ÁLGEBRA LINEAL HORAS PRÁCTICAS UNIDADES CRÉDITO HORAS TEÓRICAS CODIGO (COMPUTACION) (SISTEMAS) II NINGUNO

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1 ÁLGEBRA LINEAL CODIGO HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS UNIDADES CRÉDITO SEMESTRE PRE REQUISITO (COMPUTACION) (SISTEMAS) II NINGUNO ELABORADO POR REVISADO POR APROBADO POR Ing. Inés K. Sánchez O., MSc, MGS 1

2 JUSTIFICACIÓN La ciencia moderna requiere cada día más y mejores métodos para el análisis y modelación de la realidad. La modelación y análisis requerido por ciertas ciencias involucran problemas como la solución de ecuaciones lineales simultáneas. El Álgebra de matrices es muy importante en la modelación de problemas complejos con muchas variables y en el manejo de estructuras de datos. El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas. Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar a través de un modelo lineal; sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra línea; además es una herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería. Finalmente, el manejo de vectores es fundamental para los estudiantes de las Ingenierías, donde se vayan a manejar fuerzas ó cantidades que impliquen sentido, magnitud y dirección. El presente programa está estructurado en cuatro unidades: UNIDAD I : VECTORES UNIDAD II: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES UNIDAD III : MATRICES UNIDAD IV: DETERMINANTES Conceptual Procedimental Actitudinal GENERALES Analizar la noción de vectores, espacio vectorial y subespacios, las transformaciones lineales, la correspondencia entre éstos y el espacio del álgebra matricial, suscitando un pensamiento lógico matemático, lógico algorítmico, heurístico, analítico y sintético, para la asociación, el análisis y modelización de fenómenos reales de naturaleza lineal, que propicien una óptima toma de decisiones. Aplicar técnicas fundamentales de la teoría vectorial y matricial, seleccionando la estrategia más adecuada o procedimiento efectivo (algoritmo), previa abstracción de situaciones particulares y concretas y su correcta interpretación, descubriendo las relaciones que se desprenden entre los elementos constituyentes para la solución de situaciones contextualizadas de fenómenos reales de naturaleza lineal Valorar las posibilidades de aplicación de la estructura vectorial y el álgebra matricial como modelos matemáticos eficaces en el planteamiento y resolución de fenómenos físicos y situaciones contextualizadas, fomentando el proceso de diseños óptimos y su uso crítico en la toma de decisiones, comunicándolo en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. 2

3 UNIDAD I: VECTORES OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LAS DIFERENTES CONTENIDAS EN LA ESTRUCTURA VECTORIAL PARA LA RESOLUCION DE DIVERSAS SITUACIONES PROBLEMÁTICAS O CONTEXTOS, TANTO A NIVEL DEL PLANO COMO EN EL ESPACIO. DE 1.1. Interpretar 1. VECTORES geométricamente el Definición de vector concepto de vector, en base a situaciones del Definición de los componentes de un vector 5 entorno inmediato, para la en el plano y en el espacio asociación de su definición Magnitud de vector en el a los fenómenos reales. plano y en el espacio Determinar los parámetros Dirección de un vector característicos de un según la posición en los vector en el plano y en el cuadrantes del plano. espacio, de manera Dirección de un vector en el algebraica y gráfica para el espacio. Cosenos directo- modelaje de fenómenos res físicos 3

4 DE 2.1. Establecer las definiciones y propiedades de las diferentes operaciones entre vectores, considerando condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre los mismos para el modelaje de fenómenos físicos. 2. OPERACIONES ENTRE VECTORES Suma y resta de vectores Multiplicación de un vector por un escalar Producto escalar Proyecciones en el plano Producto vectorial Vector unitario Aplicar las operaciones y sus propiedades de vectores pertinentes en el análisis y resolución de problemas, afianzando la utilización de los diferentes procedimientos. 4

5 DE 3.1. Establecer los axiomas que condicionan a los vectores como espacio vectorial real y subespacios, en base a las definiciones de suma y multiplicación de vectores por un escalar. 3. ESPACIOS VECTORIALES Y SUB-ESPACIOS. Definición. Propiedades Operaciones con sub-espacios Dependencia e Independencia lineal Resolución de ejercicios Aplicar la definición de espacio vectorial y propiedades en la resolución de problemas asociados al conjunto de vectores en R 2, R 3 y R n, para determinar si corresponden o no a un espacio vectorial. Combinaciones Lineales Bases y dimensión de un espacio vectorial Sub-espacios generados 3.3. Construir el subespacio vectorial de las combinaciones lineales de un determinado conjunto de vectores. 5

