Relatividad. Dinámica relativista de la partícula libre

Transcripción

1 Relatividad Tarea 3 A entregar: Viernes 23 de septiembre de 2011 Esta tarea es para complementar el estudio de la dinámica relativista de una partícula libre. Lea y estudie estas notas y resuelva los problemas que se le hacen en el texto. Esta tarea es OBLIGATORIA. Dinámica relativista de la partícula libre 1 Acción de una partícula libre En clase argüimos que si no existe ninguna fuerza sobre el movimiento de una partícula, la acción, debiendo ser un invariante, sólo puede depender de invariantes, que en este caso es la integral de la trayectoria de espacio tiempo en la que se mueve, 2 S = α (1) 1 donde 1 y 2 son dos eventos. NOTA! no confundirse! S es la acción, es la diferencial del intervalo, = dx µ dx µ = cdτ (2) donde suponemos que el movimiento es tal que los intervalos son de tipo temporal 2 = dx µ dx µ < 0. O sea, la velocidad instantánea de la partícula debe ser menor que la velocidad de la luz. Es decir, si suponemos que el movimiento se describe en un marco de referencia inercial K, en este la velocidad instantánea es u(t) = ẋ(t)î + ẏ(t)ĵ + ż(t)ˆk (3) donde u(t) = u(t) < c. En este marco de referencia tenemos = c 1 u2 (t) dt. (4) 1

2 Por lo tanto, la acción se puede escribir como t2 S = αc 1 u2 (t) dt. (5) t 1 Comparando con la definición de la acción, hallamos que la lagrangiana es S = L = αc t2 t 1 Ldt (6) 1 u2 (t). (7) En el límite de velocidades bajas u 2 / 1, la mecánica newtoniana debe ser correcta, tal que la lagrangiana debe aproximarse a L Newton = 1 2 mu2. (8) Desarrollando la lagrangiana a orden más bajo (pero que contribuya!) L = αc 1 u2 (t) αc + 1 α 2 c u2. (9) La constante ( αc) no afecta las ecuaciones de movimiento, por lo que comparando las lagrangianas, obtenemos, α c = m. (10) Juntando lo anterior obtenemos la lagrangiana completa, L(ẋ, ẏ, ż; x, y, z) = m Las ecuaciones de Euler Lagrange son 1 ẋ2 + ẏ 2 + ż 2. (11) d L dt ẋ = L x (12) 2

3 y ecuaciones análogas para y y z. Como L no depende de (x, y, z), tenemos que las ecuaciones de movimiento son es decir, d L dt ẋ = 0 d dt d L dt ẏ = 0 y análogamente para las componentes y y z. Recordando que el momento se define como d L dt ż = 0 (13) mẋ = constante (14) 1 ẋ2 +ẏ 2 +ż 2 p x = L ẋ p y = L ẏ las ecuaciones de movimiento indican que p z = L ż, (15) p x = constante p y = constante p z = constante (16) es decir, la ecuación de movimiento de una partícula en ausencia de cualquier fuerza es, p = constante, es decir, el valor que tenga el momento en algún tiempo inicial se mantiene para todo tiempo. Explícitamente, el vector momento es, p = m u. (17) 1 u2 Note que recuperamos el momento newtoniano p m u en el límite u 2 / 1. La energía la obtenemos calculando al Hamiltoniano, H = ẋ L ẋ + ẏ L ẏ + ż L ż L (18) y donde debemos expresar el Hamiltoniano en términos de (p x, p y, p z ; x, y, z). Si evaluamos el Hamiltoniano en una trayectoria, obtenemos la energía para ese estado de movimiento. Hallamos entonces que E es donde p 2 = p p. E = p2 1 u2 m c + 2 mc2 1 u2 c, (19) 2 3

4 Prob. 12 Muestre que la energía puede expresarse en términos solamente de p de la siguiente manera, E = p 2 + m 2 c 4. (20) Como p = constante, entonces la energía también es constante. Tenemos tres resultados interesantes: Si la velocidad de la partícula en K es cero, u = 0, es decir, se encuentra en reposo en K, entonces p = 0 también, y la energía es E = m si p = 0. (21) Esta es quizás una de las fórmulas más famosas de la física. Nos dice que aún en reposo, la partícula tiene una energía diferente de cero. Nos dice además que la masa es energía. Este resultado lo discutiremos más a fondo en el curso. Si u 2 / 1, entonces, p 2 m 2 y la energía puede aproximarse como, E m + p2 2m + (22) que, quitando la energía en reposo, es la energía cinética no relativista. Notamos que mientras que u no puede exceder c, p puede ser tan grande como queramos. Es decir, si u c entonces p. Por supuesto que se requiere una fuerza y una energía infinitas para llegar a ese límite. Existe una excepción. Si la masa de la partícula es cero, m = 0, entonces es posible que la velocidad de la partícula sea igual a la de la velocidad de la luz u = c, mientras que el momento sea finito, p <. Que este límite es posible se puede ver analizando la ecuación (17). En este caso, la energía es, E = pc si m = 0. (23) Llamamos a tal partícula fotón, aunque su existencia requiere de aceptar la mecánica cuántica! 2 El cuadrivector momento-energía La deducción anterior no hace patente el poder de la relatividad especial, eso lo haremos en la siguiente sección. Para entenderlo mejor, conviene primero 4

