SIMETRIAS Y LEYES DE CONSERVACION

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1 SIMETRIAS Y LEYES DE CONSERVACION 1. Introducción 2. Conservación de la energía y el momento 3. Conservación del momento angular 4. Paridad 5. Isospín 6. Extrañeza 7. Conjugación de carga 8. Inversión temporal Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 1

2 Introducción Las propiedades de invariancia de las ecuaciones de un sistema bajo transformaciones de simetría conducen a leyes de conservación. Transformaciones continuas: traslaciones y rotaciones en el espacio Transformaciones discretas: paridad, conjugación de carga, etc. La evolución temporal de un operador cuántico Q viene dada por la ecuación de Heisenberg: dq Q i! = i! + Q H dt t [, ] Hamiltoniano Si Q no depende explícitamente del tiempo, y conmuta con el hamiltoniano del sistema, será una constante. Los números cuánticos conservados están asociados a operadores que conmutan con el hamiltoniano Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 2

3 Conservación de la energía y el momento Un sistema aislado, no sometido a fuerzas externas, conserva la energía y el momento. Traslación infinitesimal en el espacio sobre un sistema descrito por la función de onda ψ : ψ () r ψ = ψ( r+ δ r) = ψ ( r) + δr = 1+ δr ψ r "#$#% r ψ = Dψ En función del operador cuántico momento p = i!, r D 1 ip δ r = +! Operador de traslación finita: r = nδ r D δ r i D= lim 1+ ip = exp p r n!! n generador Si el hamiltoniano es invariante bajo traslaciones entonces [ DH] [ ph], =, = y el momento lineal p se conserva. Si hay invariancia frente a traslaciones espacio-temporales se conserva el momento y la energía Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 3

4 Conservación de la energía y el momento (desintegraciones) Todas las desintegraciones y colisiones entre partículas conservan la energía total y el momento Magnitudes cinémáticas:! Cuadrimomento de una partícula de energía total E y momento p : p= ( E, p)! Invariante relativista: producto escalar de cuadrimomentos pp = EE p p i j i j i j! Masa invariante s de dos partículas: s = p + p = E + E p + p ( ) ( ) ( 1 2) Desintegración a dos partículas: a b+ c (centro de masas) pa = pb + pc b ( ma, ) = ( Eb, pb) + ( Ec, pc) a Las energías cinéticas de b y c vienen fijadas: c T b = ( m m m )( m m + m ) a b c a b c 2m a T c = ( m m m )( m m + m ) a b c a c b 2m Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 4 a

5 Conservación de la energía y el momento (desintegraciones) Desintegración a tres partículas: a b+ c+ d (centro de masas) pa = pb + pc + pc s, = E, p + E, p + ( E, p ) ( ) ( ) ( ) b b c c d d b d c La energía de una de ellas es máxima cuando las otras dos salen con igual dirección y velocidad: max s+ m ( m + m ) Ed = 2 s 2 2 d b c max ( m m ) ( m + m ) Td = 2m 2 2 a d b c a b c d Desintegración en vuelo: aplicamos una transformación de Lorentz cm cm ( β ) = γ + lab E E p z β Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 5

6 Conservación de la energía y el momento (colisiones) Colisiones: a+ b c"#$#% + d + e+... M Masa invariante al cuadrado: s = p + p = E + E p + p = m + m + E E p p ( a b) ( a b) ( a b) a b 2 a b 2 a b que en el sistema centro de masas es! Blanco fijo: p = s= ( E + E ) ( p + p ) E b 2 2 *2 a b a b, Eb mb = a b! Energía disponible en centro de masas E = m + m + 2m E *2 2 2 a b b a! Umbral de producción E = M = m + m + 2m E * um a b b a! Colisionador: E M m m umb a b a = 2mb s = m + m + 2E E + 2p p ' 4E E si m, m ( E, E 2 2 a b a b a b a b a b a b Si * Ea Eb E 2E = ' (con blanco fijo E * ' ) 2m b E a Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 6

7 Conservación del momento angular Rotación infinitesimal δφ alrededor de un eje: R = 1+ δφ φ En función de operador momento angular (3ª componente): Jz = i! x y = i! y x φ i R= 1+ Jzδφ! Una rotación finita φ se obtiene como i i R= lim 1+ Jzδφ = exp Jz φ n!! La invariancia del hamiltoniano bajo rotaciones conduce a [ RH] [ J H], =, = J z se conserva, y si la invariancia es respecto de cualquier eje implica la conservación del vector momento angular Todas las desintegraciones y reacciones entre partículas conservan el momento angular total (orbital más espín) n z Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 7

