7. Formalismo de matriz S: generalidades.

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Formalismo de matriz S: generalidades. [Ros XVI.7, Ynd 22.2] Motivación El formalismo visto hasta ahora es aplicable, en su mayor parte, a la dispersión elástica a dos cuerpos que interactúan mediante un potencial central. Esto constituye una seria limitación, ya que los procesos elásticos son sólo una pequeña parte de los que es necesario estudiar para comprender la estructura de la materia. Considérense, por ejemplo, los procesos de colisión en Σ que un electrón choca l E con un átomo, un núcleo, u otra σ l (E R ) E R partícula subatómica. Para energías E 1 ev, Eel proceso será esencialmente siempre elástico. Si la energía es del orden de algunos ev, el choque del electrón con un átomo podrá modificar el estado del mismo (incluso, posiblemente, ionizarlo), y empezarán aγser posibles los procesos inelásticos. Cuando la energía del electrón es del orden de muchos kev el proceso se vuelve relativista, y empieza a ser posible generar partículas nuevas en el estado E E R final a través de un proceso de conversión masa energía. Una energía del orden de los MeV permitiría modificar el estado del núcleo atómico; una del orden de los GeV sondear la estructura interna de protones y neutrones en términos de quarks y gluones; una del orden de decenas o cientos de GeV involucraría la interacción débil, cuya escala típica es M Z c 2 k + 90iε GeV. Todos estos procesos k + iε presentan canales inelásticos. Ahora mismo, con nuestro k iε k iε formalismo sólo podríamos estudiar el escalón más bajo, E kev, de modo que sería imposible explotar las capacidades de los experimentos de colisión para estudiar la estructura subatómica. log E 100 GeV (interacciones débiles) 1 GeV (estructura hadrónica) 10 MeV (estructura nuclear) kev (estructura atómica) kev m e c 2 (régimen elástico) La ecuación de Lippmann-Schwinger permite tratar potenciales no centrales, y es un punto de partida potencial para estudiar la dispersión inelástica, ya que no parte de hipótesis restrictivas sobre el proceso tratado. De hecho, las técnicas basadas en el formalismo de Lippmann-Schwinger encuentran muchas aplicaciones en varias áreas de la física. Por otra parte, un programa basado en dicho formalismo presupone que se conoce el hamiltoniano del sistema, y que el mismo es de la forma Ĥ = Ĥ0 + ˆV. En la práctica, esto puede constituir una limitación para estudiar sistemas en los que el hamiltoniano tenga una estructura, o cuando directamente

2 7-2 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena sea difícil construirlo (como ocurre a menudo en teoría cuántica relativista. Por ello sería útil desarrollar un formalismo que permita extraer la máxima cantidad de información de un proceso de dispersión con el mínimo de hipótesis sobre las propiedades del sistema. Esta reflexión llevó a Wheeler y a Heisenberg a desarrollar, de manera paralela el llamado formalismo de matriz S a principios de los años Estados asintóticos y evolución temporal: operador matriz S Supongamos que { α; t } es un conjunto completo de estados ortonormales de un sistema cuántico a tiempo t, donde α es un índice colectivo que denota todos los números cuánticos de un conjunto completo de operadores que conmutan (posición, momento, o energía de las partículas; spin; cargas;... ). Definimos los estados asintóticos del sistema como Por lo demás, las únicas hipótesis que haremos serán: α in := lim α; t, t α out := lim α; t, (7.1) t + (i) Tanto { α in } como { α out } son conjuntos completos de estados ortonormales de un sistema libre (o, más en general, de un sistema que sabemos tratar de manera exacta). (ii) Existe un operador evolución temporal unitario Û(t 2, t 1 ) t 2, t 1. Una versión más fuerte de esta hipótesis es que el sistema sea invariante bajo traslaciones temporales y exista un hamiltoniano Ĥ, ya que en ese caso siempre se puede reconstruir el operador evolución temporal definiendo { Û(t 2, t 1 ) := exp i } Ĥ(t 2 t 1 ). (7.2) La hermiticidad Ĥ = Ĥ asegura que Û(t 2, t 1 ) es unitario. Definimos el operador matriz S como Ŝ := lim t 1 t 2 + Û(t 2, t 1 ). (7.3) Ŝ describe la evolución temporal entre el pasado remoto y el futuro lejano, de manera que contiene toda la información sobre la dinámica del sistema. En particular, sintetiza la información que querríamos extraer de un proceso de dispersión: en el

3 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 7-3 mismo controlamos el estado inicial del sistema y su dinámica (e.g. lanzamos un haz partículas libres) a t =, dejamos que el sistema evolucione llevando a cabo interacciones a t 0, y medimos los resultados de la colisión (que, en general, son de nuevo partículas libres) a t = +. Es importante subrayar que, puesto que los estados in y out describen el mismo sistema, la relación entre las bases { α in } y { α out } dada por la matriz S es esencialmente una rotación de la base que contiene la información sobre la interacción. La amplitud de probabilidad de que el sistema pase de un estado α del sistema libre en t = a un estado del mismo sistema en t = + estará dada por los elementos de matriz del operador Ŝ S α = Ŝ α = out α in. (7.4) Esto es equivalente a α in = S α out, (7.5) donde representa una integral (para números cuánticos continuos) o una suma (idem discretos) sobre todos los valores posibles de los números cuánticos. Unitariedad La unitariedad del operador evolución temporal conlleva necesariamente la del operador matriz S. Es interesante ver cómo se expresa dicha propiedad en términos de elementos de matriz y estados asintóticos: Sα S α = out α in out α in = in α out out α in. (7.6) Pero, por hipótesis, el conjunto de estados out es completo, out out = ˆ1, (7.7) luego S α S α = in α α in = δ αα, (7.8) o, en lenguaje operatorial, Ŝ Ŝ = ŜŜ = ˆ1. (7.9)