6 UNIDAD II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES OBJETIVO TERMINAL: DETERMINAR EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN (DE INGENIERÍA, GEOMÉTRICOS, ECONÓMICOS Y DE OTROS TIPOS), SOBRE LA BASE DE LA METODOLOGÍA DE LAS OPERACIONES CON RENGLONES O FILAS DE LA MATRIZ AUMENTADA, INDUCIENDO LA CAPACIDAD DE APORTAR DE UNA MANERA CRÍTICA CONCLUSIONES VÁLIDAS (RAZONADAS Y JUSTIFICADAS) A PARTIR DE LOS RESULTADOS PRODUCIDOS, Y PERMITIENDO UNA GESTIÓN EFICIENTE DE LA INFORMACIÓN ADQUIRIDA. DE 6

7 1.1.Interpretar geométricamente la solución de un sistema de ecuaciones lineales que facilite su compresión como único punto de solución donde coinciden todas las ecuaciones Identificar los criterios de un sistema de ecuaciones de solución única, inconsistente, equivalente y homogéneo 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición de sistemas de ecuaciones y explicación de cuando un sistema tiene solución. La geometría de un sistema de dos y tres ecuaciones respectivamente. Sistemas de Ecuaciones Homogéneos Modelar problemáticas situacionales en forma de sistema de ecuaciones, donde se promueva la capacidad análisis del constructo teóricos en relación con fenómenos lineales. DE 7

8 2.1 Establecer las operaciones básicas entre renglones, permitiendo diagonalizar la matriz. 2. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Operaciones básicas entre renglones Método de Gauss Jordan Definir el método de Gauss Jordan como herramienta en la solución de sistemas de ecuaciones lineales 2.3 v Determinar la solución correspondiente a un sistema de ecuaciones, para la resolución de problemas de aplicación, mediante las operaciones básicas con renglones, a partir de la modelización de los sistemas de ecuaciones. UNIDAD III: ALGEBRA MATRICIAL OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LAS OPERACIONES SOBRE LA BASE DE LA NOTACIÓN MATRICIAL COMO HERRAMIENTA PARA LA RESOLUCION DE SENCILLOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, ANALIZANDO LAS RELACIONES CON OTROS SISTEMAS FÍSICOS (HIDRÁULICOS, MECÁNICOS, ROBÓTICOS, ECONÓMICOS, BIOLÓGICOS, SOCIALES, ENTRE OTROS) 8

9 DE 1.1 Reconocer las distintas formas de construir una matriz, a partir de la caracterización de sus elementos 1.2. Aplicar las propiedades básicas del álgebra matricial como herramientas en la resolución de problemas situacionales. 1. MATRICES Definición de matriz. Relación matriz-vector Tipo de matrices: Matriz Renglón, Matriz Columna, Matriz Cero, Matriz Cuadrada, Matriz Diagonal, Matriz Triangular, Matriz identidad Establecer la definición de cada una de las operaciones matriciales y sus diferentes propiedades para la evaluación de su aplicación Aplicar las operaciones algebraicas con vectores y sus propiedades pertinentes en resolución de problemas. 2. OPERACIONES MATRICIALES Suma y diferencia de matrices Multiplicación por un escalar Multiplicación de matrices Matriz Transpuesta Inversa de una matriz Resolución de problemas contextualizados, aplicando las diferentes herramientas y propiedades de las matrices. 5 UNIDAD IV: DETERMINANTES OBJETIVO TERMINAL: Determinar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones en la resolución de situaciones contextualizadas (de ingeniería, geométricos, económicos y de otros tipos), previo análisis del mismo, utilizando para ello la función determinante como herramienta de la estructura del álgebra matricial. 9

10 1.1. Establecer la definición de la función determinante, para la evaluación de su aplicación Aplicar los procedimientos apropiados para el cálculo de determinantes, considerando las características de las matrices Aplicar el cálculo de determinantes en el análisis del comportamiento de sistemas de ecuaciones lineales 2.2. Reconocer la utilidad del cálculo de determinantes en la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. 1. DETERMINANTES La función determinante. Definiciones básicas Determinantes de segundo orden (2x2). Determinantes de tercer orden (3x3). Método de Sarrus. Método de la Lluvia. Cofactores. Método de Expansión de cofactores. Propiedades de determinante 2. METODO DE KRAMER Resolución de Sistemas de Ecuaciones con la Regla de Cramer. DE BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 1 ANTON, HOWARD. (1999) Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. Segunda Edición. México.. p

11 2 GARETH WILLIAMS. (2002) Algebra lineal con aplicaciones. McGraw Hill. México. p GROSSMAN, STANLEY I. (1988) Álgebra Lineal. McGraw Hill. México.. p GROSSMAN, STANLEY I. (1992) Álgebra Lineal con aplicaciones. McGraw Hill. México.. p. 246 VICERRECTORADO ACADÉMICO 5 HILL, RICHARD O. (1997) Algebra lineal elemental con aplicaciones. Prentice-Hall. México. p NICHOLSON, W. KEITH. (2003) Algebra lineal con aplicaciones. Cuarta Edición. McGraw-Hill. España..p ROJO, JESÚS. (2001) Álgebra Lineal. McGraw Hill. Madrid. p ZEGARRA, LUIS. (2001) Algebra lineal McGraw-Hill. Chile.. p