Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos

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1 Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Ultima actualización 7 de febrero de 05 Índice Referencias ] Atkins, P.W., de Paula, J. Química Física, 8 a Ed., Editorial Panamericana, 008 ] Bertran, J. y otros, Química Cuántica Síntesis, 00. La partícula libre Partícula libre en una dimensión La ec. de Schrödinger para una partícula libre sería (V = 0) Ĥ Ψ() = ˆT Ψ() = E Ψ() d h m d Ψ() = E Ψ() esta es una ec. diferencial de segundo orden cuyas soluciones son Ψ() = A e ip / h i = p = me A partir de la soluciones Ψ() = A e ip / h i = p = me puede observarse que misma solución que obtenida con el principio de correspondencia funciones propias de ˆp No hay cuantización de E

2 . Partícula en una caja mono- bi- y tridimensional Partícula en una caja monodimensional Definición del problema = 0 = L Soluciones fuera de la caja V= ( < 0 o > L) ] ˆp +V () Ψ() = E Ψ() m d Ψ d + m h E V () ] Ψ = 0 d Ψ d + m h E ] Ψ = 0 d Ψ d Ψ = 0 d Ψ d = Ψ Ψ = d Ψ d = 0 Soluciones en el interior de la caja V=0 (0 < < L) definiendo tenemos la ec. diferencial la ec. diferencial tiene como soluciones generales d Ψ d + m h E Ψ = 0 d Ψ d d Ψ d k = me h = k Ψ() = k Ψ() Ψ() = C e ik + De ik Ψ() = Asink + Bcosk E k = k h m

3 Análisis de la solución las condiciones de contorno Ψ() = Asink + Bcosk Ψ( = 0) = 0 B = 0 Ψ( = L) = 0 kl = nπ, n =,,... imponen niveles de energía discretos E = k h m = n h π ml = h 8mL n, n =,,... la función de onda queda, entonces, en la forma normalizando para obtener A Ψ() = Asin nπ L + =L = Ψ Ψd = A =0 A = /L ( sin nπ L ) d = A L Resumen de las soluciones ( nπ ) Ψ n () = L sin L E n = n h 8mL Forma y características de las soluciones 6 ( h 8mL ) En/ 9 4. Forma de las soluciones (paridad, número de nodos). confinamiento cuantización de estados 3. energía de punto cero consecuencia de principio de incertidumbre 4. separación entre niveles no uniforme 5. principio de correspondencia: cuando n distribución uniforme (límite clásico) 0 /L Aplicaciones 3

4 Los polienos conjugados presentan alternativamente enlaces simples y dobles ( -C=C-C=C- ) El comportamiento de los electrones π puede representarse de forma muy sencilla utilizando el modelo de la partícula en la caja Imagen tomada de Chem. Mater., 0, 3, 68 Aplicaciones en: dispositivos fotovoltáicos, sensores, nanofotónica, nanoelectrónica,... El comportamiento de los electrones en nanopuntos (Quantum Dots) puede representarse utilizando el modelo de la partícula en la caja ya que las funciones de onda de dichos electrones están obligadas a anularse en los límites del QD. Aplicación en celdas solares fotosensibilizadas con QD Aplicación a polienos conjugados Los polienos conjugados presentan alternativamente enlaces simples y dobles ( -C=C- C=C- ) El comportamiento de los electrones π puede representarse de forma muy sencilla utilizando el modelo de la partícula en la caja E = h 8m e L (n H + ) n H] = = h 8m e L (n H + ) = = h 8m e L (n e + ) = hν = hc λ ( ) 8me c L λ = h n e + Caja bidimensional Los términos del hamiltioniano de una partícula en una caja bidimensional actuan, cada uno de ellos, sobre variables diferentes h Ψ(,y) m + ] Ψ(,y) y = E Ψ(,y) ello permite separar variables en la función de ondas de la partícula Ψ(,y) = ψ () ψ y (y) 4

5 sustituyendo la forma de la función de onda h m h m d ψ ψ y d + ψ d ψ ψ d + d ψ y ψ y dy d ] ψ y dy = E ψ ψ y ] = E E + E y = E podemos, entonces separar la ec. de Schrödinger de una partícula en una caja bidimensional en dos problemas monodimensionales independientes h d ψ m ψ d = E h d ψ y m ψ y dy = E y h d ψ m d ψ y dy d = E ψ h m ψ,n = sin n π ψ y,ny = L L = E y ψ y sin n y π y L y L y E = h 8m n L E y = h 8m n y L y Wavefunction for n =, n y = Ψ(, y) 0 0 y/l y /L caso particular, caja cuadrada L = L y = L, degeneración E n,n y = h ( n 8mL + n ) y Energía total y función de onda E n,ny = En + En y y = h n ] 8m L + n y Ly Ψ(,y) = sin n π sin n yπy L L y L L y Caja tridimensional De forma similar ] E n,n y,n z = h n 8m L + n y Ly + n z Lz 8 Ψ(,y,z) = sin n π sin n yπy sin n zπz L L y L z L L y L z caso particular, caja cúbica L = L y = L z = L, degeneración E n,n y,n z = h ( n 8mL + n y + n ) z 5

6 3. Barreras finitas y efecto tunel U0 h d ] m d +U 0() Ψ() = E Ψ() Ψ() = Ae ik + Be ik Efecto tunel Energía Ψ A = Ae ik + Be ik k = me h Onda reflejada Onda incidente A B C Ψ B = C e α + De α α = Ψ C = F e ik Onda transmitida m(u0 E) h coeficiente de refleión R = B A coeficiente de transmisión (probabilidad de penetración) T = F A U ( ) ] 0 T = + 4E(U 0 E) sinh m(u0 E)L/ h si L es grande, U 0 >> E y/o m es grande T 6E(U 0 E) U0 e L m(u 0 E)/ h límite clásico cuando L, U 0 y/o m 6

7 efecto tunel importante para e, moderado para protones, menor otros importante en emisión de partículas α reacciones redo reacciones de transferencia protónica reacciones en la superficie de electrodos Efecto tunel en electrones Los e tienen una masa tan pequeña que con facilidad pueden atravesar barreras de varios ev de alto y varios nm de ancho Diodos semiconductores Transporte de carga en la cadena de fotosíntesis Transporte de carga en la cadena del ATP Reacciones redo Transferencia de carga en la superficie de electrodos 7