PROBLEMAS Y CUESTIONES Tema 6

Transcripción

1 PROBLEMAS Y CUESTIONES Tema 6 *6. Las funciones de espín α y β forman un conjunto completo de funciones de espín, de modo que cualquier función de espín monoelectrónica puede escribirse como una combinación lineal de ellas. Se pide: a) Teniendo en cuenta las expresiones ˆ S xα = hβ y S ˆ xβ = hα, obtener dos funciones propias normalizadas del operador Ŝ x con valores propios h / y h /. b) Teniendo en cuenta que S ˆ α = y hβ i y β h α y = i, obtener dos funciones propias normalizadas del operador Ŝ y con valores propios h / y h /. c) Supóngase que una medida de S z para el electrón da el valor h / ; si inmediatamente después se realiza una medida de S x, Cuáles son las probabilidades de que se obtenga h / y h /? Solución.- a) ϕ = ( α + β ) y ϕ = ( α β ). c) / y /. 6. Sean ψ y ψ las funciones para la partícula en la caja monodimensional de longitud unidad, correspondientes a n = y n =, respectivamente. Si hay un electrón en cada uno de estos orbitales, la parte espacial del triplete y del singlete son, respectivamente, ψ A = ( / ) ( ψψ ψ ψ) y ψ S = ( / ) ( ψψ + ψ ψ). Imagínese que la partícula está dentro de un intervalo dx alrededor de x = 0.5 y la partícula está dentro de un intervalo dx alrededor de x = Mostrar que la función de onda ψ A( x = 0.5, x = 0.55) es muy pequeña, mientras que ψ S ( x = 0.5, x = 0.55) es grande. Justificar el resultado en base al principio de exclusión de Pauli. 6.3 Calcular las integrales: a) Σ ˆ S Σ, b) Σ S ˆ Σ y c) Σ S ˆ Σ Σ = ( α + β ) / Comprueba que Σ es función propia de Dato.- ˆ S xα = hβ y S ˆ xβ = hα Solución.- a) 3h / 4, b) h / y c) 0. Ŝ y de x Ŝ x, pero no lo es de z Ŝ z.. Siendo *6.4 Muestra que si los orbitales espaciales φ y φ son ortogonales, las seis funciones de onda determinantales, φ φ, φ φ, φ φ + φ φ, φ φ φ φ, φ φ y φ φ, son mutuamente ortogonales. 6.5 Hallar los valores propios de Ŝ z para las funciones φ φ y φ φ. Solución.- h y, 0 respectivamente. 6.6 Demuestra que las tres funciones de espín diferentes del estado triplete, αα, ββ y αβ+βα, son linealmente independientes. *6.7 Son ortogonales las funciones s s y s s s s si se cumpliera s s 0? Repite para el caso s s y s s + s s. Solución.- a) No, b) Si.

2 6.8 En unidades atómicas ( h = ) se tiene = + z + z. Para un sistema de N partículas: N ˆ z = z ( i), S = x S i= ˆ N x( i) y N y = i= i= ( i). Comprueba que la función de espín para un sistema de 3 electrones, ψ = ααβ αβα βαα, es función propia de los operadores Ŝ y Ŝ z con valores propios S = / y M S = /. Dato.- S ˆ ˆ + α = S β = 0 y en u.a. Ŝ +β = α, Ŝ α = β. *6.9 Si para un sistema de dos electrones tenemos en cuenta que = + z h + z, donde S ˆ ˆ () ˆ z = Sz + Sz () y S ˆ ˆ () ˆ ± = S± + S± (), comprobar que las funciones de espín simétricas/antisimétricas son funciones propias de Ŝ con valores propios h / 0, respectivamente. 6.0 Demuestra que a pesar de que α y β no son funciones propias de Ŝ x (ni de cambio sí que lo son de S ˆx (y de S ˆy ). y Ŝ y ), en 6. Demuestra que la función de onda, representada por el determinante s s c s + c, para un átomo de tres electrones, es idénticamente nula. s 6. La parte de espín de las funciones de onda para el primer estado excitado del átomo de helio puede ser ψ a = α( ) α(), ψ b = α( ) β () + β () α() y ψ c = β ( ) β (). Puesto que S ˆ z ψ = M S hψ, Cuáles son los valores de M S para las tres funciones de espín anteriores? Solución.-, 0, - (respectivamente). 6.3 Dados las funciones de onda determinantales D = φ φ y D = φ φ, se pide: a) Evaluar la integral D D si los orbitales de base están normalizados pero no son ortogonales (es decir, φ φ = φ φ = Δ 0 ) b) Comprueba que D D D + D 0. Solución.- a) D = D = Δ 6.4 Para un estado excitado del átomo de Litio, se propone la siguiente función de onda: s () s () s (3) ψ = s() s() s(3) 6 3s() 3s() 3s(3) Donde s, s y 3s son funciones propias del hamiltoniano monoelectrónico Li. Se pide: a) Satisface ψ el principio de exclusión de Pauli? b) Escribe el hamiltoniano exacto Ĥ, en unidades atómicas, para el átomo de Litio. c) Es ψ una función propia del hamiltoniano exacto del Litio? d) Si despreciamos los términos de repulsión electrónica en Ĥ (hamiltoniano exacto del átomo de Litio), qué energía, en unidades atómicas, se asocia a la función ψ? e) Qué componente z del espín y del momento angular orbital (en u.a.) debe esperarse para el átomo de Litio en este estado? Solución.- a) Si, c) No, d) -6,5 u.a., e) -3/ u.a. y 0 (respectivamente). +

3 *6.5 Un estado atómico al que corresponde el término 3 D 3 está descrito por la función de onda ψ. Cuál es el valor de a en cada una de las expresiones A ˆ ψ = aψ, cuando el operador  viene dado por cada una de las posibilidades: a) ˆL, b) Ŝ, c) Ĵ d) Lˆ z, e) Ŝ z y f) Ĵ z? Nota.- Asume que es válido el acoplamiento L S. Si hay más de una posibilidad indícalas todas. Solución.- a) 6h, b) h, c) h, d) (,, 0,, ) h, e) (, 0,) h, f) ( 3,,, 0,,, 3) h *6.6 Cuántos estados existen para cada uno de los siguientes términos multipletes: a) 3 D, b) 5 F? Solución.- a) 5, b) 35 *6.7 Para una configuración electrónica determinada, son posibles todos los términos siguientes: P 3/, P / y S 0? Razona la respuesta. *6.8 Qué valores de J pueden surgir en los términos siguientes: S, P, 3 P, 3 D, D, D y 4 D? Cuántos estados (distinguidos por los posibles valores de M J ) pueden darse en cada uno de los casos? 3

4

5

6