Relatividad. 1.1 Qué es una teoría de la relatividad?

Transcripción

1 Relatividad 1. Introducción En este tema veremos una pequeña introducción a la teoría de la relatividad. Aunque pensemos que las consecuencias de esta teoría pueden quedar fuera la actividades de nuestra vida cotidiana (si bien es cierto que su mayor campo de aplicación se encuentra en la física de partículas y en la astronomía), esta teoría también nos concierne porque se aplica en las centrales nucleares, en la navegación aérea, en la producción de chips de ordenadores, en el estudio de las células del cuerpo humano o en el diagnóstico de enfermedades cardíacas. 1.1 Qué es una teoría de la relatividad? En el siglo XVII, Galileo dedujo que un pasajero que se encuentre en el camarote de un barco no puede asegurar si el barco está anclado o si se mueve a velocidad constante; giramos alrededor del Sol a 30 km/s, y nos dirigimos hacia el cúmulo de galaxias que se aprecia en la constelación de Virgo a 600 km/s, pero no sentimos el movimiento. Sin embargo, todos los fenómenos físicos se producen tal y como se desarrollarían en ausencia de esos movimientos. Una teoría de la relatividad describe cómo las leyes de la física concuerdan con esta observación. Para el desarrollo de este tema, hay dos conceptos que necesitamos definir: Una cantidad relativa es aquella cuyo valor depende del marco de referencia en el que se mide. Un invariante es una cantidad que es independiente del marco de referencia. Para entender estos dos conceptos imaginémonos que una persona montada en un tren que se mueve a velocidad constante v ", lanza hacia arriba una pelota, y que otra persona la observa desde el andén. La primera verá que la pelota se mueve hacia arriba con una velocidad v #, mientras que la segunda verá un desplazamiento oblicuo v $. Como vemos, la masa es la misma para los dos marcos de referencia, por lo que es un invariante, pero la velocidad depende de cada sistema, por lo que la velocidad sería una cantidad relativa. v # v $ v " Se dice que las cantidades relativas se transforman entre los marcos de referencia. En este caso, por ejemplo, v $ = v # + v ".

2 2. Antecedentes de la relatividad especial 2.1 La relatividad de Galileo y Newton: relatividad galileana. En esta relatividad se plantea el problema de la descripción de las leyes físicas desde el punto de vista de dos observadores que se encuentran en movimiento relativo uniforme. A eso nos referimos con relatividad especial, en la que los sistemas de referencia se mueven, uno con respecto a otro, con velocidad relativa constante. La conclusión a la que Newton y Galileo llegaron fue: Las leyes de la física tienen la misma forma en dos marcos de referencia cualesquiera que estén en movimiento relativo uniforme. Vamos a ver entonces cuál es la relación entre las coordenadas de un punto vistas por dos observadores, uno de ellos situado en el sistema S y el otro en el sistema S, de manera tal que ambos sistemas de referencia se están separando a velocidad constante v en el sentido del eje X. Desde el sistema S, el punto está en la posición (x,y,z), mientras que para el observador situado en el sistema S las coordenadas de ese mismo punto serán (x,y,z ). Cuál es, entonces, la relación entre las coordenadas de ambos sistemas? Puesto que ambos se separan a velocidad constante pero sólo en el sentido del eje X, no hay desplazamiento en el sentido del eje Y ni en el del eje Z, por lo que y = y z = z Y por otro lado, la posición x se corresponderá con la posición x más la separación que exista entre el origen de coordenadas de S y de S. Como sabemos que la distancia recorrida es vt, entonces x = x + vt. En cuanto al tiempo, en la relatividad galileana el tiempo transcurre por igual independientemente del sistema de referencia, es decir, t = t. Así, el tiempo es un invariante en la relatividad galileana, pero la posición es una cantidad relativa. Por otro lado, también queremos saber si la distancia que separa dos puntos es la misma en los dos sistemas o la distancia depende del sistema de referencia. Imaginemos que tenemos el mismo punto que antes, de coordenadas (x,y,z) en el sistema S y coordenadas (x,y,z ) en el S, y un

