I Cinemática relativista 17

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Virginia Segura Ayala
hace 5 años
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1 Índice Introducción 15 I Cinemática relativista Transformación de Lorentz Transformación de Lorentz inversa Matriz de Lorentz para movimientos en varias direcciones Las transformaciones de Lorentz en formavectorial Transformación de la velocidad Transformación de la aceleración Transformaciones delorentz sucesivas (I) Transformaciones delorentz sucesivas (II) Velocidad relativa entre dos sistemas inerciales de referencia Velocidad relativa de dos sistemas enmovimiento Error en la velocidad relativa al usar las expresiones galileanas Elemento de arco en el espacio develocidades Incrementos reiterados delavelocidad Dilatación del tiempo La Tierra alrededor del Sol

2 8 Problemas Resueltos de Relatividad 2.2 Apolo X Muones en la atmósfera Piones en un acelerador Situaciones variadas de tiempos de vida de partículas Contracción de Lorentz Contracción de un avión Contracción del diámetro terrestre Contracción del uno por ciento Espacio de Minkowski Línea de Universo de una partícula en movimiento rectilíneo uniforme Línea de Universo de una partícula uniformemente acelerada Línea de Universo de una partícula entre dos paredes Línea de Universo de un planeta Relación entre sucesos en el espacio tiempo Diagrama de Minkowski de sucesos separados por un intervalo temporaloideo Diagrama de Minkowski de sucesos separados por un intervalo espacialoideo El intervalo s El intervalo y el tiempo propio Sucesos simultáneos Orden temporal de dos sucesos Sucesos en un mismo punto del espacio Separación espacial entre dos sucesos Ejemplo numérico de transformación de x y t

3 Índice 9 6. Problemas variados Estrella binaria Movimiento con aceleración constante (I) Movimiento con aceleración constante (II) Movimiento con aceleración constante (III) Tiempo propio de la partícula uniformemente acelerada Invariancia de la ecuación del resorte ante las transformaciones de Galileo Invariancia de la ecuación de las ondas electromagnéticas (I) Invariancia de la ecuación de las ondas electromagnéticas (II) Atravesando la Galaxia a v c II Dinámica relativista Leyes dinámicas Segunda ley de Newton Masas transversal y longitudinal Si la fuerza es nula la velocidad no cambia Límite no relativista Límite ultrarrelativista Dependencia del momento lineal relativista con la velocidad Dependencia de la velocidad con el momento Dependencia de la velocidad con la energía Velocidad de protones a distintas energías Velocidad, momento y energía del fotón y de partículas masivas Masa en términos del momento lineal y la energía cinética Energía cinética de un electrón en un átomo de Hidrógeno

4 10 Problemas Resueltos de Relatividad 7.13 Pérdida de masa del Sol Energía de las explosiones nucleares Defecto de masa del átomo de Hidrógeno Dos neutrones al encuentro Ejemplo numérico de transformación de E y p Correcciones a la energía de orden v Energía necesaria para acelerar una partícula Colisiones Choque perfectamente inelástico (I) Choque perfectamente inelástico (II) Choque de una partícula con otra idéntica en reposo Fotón que colisiona con un protón Imposibilidad de que un electrón aislado absorba o emita un fotón Fotón absorbido por una partícula Nave espacial a vela propulsada por un láser desde la Tierra Dispersión Compton estándar Incremento de masa de un núcleo por absorción de un cuanto γ Vectores ytensores 123 Tritensores cartesianos Ejercicios sencillos de tritensores (I) Ejercicios sencillos de tritensores (II) El tensor e ijk e ijk y el producto vectorial e ijk y el rotor e ijk y el producto mixto

5 Índice e ijk y el determinante Tensores en general Los tensores y las transformaciones de coordenadas curvilíneas (I) Los tensores y las transformaciones de coordenadas curvilíneas (II) Los tensores y las transformaciones de coordenadas curvilíneas (III) El tensor unidad δ α β Tensores cartesianos Ejercicios sencillos de tensores Tetratensores en el espacio de Minkowski Ortogonalidad de la Matriz de Lorentz: L α µ g αβ L β ν = g µν Formas de la Matriz de Lorentz: L µ ν, L ν µ, L µν, L µν Formas de un tensor: T µ ν, T ν µ, T µν, T µν Ejercicios sencillos de cuadritensores Rotaciones del triespacio y del cuadriespacio Trivectores y cuadrivectores (I) Tritensores y cuadritensores (II) III Electrodinámica Transformación de campos Transformación inversa de los campos Forma vectorial de las ecuaciones de transformación de los campos Campo de una carga en movimiento rectilíneo y uniforme Sistema inercial de referencia en que E y B son paralelos Sistema inercial de referencia con B = 0 o E = Sistema inercial de referencia con el mismo E (B)

