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Transcripción

1 Contenido 1. Ecuaciones de Hamilton 1.1 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton 1.2 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación 1.3 Procedimiento de Routh 1.4 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales 1.5 Principio de Mínima Acción 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 1/21 21

2 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Principios fudamentales El método Hamiltoniano no es superior ni aporta información adicional al sistema bajo estudio respecto al formalismo Lagrangiano, sin embargo tiene sus ventajas: Formalismo Lagrangiano n grados de libertad: q i s n ecuaciones de movimiento de segundo ( ) orden: d L dt q i L q i = 0 se necesitan de 2n cond. iniciales para determinar el movimiento del sistema. el estado del sist. se representa como un punto en un espacio de configuración n-dimensional. Formalismo Hamiltoniano 2n grados de libertad: q i s y p i s 2n ecuaciones de movimiento de primer orden se necesitan de 2n cond. iniciales para determinar el movimiento del sistema. el estado del sist. se representa como un punto en un espacio fase 2n-dimensional. 2 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 2/21 21

3 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Transformación de Legrende En el formalismo Hamiltoniano las 2n variables correspondientes son: Coordenadas generalizadas: q i i = 1, 2,..., n Momentos conjugados: p i = L(q j, q j )/ q i i = 1, 2,..., n donde el set (q, p) se le conoce como variables canónicas. La transición del formalismo Lagrangiano (q, q, t) al Hamiltoniano (q, p, t) se realiza mediante Transformaciones de Legrende Consideremos una función de dos variables f(x, y), tal que su diferencial total sea df = f f dx + dy = udx + vdy, x y Ahora, cambiando la base (x, y) a (u, y) tal que ahora una nueva función dg se exprese en términos de du y dy, por tanto definimos, g = f ux, dg = df udx xdu, dg = vdy xdu 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 3/21 21

4 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Transformación de Legrende Comparando el resultado anterior de dg con la diferencial total, dg = vdy xdu = g g g dy + du, v = y u y, x = g u Aplicando la transformación de Legrende a L(q, q, t) tal que nos arroje H(q, p, t), dl = L q i dq i + L q i d q i + L t dt, pero p i = L q i ṗ i = L q i, 1 dl = ṗ i dq i + p i d q i + L t dt. Construyendo H(q, p, t) en función de L(q, q, t), H(q, p, t) = q i p i L(q, q, t), 1 sust. p i en d/dt( L/ q i) L/ q i = 0. 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 4/21 21

5 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Ecuaciones de Hamilton obteniendo la diferencial total de H(q, p, t), dh = q i dp i + p i d q i dl = q i dp i ṗ i dq i L t dt pero, dh = H p i dp i + H q i dq i + H t dt Relacionando términos obtenemos 2n relaciones conocidas como las ecuaciones canónicas de Hamilton, q i = H p i, ṗ i = H q i las cuales constituyen el set de 2n ecuaciones de movimiento de primer orden que reemplazan las n ecs. de segundo orden (provenientes del formalismo Lagrangiano). 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 5/21 21

6 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Notación simpléctica Las ecuaciones de Hamilton se pueden expresar en una forma compacta, construyendo un vector columna η con 2n elementos de la sig. manera, η i = q i, η i+n = p i, i n. igualmente generamos el vector columna H/ η, ( ) H = H ( ) H, = H, i n. η q i η p i i i+n Finalmente, definimos una matriz J de 2n 2n, [ ] [ ] J =, J = donde 0 es la matriz n n con todos los elementos cero, y 1 es la matriz unidad de n n, cumpliendo J las sig. propiedades, JJ = J J = 1, J = J = J 1, J 2 = 1, J = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 6/21 21

7 Transformaciones de Legendre y ecuaciones de Hamilton Notación simpléctica Por tanto, con las definiciones anteriores podemos expresar las ecuaciones de Hamilton de una manera mas compacta, η = J H η Como ejemplo, expresemos el sistema de dos variables (q 1, p 1 ), (q 2, p 2 ), q H/ q 1 q 2 ṗ 1 = H/ q H/ p 1, ṗ H/ p 2 lo cual cumple con lo obtenido anteriormente, q i = H p i, ṗ i = H q i. 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 7/21 21

8 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación Coordenadas cíclicas en el Hamiltoniano Recordemos que en el caso de la formulación Lagrangiana se consideraba a una coordenada q j cíclica si no aparecía explícitamente en L, por tanto, de d dt ( ) L q j L q j = 0 L q j = cte. L = ṗ j = H = cte. q j q j una coordenada cíclica también estará ausente en el Hamiltoniano y el momento conjugado será una cantidad conservada. Ahora, para el caso de la dependencia temporal, recordemos que del Hamiltoniano llegabamos a lo siguente, H t = L t, 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 8/21 21

