Transformaciones canónicas para sistemas de dimensión finita

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1 Universidad Autónoma de San Luis Potosí Facultad de Ciencias Transformaciones canónicas para sistemas de dimensión finita Tesis que para obtener el grado de Licenciatura en Matemática Educativa Presenta Damaris Grageda Acosta Asesor Dr. Alberto Molgado San Luis Potosí, SLP, México 21 de junio de 2017

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3 Agradecimientos Primero me gustaría agradecer a mi asesor de Tesis, Dr. Alberto Molgado por su esfuerzo, dedicación, su orientación, su motivación y su paciencia que han sido parte importante de mi formación. El me ha enseñado a ser una mejor estudiante, a crecer como persona y de igual manera ha sido un ejemplo. También quiero expresar mis agradecimientos a mis hermanos por su apoyo y cariño. A Lolita por su amor incondicional y por ser una parte importante de mi vida, ya que ha sido una de las personas que me ha formado como persona. Y especialmente a mis padres que han estado conmigo en todo momento, apoyándome, creyendo en mi, por todos sus sacrificios y esfuerzos por querer darme siempre lo mejor. Ésta tesis fue desarrollada bajo el proyecto CB CONACYT-México. i

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5 Índice general 1. Introducción 1 2. Mecánica clásica Fundamentos del cálculo variacional y aplicaciones en Mecánica Cálculo variacional Ecuación de Euler Mecánica Lagrangiana Principio de Hamilton Principio de Hamilton generalizado a varios grados de libertad Ventajas del principio de Hamilton Mecánica Hamiltoniana Formulación Hamiltoniana Transformada de Legendre Las ecuaciones de Hamilton El bracket de Poisson Transformaciones canónicas Función generadora Aplicaciones de las transformaciones canónicas Oscilador armónico simple Potencial de Liouville Modelo de Pais-Uhlenbeck: Frecuencias distintas Modelo de Pais-Uhlenbeck: Frecuencias iguales Conclusiones 39 Bibliografía 43 iii

6 iv ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 Introducción Para poder representar a un sistema físico podemos utilizar a la mecánica de Newton, considerando las fuerzas que se ejercen sobre el sistema. De acuerdo con [1], la Mecánica Newtoniana está descrita por tres leyes, las cuales son Ley de inercia. Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe una fuerza externa sobre ella. Ley fundamental de la dinámica. La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración y su masa. Ley de acción-reacción. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto. Sin embargo, a pesar de la simpleza de las leyes de Newton, existen otras descripciones de la Mecánica basadas en ciertos principios variacionales que consisten en encontrar ciertas funciones para hacer extrema a una integral, a lo anterior se le conoce como el principio de Hamilton, el cual hace posible establecer las bases de la mecánica clásica en una forma geométrica, como se describirá más adelante. De tal principio es posible obtener las ecuaciones de Lagrange por medio de una integral y una función que se expresa por coordenadas, velocidades y el tiempo. La diferencia con el análisis de Newton está basada principalmente en que los principios variacionales están fuertemente ligados a propiedades geométricas asociadas a cantidades fundamentales en la descripción de un sistema físico, tales como la energía potencial y cinética. En el mismo sentido del cálculo variacional, cabe señalar que existe la posibilidad de interpretar los fenómenos desde un punto de vista distinto, por medio de un cambio del sistema de referencia de la mecánica de Lagrange al llevar a cabo una transformación de Legendre. A esta nueva formulación se le llama mecánica Hamiltoniana y a sus ecuaciones de movimiento se les conoce como ecuaciones canónicas de movimiento. Dada la generalidad de las mecánicas Lagrangiana y Hamiltoniana uno tiene una gran libertad en la elección de coordenadas generalizadas para plantear sus ecuaciones de movimiento y, en ambas formulaciones, si las coordenadas varían la forma funcional de las ecuaciones de movimiento no se ven afectadas. Por tal razón la elección de las coordenadas 1

