ESTUDIO Y ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE DOS CUERPOS DESDE DISTINTOS SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES

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1 FAENA Fis ESTUDIO Y ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE DOS CUERPOS DESDE DISTINTOS SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Omayra Pérez (oj.perez.c@gmail.com) Bernardo Fernández (bernardo.fernandezg@gmail.com) Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología Departamento de Física Universidad de Panamá RESUMEN Se realizó un análisis comparativo del movimiento de dos cuerpos (uno uniforme y otro uniformemente acelerado, ambos, en línea recta) desde dos sistemas inerciales diferentes: el aula (sistema de referencia ligado a la Tierra, llamado de laboratorio) y el sistema inercial ligado a un cuerpo que se mueve con movimiento uniforme en línea recta con respecto a la Tierra, en un tiempo corto, como para que la Tierra sea inercial con respecto a los ejes de Copérnico. De este proceso se obtuvo como resultado que no hay cambios en las leyes. Lo que permitió comprobar que los modelos físicos son equivalentes en sistemas de referencia inerciales. INTRODUCCIÓN 39 El estudio del movimiento de los objetos M y N, desde distintos sistemas de referencia, giró alrededor del estudio y análisis del comportamiento de dos magnitudes físicas básicas: la distancia y el tiempo, en dos sistemas de referencia inerciales. Todo esto con la finalidad de: 1. determinar la rapidez instantánea de cada móvil cuando t = 80,0 ms en el sistema de referencia asociado a Tierra (el aula de clases); 2. representar las posiciones de N, en otro sistema de referencia que tiene por origen el punto M y por vectores unitarios perpendiculares y ortonormados î, ĵ ( ) fijos en el sistema de referencia asociado a M ( î está en la dirección y sentido del movimiento de M visto por un observador en el salón de clases); 3. construir el gráfico v versus t y comparar la rapidez instantánea a 80,0 ms, en el sistema de referencia asociado a M. 4. Comparar las leyes que expresan la posición, la velocidad y la aceleración de un objeto, en ambos sistemas de referencia y concluir sobre la forma equivalente de expresar las leyes físicas.

2 Fis FAENA El movimiento de M y N, tal como fue esquematizado en la figura 1 (se encuentra en el enunciado de la situación a resolver), permitió inferir, en una primera aproximación, que ambos cuerpos en el sistema de laboratorio, se movían en línea recta, uno con movimiento uniforme y otro con movimiento uniformemente acelerado. Y que después de un cierto t, ambos objetos convergían en un mismo punto. Esto último, llevó a afirmar que los modelos cinemáticos más simples, estaban a la base de la explicación y el logro de los objetivos de la situación a resolver. Dichos modelos fundamentaron las afirmaciones siguientes. Con respecto al objeto M, se movía en línea recta con rapidez constante (característica fundamental del movimiento uniforme), en consecuencia, la distancia recorrida por dicho objeto, fue modelizada por la expresión, x = x + v t; y= y + v t o x o y (1) Es necesario tener presente que v = v cos47 y v = v sen47. En cuanto a la x o y o posición de M, la misma fue modelizada por la expresión, 40 r = x î+ y ĵ (2) Podemos decir que este objeto es un sistema inercial con respecto a la Tierra. Con respecto al objeto N, se movía en línea recta con aceleración constante (característica fundamental del movimiento uniformemente acelerado) en el sistema asociado al laboratorio (Tierra), la distancia recorrida por dicho objeto, fue modelizada por la expresión, 1 2 x = v t + at + x; donde x = 0 y Y= y = 0 (3) o o o o 2 Antes de continuar es necesario destacar que como se trabajó dentro del marco del SI de medidas, la unidad de distancia usada fue metro (m) y de tiempo fue segundo (s). Debido a esto, es que los ms ser expresaron en segundos. En función de todo lo anterior, se establecieron como predicciones las siguientes: a. el objeto M, tiene un movimiento uniforme en línea recta con respecto al laboratorio, en consecuencia, recorre distancias iguales en tiempo iguales en línea recta;