4 7-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Amplitudes de transición y matriz de reacción Como ya hemos mencionado, la relación entre las bases { α in } y { α out } dada por la matriz S es esencialmente una rotación de la base que contiene la información sobre la interacción. En ausencia de interacciones, es natural elegir α in = α out, de modo que S (libre) αα = δ αα Ŝ (libre) = ˆ1. (7.10) Para aislar la parte del operador Ŝ que contiene las interacciones de la descripción de la evolución en ausencia de las mismas, se definen, en lenguaje de operadores, el operador matriz de reacción o matriz R Ŝ = ˆ1 ˆR, (7.11) y, en lenguaje de elementos de matriz, las amplitudes de transición del estado α in al estado out S α = δ α + iδ(e α E )δ (3) (p α p )T α. (7.12) Nótese que en este último caso se ha supuesto implícitamente que las interacciones conservan el momento y la energía (i.e. que el sistema es invariante bajo traslaciones espaciales y temporales, respectivamente), y se han extraído explícitamente las correspondientes deltas de Dirac que expresan la conservación de la amplitud T α. Dichas deltas también están contenidas en la notación colectiva δ α del primer término. Evidentemente, la relación entre las dos cantidades está dada por R α = iδ(e α E )δ (3) (p α p )T α. (7.13) Es interesante reescribir la ligadura de unitariedad (7.9) en términos de ˆR y T α. En el primer caso se obtiene (ˆ1 ˆR) (ˆ1 ˆR) = (ˆ1 ˆR)(ˆ1 ˆR) = ˆ1 ˆR + ˆR = ˆR ˆR = ˆR ˆR, (7.14) mientras que en el segundo es fácil llegar a T α T α = i γ δ(e α E γ )δ (3) (p α p )T γ T γα. (7.15) Más adelante utilizaremos esta expresión para demostrar una versión generalizada del teorema óptico.

5 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 7-5 Imagen de Dirac o de interacción Recuérdese que en la descripción mecanocuántica de un sistema siempre es posible elegir entre la imagen de Schrödinger, en la que la dependencia temporal está en los estados del espacio de Hilbert asociado al sistema, y la imagen de Heisenberg, en la que está en los operadores que actúan sobre los estados. Hasta ahora hemos estado asumiendo implícitamente que trabajábamos en la imagen de Schrödinger. Para terminar la introducción de conceptos y notación asociados al formalismo de matriz S, construiremos una imagen intermedia, llamada de Dirac o de interacción, en la que se distingue entre la dependencia temporal asociada a la interacción y la que está asociada a la evolución libre. Para ello tendremos que usar la versión fuerte de la hipótesis sobre evolución temporal, en la que postulamos la existencia de Ĥ y construimos Û(t 2, t 1 ) a partir de él. Recordemos que la relación entre estados y operadores en las imágenes de Schrödinger y Heisenberg está dada por α; t S α H = e i Ĥt α; t S  S ÂH(t) = e i Ĥt  S e i Ĥt. (7.16) En la imagen de Schrödinger, la evolución temporal de los estados está dada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo i t α; t S = Ĥ α; t S, (7.17) mientras que en la imagen de Heisenberg los operadores evolucionan de acuerdo con la ecuación t ÂH(t) = i [Ĥ, ÂH(t)]. (7.18) Para introducir la imagen de interacción, comenzamos separando el hamiltoniano en dos partes: una libre (o más en general, soluble), que en el contexto del formalismo de matriz S será aquella de la que son autoestados los estados asintóticos; y el resto, que contiene las interacciones no triviales, y definimos los estados y los operadores como Ĥ = Ĥ0 + Ĥ(int), (7.19) α; t I := e i Ĥ0t α; t S,  I := e i Ĥ0t  S e i Ĥ0t. (7.20)

6 7-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Para construir la evolución temporal de operadores y estados, basta utilizar las ecuaciones correspondientes de la imagen de Schrödinger en el cálculo de las derivadas temporales de ambos. Para los operadores se obtiene t ÂI(t) = t {e i Ĥ0t  S e i Ĥ0t } = i [Ĥ0, ÂI(t)]. (7.21) La ecuación de evolución para los estados requiere algo más de trabajo. Empezamos haciendo i t α; t I = i } {e i Ĥ0t α; t S { t i = i Ĥ0e i Ĥ0t α; t S + e i Ĥ0t } t α; t (7.22) S = Ĥ0e i Ĥ0t α; t S + e i Ĥ0t [Ĥ0 + Ĥ(int) ] α; t S. El primer término del segundo miembro es igual a Ĥ0 α; t I, mientras que el segundo término se puede reescribir como e i Ĥ0t [Ĥ0 + Ĥ(int) ] α; t S = e i Ĥ0t Ĥ 0 e i }{{ Ĥ0t α; t } I + e i Ĥ0t Ĥ (int) e i }{{ Ĥ0t } α; t I, con lo que finalmente obtenemos =Ĥ0 =Ĥ(int) I (7.23) i t α; t I = Ĥ(int) I α; t I. (7.24)