3 segundo punto tiene las coordenadas (x 1,y 1,z 1 ) en el sistema S y las coordenadas (x 1,y 1,z 1 ) en el sistema S. Imaginemos que ambos tienen y = y 1 = y = y 1 y z = z 1 = z = z 1 ; entonces la distancia entre ambos puntos en el sistema S sería simplemente d = x 1 -x, y la distancia entre los puntos, vista según un observador en el sistema S, sería d = x 1 -x. Hemos visto que x = x + vt para el primer punto, así que para el segundo se cumplirá la misma regla, es decir, x 1 = x 1 + vt. Si ahora sustituimos x 1 y x por las expresiones que acabamos de ver, tenemos que d = x 1 -x = (x 1 + vt) (x + vt) = x 1 -x = d. Es decir, d = d. La distancia entre dos puntos es invariante para cualquier sistema inercial. Por tanto, la distancia en la relatividad galileana, al igual que ocurría con la masa, es un invariante. Y qué pasaría con la velocidad y con la aceleración? Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo, y que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Por tanto: v x = dx dt = d x + vt dt = dx dt + v = v x + v. Por tanto, la velocidad también es una cantidad relativa en la relatividad galilena (en cuanto a sus componentes y y z, como y = y, entonces v y = v y y como z = z, entonces v z = v z.). En cuanto a la aceleración: a x = dv / dt = d v / + v dt = dv / dt + 0 = a x. Y sobre las otras dos componentes, es claro que a y = a y y que a z = a z. Así, la aceleración es un invariante (en la relatividad especial, que es con la que estamos trabajando). Hasta ahora, hemos visto que las leyes de la naturaleza son las mismas para observadores que se encuentran en sistemas de referencia inerciales. Podemos transformar las coordenadas de un punto de un sistema inercial a las coordenadas de ese mimo punto visto desde otro sistema inercial. Lo mismo podemos hacer con la velocidad, mientras que la masa, el tiempo y la aceleración son invariantes. Volviendo a lo dicho por Galileo, vemos que no podemos conocer si un sistema de referencia está en reposo absoluto o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. 2.2 La relatividad galileana y el problema de la luz. El experimento de Michelson-Morley. Maxwell, durante el desarrollo de la electrodinámica, demostró que ninguna perturbación electromagnética (la luz, por ejemplo) puede propagarse más rápido que c = 1 ε 4 μ 4. Esas dos constantes son respectivamente la permitividad y la permeabilidad del aire, respectivamente. Si sustituimos sus valores, podemos comprobar que obtenemos la conocida velocidad de la luz en el vacío, es decir, c = m/s. Según la relatividad galileana, puesto que la velocidad es una cantidad relativa, se podría encontrar algún sistema en el que la velocidad de la luz fuera superior. Sin embargo, Maxwell establecía c como un límite, nada puede tener

4 mayor velocidad. Por otro lado, si Galileo tuviese razón, entonces las ecuaciones de Maxwell (que ni las hemos visto ni las veremos, porque la electrodinámica está lejos de los conceptos que aún conocemos) no se cumplirían en todos los sistemas. Así pues, conocer si la velocidad de la luz es una cantidad constante o relativa pasó a ser una cuestión clave. En la época en la que esta cuestión surgió (estamos hablando del siglo XIX) todavía se creía que las ondas electromagnéticas eran perturbaciones en un medio llamado éter, y se consideraba que las ecuaciones de Maxwell sólo eran válidas en el sistema de referencia en el que el éter se encontraba en reposo. Michelson y Morley, que seguían creyendo en el concepto del éter, y para quienes la velocidad de la luz medida por Maxwell se correspondería con su valor en un sistema en el que el éter estuviera en reposo, idearon un experimento para demostrar que el valor de c sería otro en otro sistema inercial, de acuerdo con las transformaciones galileanas. El sistema que idearon consistía en dividir un haz de luz en dos componentes perpendiculares, de manera tal que un haz tendría la misma dirección que el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, y el otro iría en dirección perpendicular. Posteriormente, mediante espejos, ambos haces se volverían a juntar. Como cada haz tendría una velocidad distinta (el que tenía la misma dirección que la velocidad orbital de la Tierra, debería volver con una velocidad (c+v), siendo v la velocidad orbital de la Tierra) al juntarse tendrían un desfase de tiempo. Si se les obligaba a pasar por un orificio para que formaran un patrón de difracción, el desfase temporal debería producir un desplazamiento del patrón de interferencia formado por cada haz. Sin embargo, pudieron comprobar que sus suposiciones no eran ciertas. Los haces de luz se movían siempre a la misma velocidad constante, independientemente de su orientación. Al no haber cambios en la velocidad de los haces, no se producían cambios en los patrones de interferencia. Entonces concluyeron que lo que pasaba era que el éter se hallaba en reposo con respecto a la superficie de la Tierra, porque no tenían suficientes motivos para rechazar la idea de la existencia del éter. Sin embargo, ya fuera por considerar que el éter está en reposo respecto a la superficie terrestre, o por considerar que el éter no existe, se llega inevitablemente a dos conclusiones: 1. Las transformaciones de Galileo no se cumplen en el caso de la luz. 2. La velocidad de la luz es siempre constante, independientemente del movimiento del foco emisor. 3. Los postulados de Einstein Einstein supuso que el principio de la relatividad especial era válido para todas las leyes físicas, y descartó el concepto del éter y supuso que las ecuaciones de Maxwell son la descripción adecuada e invariante del electromagnetismo. Es decir, que para él la relatividad de Galileo sólo puede ser una aproximación. En concreto, sólo sería válida para velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz, es decir, v << c. En un artículo sobre relatividad, Einstein enunció sus premisas en forma de dos postulados: 1. Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales.

