A. Nociones elementales sobre teoría de grupos contínuos y sus representaciones

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1 Estructura de la materia 4 Guía 3: The eightfold way: Teoría de grupos y el Modelo de quarks (Primer cuatrimestre de 2013) A. Nociones elementales sobre teoría de grupos contínuos y sus representaciones 1. Dé una definición de simétrico que valga tanto para un objeto, como para un sistema y como para un lagrangiano, y muestre que la definición matemática de Grupo se puede adaptar como el marco teórico correcto para tratar problemas con simetrías. 2. Muestre que los números 1, i, -1, -i forman un grupo abeliano finito G, y que las matrices ( ) ( ) ( ) ( son una representación de 2 2 de G. 3. El grupo SU(2) se lo puede visualizar (y también se lo puede definir) a través de su representación fundamental que es el grupo de matrices de 2 2 unitarias de determinante igual a uno. (a) Muestre que esta representación de SU(2) forma un grupo. (b) Muestre que cualquier elemento de esta representación se puede obtener a través de la exponenciación imaginaria de un vector del espacio vectorial generado por la base { 1 2 σ 1, 1 2 σ 2, 1 2 σ 3}. O sea, si g rep. fundamental de SU(2) entonces existe θ R 3 tal que g = e i1 2 σ θ. Nota: en estos casos se llama espacio tangente a la identidad al espacio vectorial, se llaman generadores del grupo a los elementos de la base ({ 1 2 σ i} i=1,2,3 ), y se lo llama Grupo de Lie a esta clase de grupos. Observe que hay una biyección entre el espacio vectorial y el grupo. (c) En el grupo se puede definir una distancia entre elementos en función de la distancia definida de la manera usual entre los θ que le corresponden a cada elemento. Muestre que cualquier elemento del grupo puede ser generado con productos de elementos de cualquier entorno de la identidad. (d) Muestre que los generadores del grupo satisfacen un álgebra en la cual el producto de dos elementos viene dado a través del conmutador de ellos, [ 1 2 σ i, 1 2 σ j] = iǫ ijk 1 2 σ k. Nota: el álgebra de los generadores de un grupo de Lie es lo que generalmente se llama álgebra de Lie, y los iǫ ijk son en este caso las constanes de estructura del grupo. 4. Tome ahora el grupo SO(3), cuya representación fundamental viene dada por las matrices reales ortogonales de 3 3. (O sea, el grupo de rotaciones tridimensionales.) (a) Halle los generadores de este grupo de Lie. (b) Halle las constantes de estructura de este grupo y compárelas con las de SU(2) del problema anterior. 5. Muestre que el tensor antisimétrico de rango y dimensión 2, ǫ ab, es invariante ante cualquier matríz de la representación de SU(2) de dimensión 2 segun U ǫu = ǫ. (Ayuda: muéstrelo para U s en un entorno de la identidad y luego muestre que debe valer para cualquier U SU(2). Este truco es muy útil en demostraciones que tienen que ver con grupos de Lie.) 6. Muestre que las tres matrices (J i ) m1,m 2 = jm 1 J i jm 2, i = 1, 2, 3, m 1, m 2 = j,, j generan una representación irreducible de dimensión 2j + 1 del álgebra de Lie de SU(2), donde J 1 = (J + + J )/2, J 2 = (J + J )/2i, y J + jm = j(j + 1) m(m + 1) j, m + 1 J jm = j(j + 1) m(m 1) j, m 1 J 3 jm = m jm Construya explícitamente las 3 matrices J i de 6 6 y verifique que satisfacen el álgebra de SU(2), p. ej [J 1, J 2 ] = ij 3. A partir de la fórmula de Hausdorff, sin más cuentas, muestre que el conjunto continuo U( θ) = exp (i θ J) de matrices de (2j+1) (2j+1) es una representación del grupo SU(2). ) 1

