Ecuación de Schrödinger

Transcripción

1 cuación de Schrödinger Potenciales unidimensionales Física Facultad de Ingeniería UNMDP

2 cuación de Schödinger dependiente del tiempo De Broglie nergía de una partícula en 1D ω = 2 k 2 + Planck Solución cuación de Schrödinger en 1D i ψ t 2 2 ψ x 2 ψ (x,t) Función de onda compleja de variable real que representa el estado de la ondícula

3 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Derivación Si el potencial es independiente del tiempo ( ) = V (x) V x,t i Ψ t = 2 2 Ψ x 2 + V (x)ψ l lado izquierdo de la ecuación sólo involucra la variación Ψ con t. l lado derecho sólo involucra la variación de Ψ con x. Proponemos asi una solución donde x y t son independientes Sustituyendo: 2 2 x 2 Note que: Ψ(x,t) = ψ (x)t (t) ψ (x)t (t) +V (x)ψ (x)t (t) = i t 2 x 2 ψ (x)t (t) = T (t) d 2 ψ dx 2 2 T d 2 ψ dt +V (x)ψt = i ψ dx 2 dt ψ (x)t (t) entonces, sta ecuación es a derivadas totales

4 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Continuación Dividiendo ambos miembros por ψt 2 T d 2 ψ dt +V (x)ψt = i ψ dx 2 dt 2 1 ψ d 2 ψ dx 2 +V (x) = i 1 T dt dt (3) Note que el lado izquierdo de la c(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t. Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así, i 1 T dt dt = A 2 1 ψ d 2 ψ dx 2 +V (x) = A sta ecuación depende sólo del tiempo y da cuenta de la evolución temporal. sta ecuación depende sólo de x y determina la dependencia espacial.

5 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo volución temporal i 1 T dt dt = A 2 1 d 2 ψ (4) +V (x) = A (5) ψ dx 2 i 1 T dt dt = A dt dt = ia T T (t) = ae iat/ T (t) = ae it/ sto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema. Note que T(t) no depende explícitamente de. Sí depende implícitamente dado que el potencial, como muestra (3), determina los valores posible de.

6 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Derivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Usando que A = en la c(5): 2 d 2 ψ dx 2 + V (x)ψ = ψ P 2 + ψ = ψ Hψ = ψ cuación de Schrödinger independiente del tiempo (SIT) La solución de la cuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como: Ψ(x,t) = ψ (x)t (t) = ψ (x)e it / Note que la densidad de probabilidad no depende del tiempo P( x,t) = ψ ( x,t) 2 = ψ * (x)e +it/ ψ (x)e it/ = ψ * (x)ψ (x) = ψ (x) 2 Por esta razón se conoce a las soluciones de la (SIT) como de estado estacionario.

7 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Soluciones de la SIT en potenciales constantes por partes La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo 2 d 2 ψ dx 2 + V (x)ψ = ψ Puede ser reescrita como ψ '' + k 2 ψ = 0 k = (6) donde [ ] Notemos que (6)es una ecuación diferencial de 2do orden. Para el caso en que sea constante podemos usar la función de prueba Ψ=exp( ax) y así hallar su polinomio característico a 2 ψ + k 2 ψ = 0 siendo las raices características ncontramos que (6) tiene dos posibles soluciones según sus raices caracteristicas sean reales o imaginarias (6) (7) Note que estas soluciones son la prolongación analítica una de la otra para k=+/ iα

8 Movimiento de una partícula clásica en un potencial 1D Zonas clásicamente permitidas y prohibidas en un potencial de forma arbitraria = c + p =P 2 / + X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X Zona clásicamente permitida () >=, c>=0 Notemos que una partícula clásica en este caso se encuentra confinada a moverse entre los puntos de retorno x i sólo en la regiones donde >=, esto es donde tiene c>=0. Zona clásicamente prohibida (ZCX) < No existen soluciones para las regiones donde >, por lo tanto son inaccesibles Note que para que la partícula pase de la región [x1,x2] a la [x3,x4] debe ganar una energía extra mayor a Vmax[x2,x3]

9 Ondícula en un potencial 1D scribimos las soluciones de la SIT para un potencial constante por partes Debemos escribir la SIT para cada zona d 2 ψ 1 = ( V dx 2 2 j )ψ 1 ZCX ZCX ZCX x d 2 ψ j = ( V dx 2 2 j )ψ j dónde Solución general para cada k j = 2 [ V j ] Notemos que la solución de la SIT(6) para las (k >=0), se escriben como una combinación lineal de exponenciales imaginarias Solución general para cada ZCX dónde α l = 2 [V l ] SORPRSA!! xiste solución de la SIT(6) para las ZCX. stas presentan valores de k imaginarios y se escriben como una combinación lineal de exponenciales reales

10 Interpretando las soluciones de la SIT para las Flujos Solución general para cada ψ j (x) = A j exp(ik j x) + B j exp( ik j x) ZCX ZCX ZCX Recordemos que de la SDT pudimos derivar la conservación del flujo de probabilidad. x J = ρ t dónde k j = 2 [ V j ] Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que ρ = ψ (x,t) 2 J = i ψ ψ * x ψ ψ * dónde y x Por lo tanto y sto es, el flujo de partículas se conserva para todo x. Así podemos calcular le expresión para el flujo para la l y obtenemos j l = k l ( m A l 2 B l 2 ) = k l m A l 2 k l m B l 2 = j der izq l j l