5 2. En cualquier marco inercial dado, se observa que la velocidad de la luz, c, es la misma, sin importar la velocidad del observador o del emisor. Fijémonos en que la invariancia de la velocidad de la luz parece contradecir el sentido común. Si una persona corre hacia una pelota de béisbol, ésta se acerca al guante con más rapidez que si corre alejándose de ella; pero sin embargo, si uno corre hacia una fuente luminosa o se aleja de ella, la velocidad de la luz en ambos casos es la misma. 3.1 El concepto de simultaneidad Hemos visto que en la relatividad galileana el tiempo es invariante. Lo será también en la relatividad especial de Einstein? Para pensar en esto vamos a imaginarnos que en la mitad de un tren que se mueve a velocidad v va sentado un pasajero, O, y que quieto, en el andén, está otro observador, O. En un momento dado, caen dos rayos, uno en cada extremo del tren. Les llegarán los rayos a O y a O a la vez? Vamos a fijarnos en el siguiente vídeo, que es la manera más sencilla de entenderlo. Interpretación de O y cronología: los dos rayos caen al mismo tiempo, justo cuando O pasa por delante de él. O se mueve hacia la derecha y llega a la luz del rayo 1 antes de que ésta lo alcance a él. A continuación, ambas luces llegan al mismo tiempo al lugar donde está O. Por último, el destello luminoso del segundo rayo alcanza a O. Interpretación de O. Los dos rayos caen a igual distancia de ella. Como la luz viaja a la misma velocidad en su sistema de referencia que en el de O, necesitan el mismo intervalo de tiempo para llegar a ella; por tanto, si le llegan en momentos distintos, es que no son eventos simultáneos sino diferentes. Todo esto significa que el tiempo es relativo, y el intervalo de tiempo entre dos sucesos depende del sistema de referencia, de modo que: Será igual para dos observadores estacionarios uno con respecto al otro si los sucesos ocurren en un mismo punto. Será distinto para dos observadores en movimiento relativo uno con respecto al otro. Aquí está la clave de la invalidez de las transformaciones galileanas, que partía de la base que t=t. Ahora vemos que eso no es realmente así, y que la relatividad del tiempo es consecuencia de la existencia de una velocidad límite. La velocidad de la luz es muy alta, pero finita. 4. Consecuencias de los postulados de Einstein Ya hemos visto que la primera gran consecuencia de los postulados de Einstein es que el tiempo no es algo absoluto que transcurra por igual en todos los sistemas de referencia. Vamos a ver que de la relatividad del tiempo se va a derivar que la distancia entre dos puntos, que en la relatividad galileana era un invariante, también va a ser distinta en sistemas inerciales diferentes.

6 4.1 Dilatación del tiempo Imaginemos que un reloj emite un impulso luminoso en A, que se refleja en B y que regresa a A, donde se detecta. En este marco de referencia en reposo, el impulso recorre una distancia 2L, por lo que el tiempo transcurrido en este sistema es Δt=2L/c. Pero en un segundo marco de referencia que se mueve a velocidad v con respecto al primero, entonces el reloj no está quieto, se mueve a velocidad v, de manera que emite el impulso en A, que se reflejará en B, que ya está desplazado respecto a A, y al reflejarse llega a C, por lo que el rayo luminoso ha recorrido una trayectoria triangular, y el espacio total recorrido es 2D, así que el tiempo transcurrido ahora es Δt =2D/c. Vemos que como D>L, entonces Δt > Δt. Por otro lado, el reloj de A a C se ha trasladado una distancia igual a vδt. Si aplicamos Pitágoras Sustituimos D y L Y desarrollando D = = L = + v t/2 = c t /2 = = c t/2 = + v t /2 = c = t = /4 = c = t = /4 + v = t = /4 c = t = = c = t = + v = t = t = c = v = = c = t =