8 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN no se encuentra limitada por ninguna condición. Siendo así, ambas mecánicas pueden ser descritas en términos de cualquier conjunto de parámetros arbitrarios que describan al sistema. En los problemas que se van a proponer para este trabajo, nos enfocaremos en la mecánica de Hamilton que tiene lugar en el llamado espacio fase o espacio cotangente y, en éste espacio desarrollaremos las ecuaciones canónicas de movimiento que describen a un sistema físico dado. Como ya mencionamos sus ecuaciones no dependen de la elección de las coordenadas, por lo que se puede proponer una invariable cantidad de coordenadas y en con secuencia la función va a sufrir una transformación. Este tipo de transformaciones están simplemente sujetas a la condición de dejar invariantes las ecuaciones canónicas, y se les llama transformaciones canónicas. El problema que se expone en este trabajo de tesis es proponer la resolución de problemas de interés físico mediante el uso de transformaciones canónicas para sistemas de dimensión finita. De esta forma, nuestra propuesta se centra en la aplicabilidad de transformaciones canónicas en el contexto de la Mecánica Hamiltoniana con la finalidad de reducir las ecuaciones de movimiento a las de un sistema físico equivalente, cuya solución sea más fácil de encontrar. Esto, como se verá adelante impacta no sólo en la Física de un sistema dado, sino es congruente con los métodos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Siendo así, nuestra intención concreta está enfocada a la exploración de transformaciones canónicas para la resolución de ecuaciones diferenciales asociadas a sistemas físicos de interés. También pretendemos enfatizar el método de transformaciones canónicas como alternativa viable para la solución de ecuaciones diferenciales parciales, impactando así tanto en el área de la física como de las matemáticas. Comenzaremos por describir a grandes rasgos los principios variacionales que se encuentran detrás de las mecánicas de Lagrange y de Hamilton para después introducir el concepto de transformación canónica. Siguiendo por ejemplo a [2] en donde se explica la forma para obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange, vemos, para empezar, que el cálculo variacional parte de la necesidad de hacer un funcional integral un extremal, es decir, encontrar el mínimo, el máximo o la inflexión de tal funcional. En este sentido pensaremos en un funcional como un mapeo que toma como variable independiente a una función y nos regresa un número real (o complejo). Este funcional es el mismo que menciona [4] y será un funcional, llamado la acción, el que nos va a llevar a las ecuaciones de Euler-Lagrange, las cuales describen la dinámica del sistema de nuestro interés. En la misma dirección, [4] menciona como representar a un sistema físico en el espacio de configuraciones por medio de la posición de las variables o sus coordenadas en un tiempo determinado. De tal modo que las ecuaciones de movimiento se pueden obtener por medio del principio de mínima acción, que básicamente nos dice que la dinámica de un sistema se obtiene al minimizar al funcional de acción [5]. Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden reescribirse como un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden conocidas como ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canónicas de movimiento. Para realizar este cambio se debe incorporar el momento como una nueva variable, el cual generaliza el concepto usualmente aceptado de momento en la mecánica Newtoniana definido como la cantidad de movimiento. En consecuencia, a partir del Lagrangiano