2 B. Producto directo y teoría de grupos 7. Sean dos subespacios de Hilbert H 1,2 con estados posibles φ i=1...n y ψ j=1...m, respectívamente. (a) Muestre que si el sistema es tal que su estado puede ser alguno de H 1 o de H 2 entonces la base de estados posibles para el sistema son n + m estados. Halle estos estados. (En este caso se dice que el sistema se halla en un estado de la suma directa H 1 H 2.) (b) Muestre que si en cambio el sistema es tal que es una combinación de H 1 y de H 2, o sea por ejemplo que hay una partícula en H 1 y otra en H 2 que no interactuan entre sí, entonces la base de estados posibles para el sistema son n m estados. Halle estos estados. Reflexione sobre cómo a pesar de que las partículas no interactuan se pueden formar estados que no corresponen a una partícula en un estado y la otra en otro, sino que estan entrelazados los sistemas. (En este caso se dice que el sistema se halla en un estado del producto directo H 1 H 2.) 8. Se define como producto directo de matrices a a b del siguiente modo (a b) rs = a ij b kl donde los índices r y s valen r = ik = 11, 12, 13,..., 1n, 21, 22,..., 2n...mn (suponiendo que i = 1...m y k = 1...n) y s = jl en modo análogo. O sea, por ejemplo, si a R 2 2 y b R 3 3 entonces a 11 b 11 a 11 b 12 a 11 b 13 a 12 b 11 a 12 b 12 a 12 b 13 ( ) a11 a a b = 12 b 11 b 12 b 13 a 11 b 21 a 11 b 22 a 11 b 23 a 12 b 21 a 12 b 22 a 12 b 23 b a 21 a 21 b 22 b 23 = a 11 b 31 a 11 b 32 a 11 b 33 a 12 b 31 a 12 b 32 a 12 b b 31 b 32 b 33 a 21 b 11 a 21 b 12 a 21 b 13 a 22 b 11 a 22 b 12 a 22 b 13 a 21 b 21 a 22 b 22 a 21 b 23 a 22 b 21 a 22 b 22 a 22 b 23 a 21 b 31 a 21 b 32 a 21 b 33 a 22 b 31 a 22 b 32 a 22 b 33 (a) Simplifique, si puede, las expresiones (α a) (β b) y también (a b) + (c d), con α, β R. (b) Muestre que esta definición implica que cualquier operación que se realice sobre uno de los espacios de Hilbert factor del producto directo es independiente de lo que se realice sobre el otro espacio. O sea, que (a b) (c d) = (a c) (b d) (c) Halle que en efecto esta definición de producto directo de matrices sirve para operar sobre el espacio de Hilbert producto directo H 1 H 2, para esto halle cuál es la base correcta de estados del espacio producto directo. (d) Hagamos un ejemplo concreto que haga entender todo. Tome un elemento del grupo SU(2) y sea a la matríz que lo representa en la representación de 2 2 y b la matríz que lo representa en la representación de 3 3. Realice el producto directo a b y luego haga el cambio de base que le indica la tabla de Clebsch-Gordan y verifique que la matríz resultante se divide en bloques y representa la transformación sobre el espacio suma directa resultante. Si hizo las cosas bien habrá mostrado que 2 3 = 2 4 (o en la notación de la tabla de Clebsch-Gordan: 1/2 1 = 1/2 3/2.) C. Aplicaciones sobre SU(2) y SU(3) 9. Usando una tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan, muestre que si a los estados cuánticos se los rotula según bajo qué representación del grupo SU(2) transforman, de acuerdo con la siguiente notación etc.. 1 = representación trivial de SU(2) (p.ej. el singlete) 2 = representación de SU(2) de spin s = 1 2 (la fundamental) 3 = representación de SU(2) de spin s = 1 (p.ej. triplete) 4 = representación de SU(2) de spin s = 3 2, 2

3 entonces vale que y calcule 2 2 = = = =? 2 3 =? Cómo interpretaría estos resultados en término de repesentación matricial del grupo SU(2)?(*) 10. En el el ej.6 se vio que el espacio de dimensión 8 obtenido como producto directo de 3 representaciones fundamentales de SU(2) es reducible y se descompone en suma directa de un espacio de dimensión 4 y dos de dimensión 2: = Utilizando coeficientes de Clebsch-Gordan, y llamando {u, d } a la base de la representación fundamental, muestre que la transformación lineal de la base producto a la base suma directa está dada por uuu (uud + udu + duu)/ 3 (udd + dud + ddu)/ 3 ddd { (2uud udu duu)/ 6 (2ddu dud udd)/ 6 { (udu duu)/ 2 (udd dud)/ 2 Por aplicación de los operadores de subida y bajada verifique que estos tres subespacios son en efecto irreducibles. 11. El grupo SU(3) se puede definir como el de las matrices unitarias de 3 3 y determinante 1. (a) Muestre que toda U SU(3) puede escribirse como U = exp(ih) con H hermítica de 3 3 y traza nula, y que ésta puede parametrizarse en término de 8 números reales como H = a 8 + a 3 a 1 ia 2 a 4 ia 5 8 a 1 + ia 2 a 8 a 3 a 6 ia 7 = a k λ k o sea U = e ih = e i a kλ k a 4 + ia 5 a 6 ia 7 2 a 8 k=1 (b) Las matrices λ 1,...,λ 8, denominadas de Gell-Mann, son las generadoras del grupo y juegan el rol de las de Pauli en SU(2), compare exp(i θ i σ i ) con exp(i a k λ k ). Escriba las λs, verifique que λ 3 y λ 8 son diagonales y que las otras 6 pueden combinarse en 3 pares de operadores de subida y bajada à la SU(2), J ± = 1 2 (J 1 ±ij 2 ) : λ 12 ±, λ45 ±, λ67 ±. Note que λ 1, λ 2, λ 3 son los generadores de un subgrupo SU(2) de SU(3). (c) Llamemos u, d, s, a la base del espacio donde actúan las 8 matrices λ k, denominada la representación 3, o triplete: Muestre que éstos pueden ser identificados unívocamente por sus autovalores de I 3 λ 3 /2 y S = (λ 8 1)/3. Dibuje en el plano (I 3, S) los elementos de esta base e identifique como actúan los 6 operadores de subida y bajada entre ellos. (d) Por aplicación de los 6 operadores de bajada y subida encuentre el multiplete de SU(3) del que forma parte el cuadruplete de SU(2) del ejercicio anterior. Muestre que tiene dimensión 10, y represente los estados en el plano (I 3, S). (e) Repita el item anterior pero para los multipletes que corresponden respectivamente a los dos dobletes de SU(2) del ejercicio anterior. Verifique que cada uno forma un octete ( the eightfold way ) y represéntelos en el plano (I 3, S). (f) Hemos encontrado hasta aquí que el espacio producto se descompone en suma directa de 3 representaciones irreducibles = , donde claramente falta un singlete (3.3.3=27, pero =26). Por aplicación de los 8 generadores de SU(3) muestre que el singlete es = (uds dus + dsu usd + sud sdu)/ 6 (g) Note que hemos demostrado que para el grupo SU(3) es = Cómo es la descomposición de para el grupo SU(2)? 3