5 verificar explícitamente un resultado importante. Notamos que E/c tiene unidades de momento. Estos sugiere considerar a la colección (E/c, p x, p y, p z ) en K como un cuadrivector, es decir, sea P µ el 4-vector momento-energía definido como, P 0 = E c P 1 = p x P 2 = p y P 3 = p z. (24) Cómo sabemos que es un cuadrivector? Muy sencillo, mostramos que se transforma como X µ ante una transformación de Lorentz Λ µ ν. Prob. 13 Muestre que P µ es un 4-vector. Sugerencia: considere un marco de referencia K que se mueva con velocidad v paralela a u. Consideremos pues que P µ es un vector. Notamos que la componente temporal de P µ es la energía, mientras que la espacial es el momento. Es decir, energía es a tiempo como momento es a posición. Esta conexión es verdareramente profunda y trasciende la relatividad especial. Hablaremos más de esto en el curso. De manera simbólica escribimos, ( ) E P = c, p. (25) Esto sugiere que definamos el cuadrivector velocidad U µ de la siguiente manera, U 0 = 1 U 1 = u x/c U 2 = u y/c U 3 = u z/c, (26) 1 u2 1 u2 1 u2 1 u2 en notación sencilla, U = 1 c c, 1 u2 u 1 u2. (27) Note que este vector es adimensional, sin embargo, es válido llamarlo velocidad por la siguiente razón. Considere el vector de posición en el espaciotiempo, X µ. La derivada con respecto al intervalo diferencial (o tiempo propio), = cdτ, es el cambio de X µ a lo largo de la trayectoria en espaciotiempo que sigue la partícula. Prob. 14 Verifique que tal cambio es precisamente U µ, es decir, muestre que U µ = dxµ. (28) 5

6 Prob. 15 Muestre que el 4-momento puede escribirse como, P µ = mc dxµ = mc U µ. (29) Evidentemente U µ es un 4-vector contravariante. Este vector tiene la particularidad que su magnitud es la unidad. Prob. 16 Muestre que, U µ U µ = 1. (30) 3 Deducción de las ecuaciones de movimiento en forma covariante Como mencionamos arriba, la deducción de la forma del momento y la energía relativistas, ecuaciones (17) y (20), asi como sus leyes de conservación, fueron realizadas de manera particular en un marco de referencia K. Ahora mostraremos que la deducción puede hacerse de manera covariante, es decir, válida para todos los marcos de referencia inerciales. Este es un primer ejercicio que muestra el poder de la notación tensorial. Regresamos a la expresión relativista de la acción, 2 S = mc (31) 1 donde = dx µ dx µ = cdτ. (32) Es decir consideramos que L depende de X µ (a través de sus derivadas). Calculamos la variación de la acción como δs = mc d(x µ + δx µ )d(x µ + δx µ ) + mc dx µ dx µ (33) donde X µ + δx µ, dentro de la lagrangiana, representa una trayectoria en espacio fase ligeramente diferente a X µ, que se supone extremiza a la acción. 6

7 Note que en los eventos 1 y 2, las dos trayectorias coinciden, es decir, δx µ (1) = δx µ (2) = 0. Como la variación es pequeña, desarrollamos hasta primer orden en δx µ y δx µ = η µν δx ν, δs = mc d(x µ + δx µ )d(x µ + δx µ ) + mc dx µ dx µ ) mc ( dx µ dx µ dx µ dδx µ dx µ dδx µ ) 1/2 +mc dx µ dx µ ( = mc 2 2 dxµ mc dx µ = mc 1/2 ) + mc d(δx µ) ( ) 1 + dxµ d(δx µ ) + mc d(δx µ ) (34) donde usamos (a) que dx µ dδx µ = dx µ dδx µ (chéquelo!) y (b) el cambio del vector X µ significa que se va evaluando sobre una trayectoria en el espaciotiempo, por lo tanto, podemos escribir, dx µ = dxµ y dδx µ = d(δx µ). (35) Reescribimos la variación con sus límites, 2 dx µ δs = mc 1 d(δx µ ) (36) para poder integrar por partes usando δx µ (1) = δx µ (2) = 0. Obtenemos d 2 X µ δs = mc δx µ. (37) 2 Pero la variación de la acción debe ser cero, δs = 0, para cualquier variación de la trayectoria δx µ. Por lo tanto, debe ser cierto que mc d2 X µ 2 = 0. (38) En la sección anterior mostramos que el 4-momento-energía es P µ = mc dxµ (39) 7

8 por lo que la ecuación de movimiento implica que dp µ = 0 (40) es decir, P µ = constante. Note que este resultado es el mismo que antes (es decir, que en cualquier marco K, tanto E como p son constantes de movimiento) sin embargo, la deducción no requiere de especificar a ningún marco en especial. Las ecuaciones (38) y (40) ciertamente son reminiscentes de las ecuaciones de Newton no relativistas para fuerzas cero. Esto sugiere, y veremos que así es, que cuando la partícula ya no es libre, es decir, que existen fuerzas sobre la partícula, la ecuación de movimiento es mc d2 X µ 2 = F µ (41) o dp µ = F µ, (42) donde F µ es la 4-fuerza... cómo es esta fuerza? como interactúan la partículas para dar lugar a tal fuerza? estas no son preguntas triviales, ya que como vimos en clase, la acción a distancia está prohibida. Veremos que forzozamente tenemos que recurrir al concepto de campo como el medio en el que se transmiten las interacciones entre las partículas. Prob. 17 Muestre que independientemente de la forma de la 4-fuerza F µ, debe obecederse que F µ U µ = 0 (43) es decir, la 4-aceleración y la 4-velocidad son ortogonales en el espacio de Minkowski. 8