FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ALGEBRA LINEAL

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ALGEBRA LINEAL I. DATOS GENERALES 1.0. Unidad Académica : INGENIERÍA AERONÁUTICA 1.1. Semestre Académico : I 1.2. Código de la asignatura : Ciclo : II 1.4. Créditos : semanales a Total Teoría Practica Total Teoría Practica Total Requisito : Cálculo Vectorial ( ) 1.7. Profesores responsables : II. SUMILLA La asignatura corresponde al área de Estudios Generales (Ciencias Básicas), de naturaleza teórico/práctico, tiene como propósito Proporciona al alumno los conocimientos fundamentales de matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales para que a la vez que desarrolle sus habilidades intelectuales y creativas, Comprende las siguientes unidades de : Unidad de Aprendizaje I: Matrices y determinantes Unidad de Aprendizaje II: Sistema de ecuaciones lineales Unidad de Aprendizaje III: Espacios vectoriales y sub espacios vectoriales Unidad de Aprendizaje IV: Transformaciones lineales y matrices asociadas a transformaciones lineales Unidad de Aprendizaje V: Auto valores y auto vectores propios Unidad de Aprendizaje VI: Bases orto normales de espacios vectoriales base Unidad de Aprendizaje VII: Diagonalización de matrices. 1

2 III. COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA Analiza los principios, teorías y modelos en las que se fundamenta el cálculo de funciones reales de variable real, aplica los conocimientos adquiridos a diversos problemas de ingeniería. 3.1 Capacidades a) Describe el determinante y la inversa de una matriz. b) Resuelve sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo su consistencia o inconsistencia y el número de soluciones posibles, c) Reconoce, interpreta y aplica los espacios y subespacios, vectoriales, dependencia o independencia lineal de generados. vectores base y espacios d) Reconoce, interpreta, transformaciones lineales y sus matrices asociadas. e) Determina autovalores y autovectores de matrices. f) Determina bases ortogonales y ortonormales de espacios vectoriales. g) Diagonaliza matrices. 3.2 Actitudes y valores a) Desarrolla un espíritu crítico y constructivo. b) Muestra interés, disposición auto gestiona su. c) Reflexiona sobre la importancia de los temas realizando preguntas. IV. PROGRAMACIÓN DE CONTENIDOS UNIDAD I: Matrices y determinantes a) Describe el determinante y la inversa de una matriz. 1 Definición de matrices. Tipos de matrices: cuadrada, simétrica, antisimétrica. Diagonal, triangular superior, triangular inferior, transpuesta. Operaciones con matrices. Identifica los tipos de matrices simétricas y antisimétricas. Determina la traspuesta de matrices, realiza operaciones algebraicas con matrices. a 2

3 2 Métodos de cálculo de determinantes. Matriz cofactor. Adjunta de una matriz. Inversa de una matriz: definición y propiedades. Determina la adjunta de luna matriz. Determina la inversa de una matriz. UNIDAD II: Sistema de ecuaciones lineales b) Resuelve sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo su consistencia o inconsistencia y el número de soluciones posibles. 3 Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método Crammner, Gauss- Jordan. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Guss-Jordan. Consistencia e Determina la consistencia o Inconsistencia de los inconsistencia de sistemas sistemas de ecuaciones de ecuaciones lineales lineales. homogéneas. a 4 Sistemas de ecuaciones homogéneas. Rango de una matriz: Soluciones con Determina el rango de una variables libres.. matriz. Problemas con sistemas de ecuaciones lineales. PRACTICA CALIFICADA N 1 Resuelve sistemas de ecuaciones lindeales. 3

4 UNIDAD III: Espacios vectoriales y subespacios vectoriales c) Reconoce, interpreta y aplica los espacios y subespacios, vectoriales, dependencia o independencia lineal de vectores base y espacios generados. Definición de vectores en R² y R³. Operaciones Determina la norma de con vectores. vectores, determina el Producto interno en R² y producto interno de R³., Norma de un vector. vectores. Vector unitario. 5 Propiedades del producto interno. Ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. Proyección de un vector sobre otro. Definición de Espacios Vectoriales sobre los números reales. Espacios R² y R³. R n. Determina la proyección de un vector en la dirección de otro. Determina las propiedades de los espacios vectoriales. a Otros espacios Determina espacios vectoriales: C n, Pn, vectoriales de matrices, Mmn, funciones polinomios, funciones continuas, función continuas. derivadas, función integral. Definición de subespacios vectoriales. Determina la combinación Combinaciones lineales lineal de vectores, de vectores y Determina subespacios subespacio vectorial vectoriales. generado. Resuelve ejercicios de Ejercicios de espacios y espacios vectoriales. subespacios vectoriales. Ejercicios de espacios y subespacios vectoriales Resuelve ejercicios de espacios vectoriales. EXAMEN PARCIAL 4

5 9 10 Vectores linealmente independientes. Vectores linealmente dependientes. Vectores generadores. Ejercicios de vectores linealmente dependientes e independientes. Definición de Base de un espacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial. Determina la dependencia o independencia lineal de vectores. Determina generadores. vectores Determina base de un espacio vectorial. Teoremas de dimensión de espacios vectoriales. Determina la dimensión de Ejercicios de dimensión espacios vectoriales. de subespacios vectoriales. UNIDAD IV: Transformaciones lineales y matrices asociadas a transformaciones lineales d) Reconoce, interpreta, transformaciones lineales y sus matrices asociadas. Definición de transformación lineal. Determina Álgebra de las transformaciones lineales y transformaciones realiza operaciones de lineales: suma, suma y producto por un composición, inversa, y escalar. 11 multiplicación por escalar de transformaciones lineales. a Determinación del Determina el núcleo e núcleo y de la imagen imagen de una de una transformación transformación. lineal. 5