4 D. Modelo de quarks 12. Para los procesos abajo detallados, muestre que la conservación del isospín implica la siguiente relación entre sus secciones eficaces: σ 1 = σ 3 = 2σ 2 1) p + p d + π + 2) p + n d + π 0 3) n + n d + π Así, es posible poner a prueba el modelo de clasificación en términos del isospín teniendo en cuenta la relación entre los eventos de interacción de tales tipo. 13. Para la dispersión elástica pión-nucleón π + N π + N considere todos los casos posibles para los distintos estados de carga y encuentre las relaciones entre las secciones eficaces correspondientes. 14. Sabiendo que la partícula Σ 0 puede decaer en los pares Σ π +, Σ 0 π 0, Σ + π, y a partir de la conservación del isospín en las interacciones fuertes, indique qué porcentaje espera en cada canal de estos decaimientos. 15. Encuentre el cociente entre las secciones eficaces de las siguientes interacciones, 1) π + p K 0 + Σ 0, 2) π 0 + p K + + Σ 0, 3) π + + p K + + Σ +, suponiendo la conservación del isospín en tales procesos y según predomine el canal de isospín 1/2 ó 3/ Un hipernúcleo es aquel en que un neutrón está remplazado por un hiperón Λ. El He 4 Λ y el H4 Λ forman un doblete de isospín, y se obtienen haciendo incidir un haz de kaones sobre núcleos de He 4 : K + He 4 He 4 Λ + π K + He 4 H 4 Λ + π 0 Muestre que se obtienen el doble de núcleos He 4 Λ que de H4 Λ 17. Al estudiar la reacción K p Σ + π en función de la energía se observa la formación de una resonancia a 1660 MeV en el c.m. Qué se puede decir de los números cuánticos de esta? Muestre que el isospín no queda unívocamente determinado, y que el estudio del estado final Σ 0 π 0 permite decidir entre las diversas posibilidades. 18. De acuerdo a consideraciones de Isospin (a) Diga cuales de los siguientes procesos mediados por la interacción fuerte son posibles o no. Justifique i. π p π + Σ ii. π p K 0 n iii. π p Σ + K iv. π p Λ 0 K 0 (b) Considerando que el 3 He y el 3 H forman parte de un doblete de Isospin, con autovalores de I 3 = +1/2, 1/2 respectivamente, muestre que 19. La composición del barión Σ + del octete es (uus) σ(p d 3 H π + ) σ(p d 3 He π 0 ) = 2 (a) Escriba la función de onda de SU(3) sabor SU(2) espin en el caso en que su espín está orientado en el sentido negativo del eje z. (b) Indique cuál es la probabilidad de hallar un quark s orientado en forma paralela y antiparalela al eje z. 4

5 (c) Calcule el momento magnético del Σ Construya las funciones de onda de sabor y de spín simétricas y totalmente antisimétricas para el caso del protón, utilizando solamente una tabla de Clebsch-Gordan. Repitiendo el cálculo para el caso del neutrón, demuestre que la relación entre el momento magnético de ambas partículas está determinado por la simetría de las funciones de onda calculadas anteriormente. Asimismo, discuta dichas propiedades de simetría en relación al signo del momento magnético del neutrón medido experimentalmente. 5