NOTAS DE ESTUDIO DE ÁLGEBRA LINEAL M.C. MARCOS CAMPOS NAVA TEC DE ATITALAQUIA

Transcripción

1 Hasta ahora se han discutido algunas de las propiedades de objetos matemáticos llamados matrices. Un caso de especial interés son las matrices cuadradas, por ejemplo: Se sabe que esta matriz es invertible si su determinante es diferente de cero; por expansión de Laplace el determinante se calcula de la siguiente manera: *Observaciones importantes: 1) Matriz Diagonal 2) Matriz Triangular Superior 3) Matriz Triangular Inferior 4) Ejercicio: Justifique las cuatro observaciones anteriores. 1

2 Una propiedad importante de los determinantes es la siguiente: Si A y B son matrices 3x3, entonces det (AB)= (det A)(detB) (Justificar). También se han estudiado otros objetos matemáticos llamados vectores, que en términos generales se pueden asociar a fenómenos físicos como velocidad, fuerza y aceleración. En particular un vector queda definido si se conocen sus componentes rectangulares cuando éste se sitúa en un sistema de referencia; particularmente vectores con dos componentes en el espacio bidimensional y con tres componentes en el espacio tridimensional. En este vector queda definido con dos componentes: En este vector queda definido con tres componentes: Un caso particular son los vectores unitarios, cuyo módulo (longitud del vector) es igual a la unidad; en los vectores unitarios se definen de la siguiente forma: Análogamente para sólo existen los vectores unitarios *Observación importante: recuerde que las operaciones elementales con vectores son la suma y la multiplicación por un escalar (número real). Definición de las operaciones elementales: Si y 2

3 Observe lo siguiente: Cualquier vector en elementales y los vectores unitarios se puede expresar usando estas operaciones Ejemplos: a) b) c) d) En notación de matrices, el ejemplo (d) se puede representar de la siguiente manera: Este sistema tiene solución sin importar los valores de k y l porque la matriz invertible. es Análogamente para con ; ; cualquier vector que pertenezca al espacio tridimensional se puede expresar usando operaciones elementales y los vectores unitarios; por ejemplo: Exprese el vector usando los vectores unitarios Se dice entonces que el vector ; ;. es una combinación lineal de los vectores En cualquier par de vectores distintos entre sí y diferentes de cero, por ejemplo (1,0) y (0,1) o en cualquier tercia de vectores distintos entre sí y diferentes de cero como (1,0,0); (0,1,0) y (0,0,1) se dicen una base del espacio vectorial en cuestión si por medio de combinaciones lineales (operaciones elementales con vectores), se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio vectorial. Ejercicio: Son los vectores base para? Particularmente exprese el vector como una combinación lineal de. Esto es análogo a buscar escalares k,l,m tales que: 3

4 En lenguaje de matrices: Este sistema tiene solución? En caso afirmativo, se podrán calcular los escalares k,l,m y se podrá expresar como una combinación lineal de ; si el sistema no tiene solución, lo anterior no es posible y se concluirá que los vectores propuestos no son una base para Cómo decidir si una tercia de vectores es una base para? Si es observador, para el ejemplo anterior, basta que usted calcule det para decidirlo. TRANSFORMACIONES VECTORIALES. Considere el vector siguiente manera: este vector se representa geométricamente de la Ahora considere que utiliza un nuevo sistema de referencia; dos ejes perpendiculares x y cuyo origen coincide con el sistema original xy, pero el eje x va en la dirección (1,1) cómo se ve desde este nuevo sistema de referencia el vector? 4

5 Visto desde el sistema de referencia original (xy) plano cartesiano, el vector se expresa de la siguiente forma: ; sin embargo a partir del nuevo sistema de referencia x y (plano cartesiano rotado 45 o ) el vector se expresa así: por qué? Aunque es el mismo objeto, se expresa de diferente forma, decimos que el vector transformación de xy a x y. sufre una Ejemplo: Decida si son una base para y en caso afirmativo encuentre las componentes del vector con respecto a esta base. por tanto los vectores sí forman una base para Resolviendo por Gauss y sustitución regresiva (matriz aumentada del sistema) Por lo tanto el vector visto en la base se transforma en el vector visto desde la base 5

6 Ejercicio: Decida si el conjunto es una base para y en caso afirmativo encuentre las componentes del vector con respecto a esta base. 6