3 FAENA Fis b. el objeto N, tiene un movimiento uniformemente acelerado, en línea recta, con respecto al laboratorio. c. Los dos sistemas de referencia, Tierra y M, son físicamente equivalentes, pues son sistemas inerciales con respecto a los ejes de Copérnico. d. En ambos sistemas el cuerpo N, tiene un movimiento uniformemente acelerado, en línea recta. e. En ambos sistemas el cuerpo M, tiene un movimiento uniforme (reposo o con velocidad constante). Las predicciones arriba señaladas, están fundamentadas en la invarianza galileana, que se refiere al hecho derivado del principio de relatividad según el cual las leyes fundamentales de la física tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Einstein lo generalizó, a todos los sistemas de referencia. En este contexto, a veces la relatividad galileana es llamada la relatividad newtoniana. Entre los axiomas de la teoría de Newton encontramos (Es.wikipedia.org, 2015): 1. Existe un espacio absoluto, en el que las leyes de Newton son ciertas. Un sistema de referencia inercial es un marco de referencia en movimiento uniforme en relación con el espacio absoluto Todos los sistemas inerciales comparten un tiempo universal. El proceso de comprobación de las predicciones anteriores, que pasó por un proceso experimental con el objetivo de comprobarlas, se prestó especial atención a la medición de la distancia que separa los distintos puntos que forman la trayectoria seguida por cada uno de los objetos (M y N), pues, el tiempo se obtuvo a través de la lectura de la información presente en la figura 1. PROCEDIMIENTO En la figura 1, la situación, se caracterizó por ser el montaje experimental sobre el que se trabajó. Dicha figura contenía la información sobre la distancia recorrida por ambos objetos y el tiempo empleado en recorrerla. Por ejemplo, la información concerniente a la distancia, se obtuvo a través de la medición de la distancia que separa los distintos puntos

4 Fis FAENA que forman la trayectoria seguida por cada uno de los objetos. El instrumento de medición en este caso fue la regla de 30 cm, con la precisión en los milímetros. En cuanto al tiempo entre cada punto, se supuso que era el mismo entre posiciones próximas. En cuanto a las unidades, las distancias se expresaron en metros (m) y el tiempo en segundos (s). Es necesario destacar que al medir las distancias, era necesario determinar el sistema de referencia en el que se trabajaría. Había dos sistema de referencia: uno asociado a Tierra (el aula de clases o laboratorio) y el sistema de referencia colocado en M y donde la dirección del movimiento de M se toma como eje Ox. Específicamente, realizamos las mediciones requeridas en el sistema de laboratorio representado por el par de ejes con dirección î, ĵ. Sistema de referencia representado en la figura Fig. 2. Representación gráfica del sistema de referencia asociado a Tierra (laboratorio). En este punto queremos destacar que se midieron, tanto las distancias recorridas por M y N desde el mismo sistema de referencia ( î, ĵ ). Al medir las distancias recorridas por N desde el sistema de laboratorio, no hubo mayores dificultades. Pero, medir las distancias recorridas por M desde N, implicó trazar los vectores posición r y r desde el origen de N, 1 2 pues la diferencia entre estos dos vectores nos llevó a obtener el vector desplazamiento r tal como representamos en la figura 3.

5 FAENA Fis Fig. 3. Sistema utilizado para medir las distancias recorridas por M desde N. 43 RESULTADOS Y ANÁLISIS Los resultados y su correspondiente análisis, es presentado en dos partes. Primera parte, análisis de los movimientos de M y N desde un sistema de referencia asociado a Tierra (sistema de referencia inercial); y análisis de los movimientos de M y N desde un sistema de referencia asociado a M (sistema de referencia inercial). Movimientos de M y N analizados desde un sistema de referencia asociado a Tierra: sistema de referencia inercial en reposo con respecto a Tierra. Los resultados de la medición de las distancias recorridas por ambos objetos, M y N, y sus correspondientes tiempos son presentados en la tabla 1. Esta información fue obtenida desde el sistema de referencia asociado a Tierra.

6 Fis FAENA Objeto M Objeto N Tiempo (s) Distancia (m) Tiempo (s) Distancia (m) 0,020 0, ,020 0, ,040 0, ,040 0, ,060 0, ,060 0, ,080 0, ,080 0, ,100 0, ,100 0, ,120 0, ,120 0, ,140 0, ,140 0, ,160 0, ,160 0, ,180 0, ,180 0, ,200 0, ,220 0, ,240 0,081 5 Tabla 1. Datos sobre la distancia recorrida por cada objeto y el tiempo empleado en recorrer dichas distancias (sistema de referencia asociado a Tierra). 44 El ordenamiento de la información, en la tabla 1 (ordenamiento secuencial), confirmó las predicciones, pero, no estaba de más construir las representaciones gráficas (ordenamiento de manera paralela o visual) de dicha información (figura 4). Fig. 4. Representación gráfica del movimiento de M y N (Distancias vs tiempo), desde el sistema de referencia asociado a Tierra (laboratorio).