6 12 13 Relación entre transformaciones lineales y matrices. Matriz canónica o matriz Determina la matriz standard de una estándar de una transformación lineal. transformación. Transformación lineal Determina la matriz de asociada a una matriz. representación de una Matriz asociada a una transformación lineal. transformación lineal. PRACTICA CALIFICADA N 2 Matriz de cambio de Determina la matriz de base o matriz de cambio de base. transición. Matriz asociada a una composición de transformaciones. Determina la dimensión del Dimensión del espacio espacio solución de un solución de un sistema sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales lineales homogéneas. UNIDAD V: Autovalores y autovectores propios e) Determina autovalores y autovectores de matrices. Definición de autovalores y Determina autovalores y autovectores. autovectores de matrices. a 14 Modo práctico de encontrar los autovalores y los Determina la multiplicidad autovectores. Ejercicios de los valores propios. de aplicación. UNIDAD VI: Determina bases ortogonales y ortonormales de espacios vectoriales f) Determina bases ortogonales y ortonormales de espacios vectoriales. a 6

7 15 Bases ortogonales y ortonormales. Proceso Determina de Gram -Schmidt. orotonormales. Productos internos y normas en espacios vectoriales diferentes de R n. bases Productos internos en espacios vectoriales diferentes a R n. UNIDAD VII: Diagonalización de matrices g) Diagonaliza matrices. 16 Proceso de Gram- Schmidt en otros espacios diferentes de Determina matrices Rn. Matrices semejantes. semejantes o equivalentes. Proceso de diagonalización de una Proceso de diagonalización matriz cuadrada. de matrices cuadradas EXAMEN FINAL a V. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS Las asignaturas siguen una metodología: Sesiones teóricas Sesiones prácticas Taller para el desarrollo del cuaderno de trabajo Exposición de docente Explosión de alumnos VI. Equipos y materiales Para el desarrollo de la asignatura se contara con los siguientes materiales: 7

8 Pizarra acrílica Equipos multimedia Además el docente entregara materiales impresos y digitalizados. VII. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE El sistema de evaluación es permanente y sistemático y de acuerdo a las normas establecidas en el reglamento de la Universidad. a) La primera evaluación es de entrada que permite diagnosticar los saberes previos del estudiante. b) La evaluación de proceso y de productos es permanente, integral y presencial según el avance de las sesiones de programadas semanalmente; permite el logro de las competencias a través de los rubros: conceptual, procedimental y actitudinal considerando los siguientes aspectos: - Logro de conocimientos y muestra de desempeño - Desarrollo y adquisición de destrezas operativas, aplicativas y capacidades y competencias. - Adquisición de actitudes. c) Se considera las modalidades de heteroevaluación, autoevaluación e interevaluación. d) La evaluación final de la asignatura es el promedio ponderado de la evaluación continua que constituye el trabajo académico (40%), el examen parcial (30%) y el examen final (30%). Examen Parcial (E1) : 30% Examen Final (E2) : 30% Trabajo Académico (TP) : 40% Nota Final: E1*30% + E2*30% + {[(P1+P2+P3+P4)/4]}*40% e) La asistencia es obligatoria. El alumno que no desarrolla en clases, no presenta una actividad o un trabajo académico solicitado será calificado con cero (0). f) Acciones complementarias para el logro de cada una de las metas son las siguientes: Perceptivos o de apreciación. 8

9 - Desarrollo del cuaderno de trabajo - Análisis de gráficas esquemas - Análisis de fórmulas - Escalas valorativas y de estimación Orales - Intervenciones - Debate - Exposiciones g) Al finalizar el ciclo el alumno habrá logrado una calificación final de acuerdo a la escala vigesimal donde: Aprobado : De 11 a 20 Desaprobado : De 0 a 10 h) El Examen Sustitutorio se rendirá después de haber obtenido el promedio final desaprobado y reemplazará a la menor nota desaprobada ya sea del Examen Parcial o Examen Final y/o no haber rendido uno de los exámenes anteriormente indicados.. VIII. FUENTES DE INFORMACIÓN 1.1 Bibliográficas (físicas y electrónicas, si las hubiera) Físicas a) STANLEY I.GROSSMAN. Algebra Lineal. Editorial McGraw- Hill / Interamericana de México,S.A. de C.V. Impreso en Colombia -Ultima Edición b) Mg. Ángela Noemí Benites Quezada. ÁLGEBRA LINEAL. Dirección Universitaria de Educación a Distancia (DUED) Impreso en los Talleres gráficos de la UAP Editorial. UAP- FISI. Lima. c) FRALEIGH John B, BEAUREGARD RAYMOND A (2000). "Álgebra Lineal". Editorial Addison Wesley Iberoamericana. Impreso en Estados Unidos d) FIGUEROA G., RICARDO (2002). "Vectores y Matrices". Editorial América. e) GERBER, HARVEY. (1999)"Álgebra Lineal". Grupo Editorial Iberoamérica. f) HOFFMAN / KUNZE ( ) "Álgebra Lineal". Prentice Hall. México. 9

10 g) SERGE LANG ( ) "Introducción al Álgebra Lineal". Editorial Addison. México. h) EDUARDO ESPINOZA RAMOS (2004). "Álgebra Lineal". Impreso en el Perú i) RICHARD O. HILL, Jr.(2001) "Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones". Editorial Prentice- Hall, Hispanoamericana S.A. México, Sexta Edición Jesús María, enero del