9 (el cual es la función dinámica formada por las coordenadas generalizadas, las velocidades generalizadas y el tiempo, es decir una función de (q, q, t)), se puede obtener una nueva función en términos de las coordenadas generalizadas, el momento y el tiempo (o bien una función de (q, p, t)), a la cual llamaremos función Hamiltoniana, o simplemente, Hamiltoniano. Formalmente a este tipo de transformaciones se les conoce como transformadas de Legendre [4], y en términos generales transforma funciones de un espacio vectorial V que es cualquier conjunto que posea operaciones de suma y producto por escalares, a funciones en el espacio vectorial dual V siendo el conjunto de todas las funciones lineales λ : V R. Por medio de la transformada de Legendre se puede, en principio, obtener ciertas ventajas al momento de resolver problemas. Esto sucede porque se puede pasar del espacio vectorial al espacio vectorial dual y viceversa, obteniendo así una nueva función para la cual las ecuaciones de movimiento resulten más sencillas que las originales, y en consecuencia el problema se puede resolver mas fácilmente. En el lenguaje de las ecuaciones diferenciales parciales, en donde las transformaciones de Legendre desarrollan todo su potencial, lo que técnicamente se hace es transformar el problema original al problema de resolver las ecuaciones características del sistema, la cual es una técnica bien conocido y explotada aún para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes arbitrarios. Otro punto importante a resaltar es que al describir un sistema físico utilizando, ya sea la mecánica Lagrangiana o la mecánica de Hamilton, obtenemos la posibilidad de proponer una nueva elección de coordenadas generalizadas para que las ecuaciones de movimiento que describen al sistema puedan llegar a ser más simples de resolver sin alterar la naturaleza del sistema. Sin embargo como se mencionó al inicio nos enfocaremos a trabajar con el análisis de Hamilton y sus transformaciones canónicas. Por tal motivo es necesario entender desde Mecánica Newtoniana y cómo ha sido su evolución para llegar a la descripción Hamiltoniana, así como detallar las herramientas matemáticas que utiliza, en particular, con la finalidad de poder trabajar con diversas situaciones de relevancia en problemas físicos, y de ahí partir para transformarlas en un caso más sencillo en donde se pueda trabajar y encontrar soluciones simples mediante el uso de las transformaciones canónicas. En cuanto a la contribución del presente trabajo en el área de la matemática educativa, en ésta tesis se trabajará desde la perspectiva del aprendizaje basado en la indagación y resolución de problemas en la educación matemática. En relación con [6], considerando que en la actualidad existe un debate constante acerca de cómo se debe enseñar, siempre se tiene presente a las dos posturas más fuertes, que son la forma tradicional, es decir, cuando el docente proporciona toda la información posible a los alumnos, y la construcción de conocimientos, la cual se enfoca en que el alumno sea el encargado de generar su propio aprendizaje. En la referencia [6] se propone un nuevo método de enseñanza-aprendizaje en donde mezclan ambos modelos que es el tradicional con el constructivista, con la finalidad de obtener mejores resultados en el aprendizaje significativo. Esta nueva propuesta se fundamenta al considerar los desafíos de la educación, en donde no es posible que el alumno adquiera las habilidades necesarias sin la ayuda de un guía y de la misma manera no se logra que los alumnos tengan un aprendizaje significativo si se les proporciona toda la información. Tal propuesta se enfoca en la resolución de problemas, es decir, que considera necesario incorporar en el aula problemas en donde los estudiantes pongan en práctica las competencias y de igual manera 3

