Operadores y Mecánica Cuántica

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Claudia Toledo Blázquez
hace 7 años
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1 Operadores y Mecánica Cuántica Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Curso Problema 1 Demuestre: a Que la función Ψx e x2 /2 es función propia del operador Â x 2 2 / 2. b Que ˆBΨx donde ˆB x / x es otra función propia de Â. a Para que Ψx sea función propia de Â tiene que ocurrir que donde a es una constante. ÂΨx a Ψx Aplicamos el operador Â a la función ˆx 2 2 e x2 /2 2 x 2 e x2 /2 d2 /2 2 e x2 x 2 e x2 /2 x 2 e x2 /2 e x2 /2 e x2 /2 que es la misma función, por tanto es función propia del operador Â con valor propio 1. b Necesitamos obtener ˆBΨx y comprobar la condición indicada en el apartado anterior en la función resultante ˆBΨx ˆx e x2 /2 xe x2 /2 + xe x2 /2 2xe x2 /2 y ahora Â 2xe x2 /2 ˆx xe x2 /2 x 2 2xe x2 /2 2x 3 e x2 /2 6xe x2 /2 es función propia con valor propio 3. Problema 2 6xe x2 /2 3 2xe x2 /2 Evalue el conmutador [d/,1/x 2 ] aplicando los operadores a una función arbitraria f x. 1

2 Aplicamos el conmutador [d/,1/x 2 ] a la función f x, 1ˆx ] d 1 2 f x ˆx 2 1ˆx d 2 f x d f x x 2 1 d f x x 2 x2 f x 2x f x x 4 f x x 2 2 x 3 f x y, 1ˆx ] 2 f x 2 f x x 3, 1ˆx ] 2 2ˆx 3 Problema 3 Evalue el conmutador [ ˆx /,ŷ /] aplicando los operadores a una función arbitraria f x,y. Aplicando el conmutador a una función arbitraria f x,y, tenemos [ ˆx,ŷ ] f x,y ˆx ŷ ŷ ˆx f x,y ŷ f x,y ŷ ˆx f x,y x x f x,y x f x,y + y 2 f x,y + xy 2 f x,y y f x,y ˆx f x,y y [ ˆx,ŷ ] ˆx ŷ f x,y + x 2 f x,y y f x,y yx 2 f x,y ˆx ŷ f x,y Problema 4 En el caso de que la función de onda que describe un sistema no sea función propia de un operador ˆB, se obtienen resultados diferentes cada vez que se realiza una medida de la propiedad B correspondiente en sistemas idénticos. a varianza del conjunto de resultados se define como σ 2 B B B 2, donde B es el valor de una medida y B es la media de todas las posibles medidas. Demuestrese que σ 2 B B2 B 2, usando la definición del valor medio A Ψ xâψx. 2

3 Tal como nos indica el problema, evaluamos B B 2 Ψ x ˆB B 2 Ψx Ψ x ˆB 2 + B 2 2 ˆB B Ψx Ψ x ˆB 2 Ψx + Ψ x B 2 Ψx 2 B 2 + B 2 2 B Ψ x ˆBΨx Ψ x ˆB B Ψx B 2 + B 2 2 B 2 B 2 B 2 con lo que queda demostrado que σ 2 B B B 2 B 2 B 2 Problema 5 Evalue el conmutador [ ˆx, ˆp x ] aplicando los operadores a una función arbitraria f x. Qué valor tiene el conmutador [ ˆp x, ˆx]? Aplicamos el conmutador [ ˆx, ˆp x ] a una función f x y obtenemos [ ˆx, ˆp x ] f x x i h d i h d x f x i hx d f x i hx d f x + i h d x f x + i h f x + i hx d f x [ ˆx, ˆp x ] i h Por otra parte podemos desarrollar el conmutador [ ˆp x, ˆx] [ ˆp x, ˆx] ˆp x ˆx ˆx ˆp x ˆx ˆp x ˆp x ˆx [ ˆx, ˆp x ] i h f x [ ˆp x, ˆx] i h Problema 6 Demuestre que [Â, ˆBĈ] [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â,Ĉ] si los operadores Â, ˆB y Ĉ son lineales. Para demostrar la igualdad [Â, ˆBĈ] [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â,Ĉ] 3

4 desarrollamos el miembro derecho de la ecuación como como queríamos demostrar. [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â,Ĉ] Â ˆB ˆBÂĈ + ˆBÂĈ ĈÂ Â ˆBĈ ˆBÂĈ + ˆBÂĈ ˆBĈÂ Â ˆBĈ ˆBĈÂ Â ˆBĈ ˆBĈÂ [Â, ˆBĈ] Problema 7 Suponiendo que se conoce la velocidad de un electrón con una incertidumbre de 1 µms 1, calcule la incertidumbre mínima en la posición. Y si se trata de un móvil de masa 1 g? Discuta los resultados. os observables posición y momento lineal no se pueden determinar simultaneamente con precisión arbitraria. El producto de la incertidumbre o errores en las respectivas medidas está limitado por el principio de incertidumbre x p x h 2 por tanto, dada la incertidumbre en la medida del momento lineal, el mínimo error en la medida de la posición vendrá dado por x h 2 p x que será, con los datos indicados para el electrón y para una masa de 1 g x x h 4πm v x h 58 m 4π m e h 4π m Problema 8 Demuestre que el valor esperado del momento lineal de la partícula en una caja monodimensional de paredes infinitas es cero. Qué significado físico tiene este resultado? El valor promedio de un observable puede calcularse como a Ψ ÂΨdτ donde la integral se extiende al todo el espacio donde está definida la función, Â es el operador asociado al observable a y Ψ es la función de estado del sistema. 4

5 Para el momento lineal en el problema de partícula en la cada 1D de paredes infinitas tendremos 2 nπ x p x sin i h d 2 nπ x sin 0 i h 2 sin nπ x 0 nπ nπ x cos i h 2 nπ x sin2 i h 2 sinnπ sin0 0 0 lo que puede interpretarse como que hay la misma probabilidad de encontrar a la partícula con una velocidad positiva, +v x que negativa, v x, por lo que la velocidad promedio y el momento lineal promedio serán cero. 5

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