8 Paridad Transformación discreta que invierte las coordenadas espaciales Pψ( r) = ψ( r) 2 P es un operador unitario ( P = 1), por lo que los valores propios (si hay) solo pueden ser + 1 ó 1 (paridad del sistema) Si el hamiltoniano de un sistema conmuta con el operador P, la paridad del sistema se conserva. Ejemplo: potencial central. Los estados de momento angular definido dados por armónicos esféricos Y lm tienen paridad definida con valor ( 1) l La paridad es un número cuántico multiplicativo. Los sistemas compuestos ψ = φ φ φ... tienen paridad a b b P( ψ) = P( φ ) P( φ ) P( φ )... a b c Cada partícula elemental tiene asociada una paridad intrínseca. Por convenio las paridades del protón, el neutrón y el hiperón Λ son positivas. Fermión y antifermión tienen distinta paridad, mientras que bosón-antibosón tienen igual paridad La paridad se conserva rigurosamente en las interacciones fuertes y electromagnética, pero no en las débiles. Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 8

9 Paridad (ejemplos) Desintegración fuerte del meson φ (12 MeV ) :? +! 22 φ(1 ) K ( ) K ( ) ( Γ= 4, 43MeV τ = 1 s) Γ! Conservación del momento angular: J( φ ) = 1= s + s + l l = 1! Conservación de la paridad! Por tanto paridad intrínseca del φ : ) P( φ) = P( K ) P( K )( 1) " #$##% l P( φ ) = ( + 1)( 1) = 1 Desintegración electromagnética del barión Σ (1192 MeV ): 1? γ τ Σ ( ) Λ ( ) + (1 ) ( = 7,4 1 s)! Conservación del momento angular: 1 1 = + 1 ) + l L= L! Pero los fotones no pueden llevar momento angular nulo L=1! Experimentalmente: fotones con carácter dipolar magnético M1 sin cambio de paridad P( Σ ) = P( Λ ) =+ 1 Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 9

10 Paridad (ejemplos) Desintegración débil del mesón π + (139,5 MeV ) π ( ) µ ( ) + ν µ ( ) ( τ = 2,6 1 s ) ! Conservación del momento angular 1 1 l = = + + l 2 2 espines antiparalelos! Como la helicidad del neutrino es negativa también lo será la del muón p µ p ν s µ s ν! Bajo una transformación de paridad el proceso sería p ν p µ s ν s µ! Este proceso no existe en la naturaleza, no hay neutrinos dextrógiros. Por tanto se viola la paridad. Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 1

11 Isospín Los hadrones con propiedades similares y masas casi idénticas se agrupan en los llamados multipletes de isospín + (p,n), ( Σ, Σ, Σ ), ( π +, π, π ), (Λ ), ( ++ +,,, ) Un multiplete se caracteriza por un número cuántico interno I llamado isospín, que caracteriza a un vector I en el espacio de isospín, con terceras componentes I 3 asociadas a cada partícula de multiplete. A cada hadrón de carga Q, le asignamos un valor Q ( B+ S) I3 = e 2 con número bariónico B=1 para bariones, B= 1 para antibariones y B= para mesones. (S es la extrañeza) I I ( p) = 1 = I 1 1 pn, = 3( n) = 2 = 2 2 I ( π ) = 1 =+ 1 I = = + 3 I3( π ) = = Iπ = 1 3( π ) 1 1 El isospín se conserva en las interacciones fuertes (independencia de la carga en la interaccion fuerte entre nucleones), pero no en los procesos electromagnéticos ni en los débiles. η (958, I = ) η(547, I = ) + π ( I = 1) prohibido fuertemente η η+ π + π permitido fuertemente Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 11