7 t = = c= t = c = v = t = = t = c = c = v= c = = t = 1 v= c = t = t 1 v= c = = γ t Donde γ = D DE FG H G En el marco de referencia en el que el reloj no se mueve, el tiempo es el mínimo posible, en cualquier otro sistema inercial que se mueva a velocidad v con respecto al anterior, el tiempo medido es mayor. Es decir, que se observa una dilatación del tiempo. Fijémonos en que como v < c, entonces γ > 1, es decir, que el observador O (en movimiento respecto al reloj de pulsos) mide un tiempo mayor que el observador O con respecto al fenómeno que para O está en reposo. Es decir, por ejemplo, si O se mueve respecto a O a v=0.8c, y el observador O dice que mide 0.3s, el de O mediría 0.5 segundos. Podemos hacer este razonamiento a la inversa. Imaginemos que O, aunque moviéndose respecto a O, lleva ahora el reloj. Ahora tendríamos que t = γ t. Es decir, que si el observador O mide 0.3s, el de O dirá que han transcurrido 0.5s. Este punto de vista lo podemos ver en el siguiente video. Si lo pensamos bien, aunque hemos cambiado el punto de vista, el efecto es el mismo. El observador que tiene el reloj de pulsos luminosos mide menos tiempo que el que se mueve a velocidad v respecto a él. De hecho, cada uno cree que el que se mueve es el otro. La dilatación del tiempo se produce cuando ese tiempo se mide desde sistemas de referencia con respecto a los cuales el objeto (el reloj de pulsos luminosos) se mueve. El intervalo de tiempo mínimo entre dos eventos es el que se mide en el marco de referencia en el que ambos eventos suceden en el mismo lugar. En cualquier otro marco de referencia que se mueva a velocidad constante con respecto al primero, el intervalo de tiempo será mayor, t = γ t 4.2 Contracción de la longitud Un fenómeno relacionado con el de la dilatación del tiempo es el de la contracción de la longitud de un objeto, que resulta cuando dicha longitud se mide desde sistemas de referencia con respecto a los cuales el objeto se mueve. Imaginemos una regla estacionaria con respecto al observador O, cuya longitud para él es l. Una nave espacial, a velocidad v recorre esa misma distancia en un tiempo t, y el observador estacionario verá que ha tardado en recorrerla t = γ t (ahora t es mayor porque los sucesos, cruzar y pasar la regla, tienen lugar en el mismo punto en el sistema de referencia de la nave).

8 Así, l = v t = vγ t. La longitud de la regla vista por el que va en la nave será l = v t, así que l = γl. Ahora la longitud es máxima en el marco de referencia en el que se encuentra en reposo. Si la regla fuera en la nave, entonces l = γl, el astronauta vería la regla con su medida propia, mientras que el observador en reposo vería acortada su longitud. En cualquier otro sistema que se mueve a velocidad relativa la longitud se contrae. Esta conclusión invalida la que se deriva de la transformación galileana, según la cual la distancia entre dos puntos es la misma para todos los observadores inerciales. La longitud l de un objeto es máxima en el marco de referencia en el que se encuentra en reposo. En otro marco que se mueva en dirección paralela a la longitud del objeto, esa longitud es l = l/γ La paradoja de los gemelos Pensemos en dos hipotéticos gemelos e imaginemos que uno de ellos viaja a velocidades próximas a la luz. El tiempo para él pasaría más lentamente que para su hermano, en la Tierra. Supongamos que el gemelo A emprende un viaje interestelar desde la Tierra hasta un sistema planetario extrasolar situado a 15 años luz a una velocidad de 0,9c. Para el gemelo B, en la Tierra, la duración del viaje sería Δt = 2d v = 2 c c = 33,3 años. Por el contrario, el tiempo transcurrido para el gemelo A, que viaja a bordo de la nave, según sus relojes de a bordo, será Δt = Δt/γ = 14,5 años. A la vuelta, el gemelo que se quedó en la Tierra sería 19 años más viejo. Por otro lado, lo que para el gemelo B quedaba a 15 años luz, para su gemelo A se produciría una contracción de la longitud, l = l/γ = 6,54 años luz. Si nos fijamos, Δt = 2l v = 2 c c = 14,5 años. 5. Transformaciones de Lorentz Ya tenemos claro que cuando tratamos con fenómenos que acontecen a velocidades cercanas a las de la luz, las transformaciones de coordenadas de Galileo no son válidas. Las ecuaciones que nos permitirán pasar de las coordenadas del sistema O las de O serán: x = γ x vt