11 Condiciones de continuidad de la función de onda en las discontinuidades de potencial ψ '' + k 2 ψ = 0 ψ '' = ( V )ψ 2 Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia ( V). De modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos: ψ ''(x 0 ) ψ '' ψ ' ψ ψ ''(x 0 + ) Ψ discontinua de 1er orden ψ '(x 0 ) Ψ continua ψ '(x 0 + ) Ψ continua ψ ''(x 0 ) ψ ''(x 0 + ) Ψ discontinua de 2do orden ψ ''(x + 0 ) ψ ''(x 0 ) ψ '(x ψ '(x + 0 ) 0 ) Ψ discontinua de 1er orden Ψ continua

12 scalón de Potencial Aplicaciones de la SIT Modelo V=V 0 X=0 x Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la SIT 1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial Ubicar los puntos de discontinuidad. numerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como discontinuidades +1. Tendremos así tantas SIT y soluciones como zonas hayamos contado. 2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona Vemos como es la energia respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de una (>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales]. 3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad valuamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente.

13 scalón de Potencial Cálculo para >V 0 P: Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? R:Que las partículas experimenten un cambio en la c (y por lo tanto en su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario. Veamos ahora que ocurre con las ondículas Siguimos el procedimiento que propusimos anteriormente 1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial n este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la SIT. X=0 V=V 0 2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona Como es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son. La solución de la SIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que c de las ondículas en la zona 1 y 2 son distintas ψ 1 (x) = Aexp(ik 1 x) + Bexp( ik 1 x) x 0,k 1 = ψ 2 (x) = C exp(ik 2 x) + D exp( ik 2 x) donde donde x 0,k 2 = 2 2 ( V 0 ) x

14 scalón de Potencial Cálculo para >V 0 (Continuación) V=V 0 3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua. X=0 x ψ 1 (0) = ψ 2 (0) ψ ' 1 (0) = ψ ' 2 (0) y Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0,se obtiene y l análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de la izquierda en esta caso representa en flujo de incidente. n este caso no tiene sentido físico el flujo. Por lo tanto podemos reescribir las CC. 2k 1 A = (k 1 + k 2 )C (k 1 + k 2 )A = (k 1 k 2 )B

15 scalón de Potencial Cálculo para >V 0 (Continuación 2) Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que J 1 (0) = J 2 (0) A B C V=V 0 ( k 1 m) A 2 ( k 1 m) B 2 = ( k 2 m) C 2 Ondículas incidentes Ondículas reflejadas Ondículas Transmitidas X=0 x Sorpresa!!. No teniamos esto en el caso clásico J incidente + J reflejado = J Transmitido Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene 1 + J reflejado J incidente = J trasmitido J incidente ;1 B 2 A 2 = k 2 C 2 k 1 A 2 ;1 R = T Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como coeficiente de transmision. R+T=1 expresa la conservación del flujo de probabilidad.

16 scalón de Potencial Cálculo del coeficiente de reflexión y transmisión Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión A C T = k 2 C 2 k 1 A 2 = 4k 1 k 2 (k 2 + k 1 ) 2 = 4 ( V 0 ) ( V 0 + ) 2 Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si >>V0 R = B 2 A 2 = (k 2 k 1 ) 2 (k 2 + k 1 ) 2 = ( V 0 )2 ( V 0 + ) 2 B V=V 0 X=0 x MUY INTRSANT: Note que tanto R() como T() no dependen ni de m (la masa de la partícula) ni de h la constante de Planck. s decir que este resultado debería ser aplicable a un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!! Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones. CURIOSIDAD: Note que tanto R() como T() son simétricos frente ante un cambio de x > x, esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto al subir como al bajar el escalón.

17 scalón de Potencial Cálculo para <V 0 P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda. x=0 es un punto de retorno clásico ZCX Veamos ahora que ocurre con las ondículas Siguimos el procedimiento que efectuado anteriormente V=V 0 1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial n este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la SIT. 2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una. La solución de la SIT es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). n el caso de la zona 2 <V (ZCX) La solución de la SIT es una combinación lineal de exponenciales reales. ψ 1 (x) = Aexp(ik 1 x) + Bexp( ik 1 x) x 0, k 1 = donde ψ 2 (x) = C exp(αx) + D exp( αx) donde x 0,α = 2 X=0 2 (V 0 ) x

18 scalón de Potencial Cálculo para >V 0 (Continuación) ψ 2 (x) = C exp(αx) + D exp( αx) Notemos que Ψ2 (x) 2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0 y se debe cumplir que ψ 2 (x) 2 C=0 dx debe ser finita, entonces 0 n este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda. Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente que representa el flujo incidente. ZCX V=V 0 3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la derivada 1era es continua y la función ψ ' 1 (0) = ψ ' 2 (0) y Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0,se obtiene y ik 1 (A B) = αd X=0 ψ 2 (x) = C exp(αx) + D exp( αx) x

19 scalón de Potencial (<V) Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que J 1 (0) = J 2 (0) J 1 = ( k 1 m) A 2 ( k 1 m) B 2 A J 2 = i ψ 2 * ψ 2 x ψ 2 ψ 2 * x Dado que Ψ 2 es real J 2 =0 B V=V 0 Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión T = J 2 J 1 = 0 Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0 X=0 x R = B 2 A 2 = ik 1 α 2 ik 1 + α 2 = 1

20 scalón de Potencial (<V) Interpretando la solución en la ZCX ψ 2 (x,t)ψ 2 * (x,t) = D * D exp( 2αx) = D * D(exp( 1)) 2 para Δx 1 / α = / Longitud de penetración 2 (V 0 ) De las desigualdades de Heisenberg + Δ V o

21 Una ondícula en el scalón de Potencial (<V) Reflexión de la ondícula.