6 12 Problemas Resueltos de Relatividad 10.7 Sistema inercial de referencia con E < cb /N Invariantes E B y E 2 c 2 B Sistema inercial de referencia en que el ángulo entre E y B es agudo Electrodinámica en el Cuadriespacio de Minkowski Invariante F µν F µν Invariante e µναβ F µν F αβ Relación entre potenciales y campos Transformaciones de calibración Transformación de Lorentz para E y B Ecuaciones de Maxwell Invariancia de calibración de Lorentz Tensor de energía-momento IV Apéndices 181 Apéndice A. Tensores I 183 Apéndice B. Tensores II 185 B.1. Tensores contravariantes B.2. Tensores covariantes B.3. Tensores mixtos B.4. El tensor métrico Apéndice C. Tensores en el cuadriespacio de Minkowski 191 Apéndice D. Convenios en TRR 197 Apéndice E. Valores numéricos de algunas constantes universales 203

7 Índice 13 Lista de Símbolos 205 Bibliografía 207 Índice alfabético 213

8 Parte I Cinemática relativista

9 1. Transformación de Lorentz 1.1 Transformación de Lorentz inversa Halle la transformación de Lorentz inversa. Solución: La solución es muy simple si notamos que es la misma transformación de Lorentz poniendo un signo menos delante de la velocidad de traslación de un sistema de referencia respecto del otro. Es un asunto de sentido común: si el sistema K se mueve respecto del sistema K a la velocidad V, el sistema K se moverá respecto del K a la velocidad V. También se puede proceder algebraicamente, intercambiando el rol de las variables dependientes e independientes, o sea despejando las primeras como función de las segundas. Esta última variante también se puede llevar a cabo invirtiendo la matriz de la transformación. En suma, si la transformación de Lorentz directa es x = γ(x V t) y = y z = z t = γ(t V x/c 2 ), (1.1) la inversa correspondiente es

10 20 Problemas Resueltos de Relatividad x = γ(x + V t ) y = y z = z t = γ(t + V x /c 2 ). (1.2) 1.2 Matriz de Lorentz para movimientos en varias direcciones Escriba la matriz de Lorentz para movimientos relativos entre sistemas inerciales de referencia a)según el eje z; b)según el eje y; c)según el eje x. Solución: Usemos el convenio en que el tetravector de posición es x µ = (ct, x, y, z) y llamemos L µ ν( V ) a la matriz de Lorentz cuando el movimiento relativo entre ambos sistemas de referencia inerciales se efectúa con la velocidad constante V. Como es costumbre, usaremos los símbolos β y γ para denotar a V/c y 1/ 1 β 2 respectivamente, y los índices griegos (µ, ν, etc.) toman los valores 0, 1, 2, 3, mientras que los latinos (i, j, etc) van de 1 a 3. Entonces, para un movimiento relativo según el eje z L µ ν(v e z ) = γ 0 0 γβ γβ 0 0 γ. (1.3) Análogamente, para un movimiento relativo según el eje y L µ ν(v e y ) = γ 0 γβ γβ 0 γ (1.4) Y finalmente, para un movimiento relativo según el eje x

11 Transformación de Lorentz 21 L µ ν(v e x ) = γ γβ 0 0 γβ γ (1.5) 1.3 Las transformaciones de Lorentz en forma vectorial Demuestre que las transformaciones de Lorentz se pueden expresar como [ r = γ ( n r) n V ] t + [ r ( n r) n] (1.6) ( t V = γ t ) r c 2, (1.7) donde n es el versor en la dirección de V. Corben y Stehle [20], problema 16.3, página 313. Solución: En el problema 1.2 se escribieron las transformaciones de Lorentz cuando la velocidad relativa está dirigida según los ejes coordenados. Pasemos a analizar el caso más general en que el movimiento relativo entre ambos sistemas de referencia inerciales ocurre en una dirección V no necesariamente coincidente con uno de los ejes de coordenadas. Ver esquema 1.1. Usemos el ardid de pasar primero a sendos sistemas cartesianos en que V esté según el eje x y sus otros dos ejes sean paralelos. Más en detalle, pongamos que K y K sean nuestros dos sistemas inerciales de inicio, y llamemos K 1 /K 1 al sistema que no se mueve respecto de K/K pero con el eje x según V. Escojámoslos, además, de modo que los ejes y y z de K 1 y K 1 sean paralelos. Estos sistemas intermedios no se mueven respecto de los sistemas de partida K y K por lo que la relación entre K y K 1 es una transformación ortogonal del triespacio, sin cambio alguno en la coordenada temporal. Y lo mismo respecto de K y K 1. Denotemos el cuadrivector de posición como x µ en K, x µ en K, y µ en K 1 y y µ en K 1. Entonces

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