7 FAENA Fis Para verificar que el objeto N se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, los datos correspondientes, los mostrados en la tabla 1, se usaron para construir la gráfica distancia vs tiempo. A dicha representación gráfica se le aplicó un ajuste polinomial de orden 2, usando el programa Origin 5 (figura 5). Los valores, parámetros y errores obtenidos producto de dicho ajuste (tabla 2), permiten afirmar que N, se mueve con un movimiento uniformemente acelerado en línea recta. 45 Fig. 5. Representación distancia vs tiempo (objeto N), referencia asociado a Tierra, con un ajuste polinomial. Resultados del ajuste Polinomial de la forma Y = A + B1*X + B2*X 2 Parámetros Valores Error A 0,002 0,004 B1 0,23 0,09 B2 1,98 0,43 R-Square(COD) SD N P 0, , <0,000 1 Tabla 2. Los valores, parámetros y error producto del ajuste polinomial movimiento del objeto N (desde un sistema de referencia asociado a Tierra). En cuanto al movimiento del objeto M, el análisis de la gráfica distancia vs tiempo y su correspondiente ajuste lineal permitió afirmar que este objeto se movía con un movimiento uniforme (luego puede ser considerado un sistema de referencia inercial con respecto a Tierra). Otra información que se obtuvo a partir del análisis matemático de dicha gráfica fue

8 Fis FAENA la ecuación que representaba el movimiento del objeto M (tabla 3). Resultados del ajuste lineal de la forma Y = A + BX Parámetros Valores Error A 0, ,000 2 B 0,338 0,001 R SD N P 0, , <0,000 1 Tabla 3. Los valores, parámetros y error producto del ajuste lineal movimiento de M. Para ambos objetos (M y N), se derivaron las ecuaciones que representan sus movimientos en función del tiempo (la mostrada en la tabla 4), con lo que se obtiene la expresión matemática que modeliza la rapidez, en m/s, tanto de M (V M ) como de N (V N ). Objeto Expresión matemática que representa su movimiento N D = (0,23) t + (1,98) t 2 M D = (0,338) t 46 Tabla 4. Ecuaciones de movimientos de M y N, desde el sistema de referencia asociado a Tierra. Y a partir de las expresiones (4) y (5) se generaron las representaciones gráficas mostradas en la figura 6. v M = 0,338 m / s = v o (4) v N = ( 0,23 + 3,96 t) m / s (5) A partir de las representaciones gráficas del movimiento de ambos objetos y que se muestras en la figura 6, se obtuvo la solución a la primera cuestión planteada. La rapidez instantánea para ambos objetos, a los 80 ms, es para el objeto N y M, 0,545 m/s y 0,338 m/s, respectivamente.

9 FAENA Fis Fig. 6. Representación gráfica de la rapidez vs tiempo para los objetos M y N, desde el sistema de referencia asociado a Tierra. Ahora veremos los movimientos de M y N analizados desde un sistema de referencia asociado a M: sistema de referencia inercial con movimiento a velocidad constante con respecto al laboratorio. 47 La representación de las posiciones de N desde otro sistema de referencia inercial (en este caso M), se fundamentó en las condiciones descritas en el enunciado. Con lo que se obtuvo la imagen mostrada en la figura 7, donde se pueden apreciar las posiciones (vector posición) de N, pero vistas, desde M. El objeto M se mueve con v constante con respecto a Tierra, y como el sistema de laboratorio es inercial, M será también inercial. Es necesario señalar que en el nuevo sistema de referencia representado en la figura 7, se usó la dirección del movimiento de M como eje Ox y la dirección de N forma 47 grados con respecto a la dirección de M, medido en el sistema Tierra o de laboratorio. En la figura 8 se puede apreciar el vector posición r 1 y sus componentes rectangulares r,r 1x 1y dibujado en el plano xy (sistema de referencia asociado a M). ( ) En la figura 9, se representa el vector posición r 2 y sus componentes rectangulares r, r 2x 2y dibujado, también desde el plano xy (sistema de referencia asociado a M). Des- ( )

10 Fis FAENA Fig. 7. Representación gráfica de los vectores posición desde el sistema de referencia asociado a M. 48 Fig. 8. Representación gráfica del vector posición r 1 en el plano xy (Sistema de referencia asociado a M).

11 FAENA Fis Fig. 9. Representación gráfica del vector posición r 1, r 2 y r 1 (Sistema de referencia asociado a M). en el plano xy tacamos, además, que el vector r 1 es el vector desplazamiento entre r y r (figura 9). 1 2 Los distintos r se obtuvieron a partir de los consecutivos vectores posición, por ejemplo, el r 1 se obtuvo de la diferencia entre r y r Los módulos de las componentes rectangulares de r 1, se obtiene la distancia recorrida, vista desde M, entre r y r r (Teorema de Pitágoras). En consecuencia, como producto del proceso de medir las correspondientes componentes rectangulares de los distintos r 1 y calcular sus respectivos módulos tal como se ha descrito, se obtuvo la información de la tabla 5. t (s) D (m) 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,086 2 Tabla 5. Distancia y tiempo de N, desde el sistema de referencia asociado a M.

