorrido se suelta el tanque de combustible; halle las coordenadas del punto de donde esto ocurre. 8