12 Isospín Estados de isospín de un sistema de dos nucleones (I(p)=I(n)=1/2) χ( I = 1, I3 = 1) = p(1) p(2) 1 χ(1,) = (1) (2) + (1) (2) 2 χ(1, 1) = n(1) n(2) [ p n n p ] Estados tripletes de isospín { (,) 1 [ p(1) n(2) n(1) p(2) ] χ = Estado singlete de isospín 2 Función de onda total del sistema NN ψ = φ( espacial) α( espin) χ( isospin) Aplicación al deuterón (sistema de dos nucleones idénticos)! S = 1 α ( espin) simétrica! l = (onda S) φ( espacial) simétrica! χ ( isospin) necesariamente antisimétrica Ideuteron ( ) = Aplicación de la conservación isospín + p+ p d + π p+ n d + π (5%) + 1 I = 1(1%) + 1 I = 1(5%) + 1 σ ( p+ n d + π ) ( p+ p d + ) σ π + = 1 2 Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 12

13 Extrañeza Algunos mesones y bariones se desintegran de forma extraña, con vidas medias demasiado largas, a pesar de producirse en interacciones fuertes π + p Σ + K + 1 n ( 1 s) Σ + π τ = K + + µ + ν µ + π + π (63,5%) (21,16%) 8 ( τ = 1,24 1 s ) Se introduce la extrañeza como un número cuántico que se conserve en las interacciones fuertes y electromagnéticas, pero que se viole en 1 unidad en los procesos débiles Las partículas extrañas se producen a pares (producción asociada) Partículas no extrañas : S = + Arbitrariamente SK ( ) = 1 SK ( ) = 1 ( π + p n+ K + + K ) Los kaones son los mesones extraños más ligeros, por lo que se desintegran débilmente Existen resonancias mesónicas extrañas más pesadas que los kaones que se desintegran en mesones extraños ligeros sin violar extrañeza 23 K (892) K + π ( τ * 1 ) con S =+ 1 ó S = 1 a ambos lados. Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 13

14 Extrañeza El barión extraño más ligero es el (1116) ( n K ) puede desintegrarse fuertemente en Λ + ( m + m = 1431,9 MeV ) y lo hace débilmente violando extrañeza p K Λ π + + Λ + +, no p K Λ pπ Λ nπ τ * 1 ( 1 s) Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 14

15 Conjugación de carga La operación conjugación de carga C invierte el signo de la carga eléctrica y del momento magnético de la partícula dejando el resto de coordenadas iguales. La conjugación de carga implica el intercambio de partícula por antipartícula Las interacciones fuertes y electromagnéticas son invariantes bajo C. Se producen mesones positivos y negativos en proporciones iguales, en procesos fuertes o electromagnéticos p+ p π + + π K + K η π + π + γ + π + π + π Las interacciones débiles violan C. Un neutrino levógiro se transforma bajo C en un antineutrino levógiro, que no existe. ν C ν s p s p Si aplicamos C y P de forma simultanea, aparece un antineutrino dextrógiro (que sí que existe), y por tanto CP es una buena simetría. En 1964 se descubrió una pequeña violación de CP en la desintegración débil de los kaones neutros, del orden de 1 4 Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 15

16 Conjugación de carga Solo los bosones neutros que sean sus propias antipartículas ( S = I = B = C = ) pueden ser estados propios del operador C γ, π, η, η, ρ, ω, φ, J / ψ, ϒ Ni los bariones ni los leptones son estados propios de C Desintegración del π ( τ = 8, 4 1 s) 17! El pion neutro se desintegra en 2 fotones pero no en 3 fotones π π 3γ < 3 1 2γ 8! Como C π = η π y 2 2 C π η π π η = =+ =± 1! Además C γ = γ (ya que el campo electromagnético es producido por cargas en movimiento que cambian bajo C)! Por tanto C 2 ( ) C(2 ) ( 1) 1 π = γ = =+! En consecuencia π 3γ está prohibida si C se conserva en las interacciones electromagnéticas Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 16

17 Inversión temporal El operador inversión temporal T tranforma un estado ψ () t en ψ ( t) Si T es una buena simetría para cada proceso existe el proceso idéntico invertido temporalmente (principio de microrreversibilidad) En las interacciones fuertes T es una buena simetría Secciones eficaces diferenciales de la reacción Mg( α, p) Al y su inversa Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 17

18 Inversión temporal La violación de CP en las interacciones débiles implica la violación de T puesto que la simetría CPT es rigurosa para todas las interacciones (teorema CPT) La búsqueda de violación de T en los procesos débiles es de gran importancia en la verificación de la simetría CPT Física Nuclear y de Partículas Simetrías y leyes de conservación 18

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