9 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación Conservación de la energía Analizando de la diferencial total dh(p, q, t), dh = H dp i + H dq i + H p i q i t dt dh = H dp i dt p i dt + H dq i q i dt + H t = q ip i ṗ i q i + H t dh = H dt t = L t, Entonces, observamos que, si L L(t), H H(t) H es una cte. de movimiento. si el potencial es conservativo (V = V (q)) H = T + V. IMP: las cond. anteriores no son mutuamente necesarias y suficientes!! Un sistema puede tener H =cte. pero H T + V, o puede ser que H = T + V, pero H = H(t), H cte. 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 9/21 21

10 Procedimiento de Routh Aplicación a sistemas con coordenadas cíclicas Cuando tenemos alguna coordenada cíclica, digamos q n, hemos visto que el efecto en ambos formalismos, Formalismo Lagrangiano Formalismo Hamiltoniano L = L(q 1,..., q n 1 ; q 1,..., q n ; t) aún tenemos un problema de n variables (las q i siguen apareciendo completas!) H = H(q 1,..., q n 1 ; p 1,..., p n 1 ; α; t) al ser q n cíclica p n = α = cte, por lo que tenemos n 1 coord. y una cte. de integración α, q n = H α. El procedimiento de Routh, consiste en aplicar la transformación Hamiltoniana sólo a las coord. cíclicas, tratando las demás en el formalismo Lagrangiano. 10 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 10/21 21

11 Procedimiento de Routh Definición Si tenemos que las coord. cíclicas son q s+1,..., q n, definimos una función R, conocida como Routhiano, R(q 1,..., q n ; q 1,..., q s ; p s+1,..., p n ; t) = p i q i L, i=s+1 lo cual significa básicamente, R(q 1,..., q n ; q 1,..., q s ; p s+1,..., p n ; t) = H cycl (p s+1,..., p n ) L noncycl (q 1,..., q n ; q 1,..., q s ) en donde tenemos para las s coord. no-cíclicas las ecs. de Lagrange, ( ) d R R = 0, i = 1,..., s, dt q i q i y para las n s coord. cíclicas las ecucaciones de Hamilton, R = ṗ i = 0, & R = q i, i = s + 1,..., n. q i p i 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 11/21 21

12 Procedimiento de Routh Ejemplo: problema de Kepler En el problema de Kepler tenemos una partícula que se mueve en un plano bajo la influencia de una fuerza f(r) 1/r 2 proveniente de un potencial central general V (r) = k/r n el Lagrangiano es, L = m 2 (ṙ2 + r 2 θ2 ) + k r n, Observamos que la coord. cíclica es θ, siendo el momento conjugado p θ, por tanto el Routhiano será, R(r, ṙ, p θ ) = p θ θ L = pθ θ m 2 (ṙ2 + r 2 θ2 ) k r n, p θ = L θ = p θ mr2 θ θ = mr 2 p 2 θ R(r, ṙ, p θ ) = 2mr mṙ2 k r n. 12 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 12/21 21

13 Procedimiento de Routh Ejemplo: problema de Kepler (cont.) Ahora, para hallar las ecs. de movimento, aplicamos el formalismo Lagrangiano para las coord. no-cíclica r, d dt ( ) R R ṙ r = 0, r p3 θ mr 3 + nk = 0. rn+1 aplicando ahora las ecsuaciones de Hamilton a la coord. cíclica θ, R = ṗ θ = 0, θ R = p θ = p θ θ mr 2, p θ = mr 2 θ = l = cte. resultado que se había obtenido previamente, pero mediante un procedimiento mas largo!!! 13 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 13/21 21

14 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales Principio de Hamilton modificado En cálculo de variaciones estudiamos el principio de Hamilton en el espacio de configuraciones, δi δ L(q, q, t)dt = 0 δq( ) = δq(t 2 ) = 0 Ahora, deseamos expresar lo anterior en términos del Hamiltoniano, H = p i q i L(q, q, t), L(q, q, t) = p i q i H(p, q, t) entonces obtenemos el principio de Hamilton modificado en el espacio fase, δi δ [p i q i H(p, q, t)] dt = 0. Ahora imponemos que la acción I sea estacionaria bajo variaciones independientes de q y p y fijo en los extremos, p i p i + ɛ 1 η i (t), δp i ( ) = δp i (t 2 ) = 0 q i q i + ɛ 2 ξ i (t), δq i ( ) = δq i (t 2 ) = 0 14 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 14/21 21