9 y = y z = z t = γ(t v c = x) Fijémonos en que si la velocidad es muy pequeña (v<<c) entonces tenenos las transformaciones de Galileo. En cuanto a la transformación de la velocidad, ahora será: v / = v / v 1 v c = v /. De nuevo podemos comprobar que si v<<c, entonces estamos ante las transformaciones galileanas: v / = v / v. Dos conclusiones fundamentales sobre la peculiaridad de los fenómenos que acontecen a velocidades próximas a las de la luz se pueden extraer de los visto hasta ahora: 1. La velocidad de la luz en el vacío, c, es la misma apara todos los sistemas de referencia inerciales, con independencia de su movimiento relativos. 2. La velocidad de la luz constituye un límite insalvable. No existe ningún cuerpo que pueda desplazarse a velocidades mayores que la de la luz, con independencia del sistema de referencia que elijamos. 6. Masa, momento y energía relativistas Cuando sobre una partícula actúa una fuerza constante, según la teoría de Newton la velocidad y la cantidad de movimiento, p, aumenta uniformemente con el paso del tiempo. Pero según la relatividad especial, la velocidad está limitada por el valor finito de la velocidad de la luz en el vacío, de modo que la cantidad de movimiento newtoniana también tiende al límite p = mv = mc. Si ocurre esto, entonces la acción continuada de la fuerza ya no puede producir aceleración, entonces lo único que puede ocurrir es que la masa se incremente con la velocidad, de modo que la inercia del cuerpo se incremente con la velocidad. Lo que tenemos realmente es el momento lineal relativista donde m 4 es la masa en reposo de la partícula. p = γm 4 v Por otro lado, la energía total de un cuerpo viene dada por la expresión E = γm 4 c =. No obstante, la energía en reposo de un cuerpo es simplemente E = m 4 c =, por lo que la energía cinética de la partícula vendrá dada por la diferencia de los dos términos anteriores, es decir, E " = (γ 1)m 4 c =. Esta última expresión, teniendo en cuenta m = γm 4, podemos escribirla como E " = (m m 4 )c =. De esto podemos ver que la variación de energía de un cuerpo será E = mc =. Esto nos dice que cualquier variación de energía se traduce en una variación de masa, y viceversa, cualquier variación de masa supone la correspondiente variación de energía.

10 Masa y energía son dos manifestaciones de la misma cosa o, en otras palabras, la masa es una forma de energía. Ni la energía ni la cantidad de movimiento son cantidades invariantes, porque ambas dependen de una cantidad relativa: la velocidad de la partícula. Sin embargo, hay una combinación que sí es invariante: E = p = c = = m = c Y. 7. Evidencias experimentales de la teoría de la relatividad La física newtoniana es una aproximación excelente a casos cotidianos, pero en cálculos donde intervengan objetos que se muevan a velocidades próximas a la de la luz se debe usar la teoría de la relatividad. Por ejemplo, al analizar los resultados de los experimentos en un aceleradores o al estudiar los rayos cósmicos. Una aplicación reciente es el laser de electrones. Los efectos relativistas tienen importancia en la producción de la radiación sincrotrónica por haces en los aceleradores. La radiación sincrotrónica tiene cada vez mayor uso en los procesos de fabricación y el diagnóstico y cuidado de la salud. La ecuación de Einstein E = γm 4 c = es la base del funcionamiento de los reactores nucleares, y también nos permite comprender la generación de energía en las estrellas. Al cabo de casi un siglo de pruebas, podemos afirmar que la teoría de la relatividad ha salido reforzada con los resultados experimentales. Uno de los más comentados, en referencia a la comprobación experimental de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud es el de la detección de los muones procedentes de los piones de la radiación cósmica. Los muones se generan en las capas altas de nuestra atmósfera, pero su vida media en reposo es de tan sólo 2μs. Con esta vida media y moviéndose a una velocidad de 0.998c recorrerían 600m, por lo que nunca llegarían a la superficie terrestre. Sin embargo, su detección en la superficie es muy habitual. Esto se explica porque su vida media, medida en el sistema de referencia de la Tierra queda multiplicada por el factor γ, que, para esa velocidad es de En consecuencia, su vida media dilatada es de 31.6μs. Así, la distancia que en realidad pueden recorrer es de 9500m, lo que aclara su detección en la superficie. Esta es la explicación desde el sistema de referencia terrestre. Desde el del muón, su vida es de tan sólo 2μs, pero la atmósfera terrestre se le cruza a la velocidad de 0.998c, por lo que los 9500 m de altura se le contraen, en su sistema, a 600m.