10 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN generen conflicto para así poder poner en práctica nuevas habilidades. Esto tiene por nombre Teoría de Situaciones Didácticas [7], [8], dado que permite que los conocimientos matemáticos sean puestos en práctica en un contexto real o aplicado a otra asignatura, con el fin de darle significado al currículo propuesto. Esto, en nuestro caso de interés, permitirá que los alumnos amplíen su perspectiva sobre la física al percatarse que existen otras áreas involucradas, como lo son el cálculo variacional y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, creando una motivación como interés por conocer de la materia (física) y además por las que se le relacionan. En general, al buscar una situación o problema que tenga significado para los estudiantes e, incorporando así los conocimientos necesarios sobre el tema que se va a abordar, se puede formar un modelo de situaciones, es decir, un problema que se enfoque en abordar distintas áreas y a su vez tenga una estrecha relación con la materia. Esto tendrá como consecuencia el generar una motivación más amplia y, como resultado, se obtiene un aprendizaje significativo. La introducción de éste tipo de problemas puede ser de beneficio para el docente, ya que puede ser usado para distintos momentos de la enseñanza-aprendizaje cómo en una evaluación, un proyecto, una retroalimentación, verificación de conocimientos, etc., con el propósito de tener recursos extras que lo ayuden en el aula dependiendo de la situación que se le presente. De acuerdo a [9], recientemente se ha propuesto los lineamientos bajo los cuales se pretende que sea la enseñanza en nuestro país, la cual, al observar modelos externos y ver los resultados positivos que generan en esos otros casos, pretende incorporar herramientas que permitan solucionar los problemas existentes dentro del aula. Una de las alternativas propuestas para mejorar la calidad de la enseñanza es la incorporación de las competencias, que se definen como conocimientos, habilidades y actitudes que deben tener todos los alumnos permitiendo responder a demandas complejas en un contexto determinado. De acuerdo a estas referencias [3], [10], [11] se favorecen los requisitos que propone la Secretaría de Educación Pública, como es la relevancia del aprendizaje significativo, en donde es importante que el alumno tenga los conocimientos pero de igual forma sea capaz de crear soluciones o alternativas a situaciones complejas aplicando sus conocimientos, es decir, formar una estructura cognitiva profunda con la finalidad de dar la misma importancia al conocimiento como a las habilidades que utilizan para llegar a la solución. Alguna de las ventajas que existen al trabajar con las competencias es que las instituciones educativas pueden construir diferentes currículos que dan la flexibilidad y oportunidad a los alumnos de elegir el que es de su interés y de esta forma los ayudaría a definir sus estudios superiores como la formación de habilidades para avanzar a una educación superior en el área que eligieron trabajar. A causa de lo anterior el docente tiene que rediseñar su clase dándole el enfoque que considere favorecedor para los alumnos, tomando en cuenta la modalidad que eligieron, sus preferencias como intereses para desarrollar actividades que los motiven y contengan los temas a ver, por lo que puede resultar ser una dificultad para el docente ya que tiene que diseñar planeaciones como actividades diferentes para cada perfil que los alumnos eligieron. En ésta misma dirección, en [12] se plantea la didáctica del descubrimiento que parte de problemas para llamar la atención de los alumnos, estos problemas tienen como fin la

11 motivación considerando temas ya vistos, que puedan compartir ideas los alumnos y esté relacionado con su entorno. Considera que a medida que los estudiantes aprenden, los resultados del aprendizaje van creciendo y siendo más complejos a nivel estructural, por lo que la finalidad que propone [12] es tener un aprendizaje profundo y no superficial. Por esa razón Biggs divide el tipo de conocimiento conforme va avanzando el alumno como: declarativo, conceptual, relacional y funcional. El nivel más alto en este caso el funcional se pretende adquirir por medio de las competencias. Con la intención de hacer los objetivos más precisos y de obtener una herramienta en la elaboración de las planeaciones creó la taxonomía SOLO que a su vez se encuentra dividida en cinco niveles: uniestructural, preestructural, multiestructural, relacional y abstracto ampliado; describiendo una jerarquía en la que cada construcción se convierte en un fundamento sobre el que se construye el aprendizaje. Es relevante la parte de los niveles, en particular el abstracto ampliado, que pone en práctica las habilidades, conocimientos, relaciones de conocimientos en una situación particular que en este caso se aplicaría al problema propuesto. En otras palabras pone en práctica las competencias por medio de un problema, en el cual el alumno necesita saber el porqué de las cosas y el para qué, para así crear un vínculo con sus conocimientos creando una alternativa viable para construir el conocimiento de una manera significativa. Con la ayuda de [13], una guía para la planeación docente estructura de manera muy específica cómo debería de ser una planeación enfocada al constructivismo. Esto resulta ser de gran ayuda, puesto que en una clase costructivista es necesario incorporar más elementos como herramientas al momento de evaluar, y en el proceso de aprendizaje es fundamental tener los objetivos de manera más concreta lo cual permite crear diversas estrategias para llegar al objetivo. Para que el docente pueda dar una clase eficiente que sea constructivista es necesario que tenga múltiples herramientas que le permitan ir incorporándoles conforme sea necesario. Una de estas herramientas que sirve para diversos fines es la elaboración de una situación real que involucre temas de diversas materias, es decir, que explore aplicaciones específicas en una materia mediante el uso de herramientas correspondientes a otras materias. Los problemas propuestos tienen que ser elaborados en base a los objetivos que se plantea el docente y a las competencias que pretende lograr en los alumnos. Por lo que en consecuencia para la elaboración de una situación debe cumplir con un proceso el cual comienza con crear un problema que incorpore los temas que se quieren poner en práctica y que a su vez esté adaptado a un escenario que involucre otras materias o sea de interés para los alumnos, después se elabora la planeación en donde el docente va a decidir el mejor momento para aplicar el problema y por último la aplicación de éste. Un apoyo para su elaboración es tomar algunas ideas como la adquisición y organización del conocimiento, la observación, el análisis, la síntesis, el procesamiento de la información, la aplicación de la información y la auto-evaluación que propone [14] para el diseño de las actividades de aprendizaje, así como para su elaboración correcta. En conclusión el crear situaciones que incorporen elementos de otras materias y a su vez motiven a los alumnos puede ser utilizado como una herramienta dentro del aula que llevaría a los alumnos a tener buenos resultados si es aplicado de la manera correcta. Para este proceso todo comienza desde la elaboración del problema, la elaboración de la planeación decidiendo como se utilizará y su aplicación, donde los autores ya mencionados dan 5