15 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales Principio de Hamilton modificado calculando la variación en el principio de Hamilton modificado, [ p i δ q i + q i δp i H δp i H ] δq i dt = 0 p i q i analizando el primer término, d p i δ q i = p i dt (δq i) = d dt (p iδq i ) ṗ i δq i, sustituyendo, [ d dt (p iδq i ) ṗ i δq i + q i δp i H δp i H ] δq i dt = 0 p i q i [ d [p i δq i ] + ṗ i δq i + q i δp i H δp i H ] δq i dt = 0 p i q i integrando el primer término, d [p i δq i ] = p i δq i t 2 t1 = p i (t 2 )δq i (t 2 ) p i ( )δq i ( ) = 0 15 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 15/21 21

16 Ecuaciones de Hamilton desde principios variacionales Principio de Hamilton modificado Entonces sólo nos queda el segundo término, [ ṗ i δq i + q i δp i H δp i H ] δq i dt = 0 p i q i agrupando, [( q i H ) ( δp i p i ṗ i + H q i ) δq i ] dt = 0 como tenemos que las q i a y p i s son coordenadas independientes, entonces δq i a y δp i s también lo son, por tanto, q i H p i = 0, & ṗ i + H q i = 0. las cuales representan a las ecuaciones de Hamilton, q i = H p i, & ṗ i = H q i. 16 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 16/21 21

17 Principio de Mínima Acción Variación El principio de mínima acción involucra la variación que tiene menos restricciones que la variación δ, la variación de la trayectoria puede tener limites diferentes en t que la trayectoria original, puede haber variación en las coordenadas q de los límites. q i (t, α) = q i (t, 0) + αη i (t), η i ( ), η i (t 2 ) 0. Evaluando la variación de la integral de acción, Ldt + t 2 L(α)dt L(0)dt + 17 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 17/21 21

18 Principio de Mínima Acción Variación La variación se compone de dos partes, Cambio en el integrando en la trayectoria alterna pero con los límites en t de la original. Cambio en los límites de la integral de la trayectoria original, por tanto, podemos expresar la variación también de la sig. manera, Ldt = = δldt t1 L(0)dt + t2 δldt L( ) + L(t 2 ) t 2 t 2 L(0)dt la variación de la primera integral se realiza como en el caso del principio de Hamilton, excepto que δq i ( ), δq i (t 2 ) 0, [ L δldt = d ( )] L δq i dt + L t 2 δq i q i dt q i q = p i δq i t 2 t1. i en donde el primer término corresponde a la ecuación de Lagrange. 18 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 18/21 21

19 Principio de Mínima Acción Variación Por tanto, la variación queda como, Ldt = L(t 2 ) t 2 L( ) + p i δq i t 2 t1 = (L t + p i δq i ) 2 1 Expresando ahora la variación en términos de q i, q i (2) = q i (t 2 + t 2, α) q i (t 2, 0) = q i (t 2 + t 2, 0) q i (t 2, 0) αη i (t 2 + t 2 ) = q i (t 2, 0) + q i (t 2, 0) t q i (t 2, 0) + αη i (t 2 ) α η i (t 2 ) t 2 q i (2) = q i (2, 0) t 2 + δq i (2). en donde se ha usado, δq i (2) = q i (t 2, α) q i (t 2, 0) = αη i (t 2 ). 19 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 19/21 21

20 Principio de Mínima Acción Variación reescribiendo la variación de la integral de acción, Ldt = (L t + p i δq i ) 2 1 = (L t p i q i t + p i q i ) 2 1 = ([L p i q i ] t + p i q i ) 2 1 = (p i q i H t) 2 1 Lo anterior debe cumplir con las siguientes restricciones, se consideran sistemas donde L L(t), H H(t), H es una cantidad conservada. la variación es tal que H se conserva en todas las trayectorias. las trayectorias alternas deben cumplir que q i ( ), q i (t 2 ) = 0, aún manteniéndose t 0. Ldt = H( t 2 ). 20 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 20/21 21

21 Principio de Mínima Acción Variación Bajo las mismas condiciones anteriores, vemos que la integral de acción también se expresa como, Ldt = = (p i q i H) dt p i q i dt H(t 2 ) aplicando la variación al resultado anterior, pero, Ldt = p i q i dt H( t 2 ) Ldt = H( t 2 ), p i q i dt = 0. lo cual representa al principio de mínima acción 21 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 21/21 21