12 Fis FAENA Fig. 10. Representación distancia vs tiempo de N, con la información obtenida desde el sistema de referencia asociado a M. 50 La representación gráfica de la información mostrada en la tabla 5, es presentada en la figura 10. Específicamente, se muestra la gráfica distancia vs tiempo. Dicha gráfica tiene la forma esperada. Como resultado del ajuste polinomial de orden 2 (tabla 6), se obtuvo la expresión matemática que representa la relación entre la distancia y el tiempo en este caso, y dicha expresión se muestra en la tabla 7. Como consecuencia de derivar dicha expresión matemática en función del tiempo se obtuvo la expresión que modeliza la rapidez de este objeto desde M, v N desde M = ( 0, ,88 t) m / s (6) La aceleración es un invariante galileano y encontramos 3,96 m/s 2 y 3,88 m/s 2 con una diferencia de 2 %. Ajuste Polinomial de la forma Y = A + B1*X + B2*X 2 Parámetros Valores Error A 0,004 0,002 B1 0,089 0,04 B2 1,94 0,17 R-Square(COD) SD N P 0, , <0,000 1 Tabla 6. Los valores, parámetros y error producto del ajuste polinomial movimiento del objeto N (desde un sistema de referencia asociado a M).

13 FAENA Fis Objeto Expresión matemática que representa su movimiento N D = (0,089) t + (1,94) t 2 Tabla 7. Ecuaciones de movimientos de M y N, desde el sistema de referencia asociado a M. En cuanto, a la rapidez instantánea de ambos objetos, se obtuvo de la representación gráfica presentada en la figura 9, generada a partir de la expresión (6). En este punto es necesario tener presente que el movimiento de N se estudia desde M (Sistema de referencia inercial). En este caso, como M es el sistema de referencia y el experimentador se encuentra en dicho sistema de referencia, y se puede decir que se encuentra en un reposo relativo con respecto a él mismo. En consecuencia, la rapidez instantánea para N es 0,400 m/s, a los 80 ms (figura 11). Para M, a los 80 ms, está en reposo. 51 Fig. 11. Rapidez vs tiempo. En este caso, la rapidez instantánea de N se obtiene M (que es el sistema de referencia). Además M está en reposo (M es un sistema de referencia inercial moviéndose a velocidad constante). Al comparar las rapideces de N, obtenida desde Tierra con la obtenida desde M a los 80 ms, es claro una diferencia importante (tabla 8). Sistemas de referencia Rapidez (m/s) de N a los 80 ms Tierra 0,545 M 0,400 Tabla 8. Comparación de rapideces de N, desde Tierra y M.

14 Fis FAENA En la tabla a continuación mostramos los módulos de la velocidad y la aceleración en la tabla 9, obtenidos para los sistema de referencia M y Tierra (Laboratorio). Sistema de referencia Módulo de la velocidad (m/s) Módulo de la aceleración (m/s 2 ) N desde Tierra 0,23 + 3,96 t 3,96 N desde M 0, ,88 t 3,88 M desde Tierra 0,388 0 M desde M 0 Tabla 9. Comparación de los módulos de la velocidad y la aceleración de M y N. CONCLUSIONES 52 De acuerdo a estos análisis no hay cambios en los resultados. Es decir, analizar el movimiento de N en el sistema de referencia Tierra (sistema de referencia inercial, en reposo), N se mueve con un movimiento uniformemente acelerado en línea recta. Y se encuentran los mismos resultados cuanto se analiza el movimiento de N, desde M (sistema de referencia inercial, con movimiento uniforme en línea recta). Lo que permite comprobar que los modelos físicos que describen el movimiento de M, en ambos sistemas de referencia inerciales, son equivalentes. REFERENCIAS 1. Annequin, R., y Boutigny, J. (1978). Volumen 1. Mecánica 1. Colección: Curso de Ciencias Físicas Annequin. Reverte; Edición: pp. 2. Annequin, R., y Boutigny, J. (1978). Volumen 2. Mecánica 2. Colección: Curso de Ciencias Físicas Annequin. Reverte; Edición: pp. 3. Es.wikipedia.org, (2015). Invariancia galileana. [online] Disponible en: es.wikipedia.org/wiki/invariancia_galileana [Consultada el 12 Sep. 2015]. 4. Pérez O., Fernández B Iniciación a las Actividades Experimentales. Estación RN50 Imprenta Articsa. Primera edición, 250 ejemplares en papel y 400 en CD. 184 páginas.