12 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN tanto los conocimientos como las herramientas para que el proceso sea eficaz y logre los objetivos como generar un mayor interés dentro del salón no sólo para una materia en específico. Es en este sentido que nuestra propuesta se enfoca, pues al incorporar herramientas de diferentes materias para la resolución de problemas concretos en Física, se pretende que el estudiante genere la capacidad de mejorar el proceso de aprendizaje, desarrollando así las competencias necesarias. Así, al considerar el tema que se realizará sobre transformaciones canónicas en sistemas mecánicos asociados a problemas físicos realistas, se introducen técnicas comúnmente asociadas tanto al cálculo variacional como a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, lo cual nos permite obtener mayores ventajas al momento de resolverlo, generando también en el estudiante una visión que engloba distintos puntos de vista provenientes de la Física, por un lado, y de la geometría inherente a las ecuaciones diferenciales parciales, por el otro lado. Así mismo, al considerar ejemplos específicos se pretende reforzar el conocimiento teórico adquirido en el aula. A pesar de que nuestra propuesta de incorporar herramientas provenientes de diversas áreas de las matemáticas para el estudio y resolución de sistemas dinámicos en la Física impacta directamente en un nivel educativo superior, en particular en los programas de Licenciatura en Física, Matemáticas y áreas afínes, se pretende que nuestra propuesta sirva de ejemplo para fusionar diversas áreas en la resolución de problemas en otros niveles educativos.

13 Capítulo 2 Mecánica clásica En este Capítulo daremos un breve resumen de los fundamentos del cálculo variacional con la finalidad de desarrollar las versiones de mecánica de Lagrange y de Hamilton. También desarrollaremos el bracket de Poisson, el cual es fundamental para definir las transformaciones canónicas de nuestro interés Fundamentos del cálculo variacional y aplicaciones en Mecánica Como mencionamos anteriormente, la mecánica de Newton se encarga de estudiar el comportamiento y la acción de los sistemas de partículas. Teniendo en cuenta que Isaac Newton realizó las bases para esta teoría se utilizan las leyes que propuso cómo una formulación del comportamiento físico de los sistemas. Estas leyes han sido descritas en la Introducción. A pesar de la simpleza de éstas leyes, su generalización para abordar la mayoría de los problemas que emergen en la Física moderna no es trivial debido principalmente al hecho de que las herramientas matemáticas que considera no son lo suficientemente flexibles para adaptarse a otros contextos, como lo son la mecánica relativista o la mecánica cuántica. Siendo así, se debe agregar que la mecánica Newtoniana puede ser generalizada por medio de expresiones matemáticas que se encuentran relacionadas con teorías que también explican el comportamiento de los cuerpos, como la Mecánica Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana. Éstas mecánicas están fuertemente asociadas al cálculo variacional que desarrollaremos a continuación Cálculo variacional Al encontrarnos con problemas difíciles es posible buscar sus soluciones por medio de replantear el mismo problema como algo más simple. Lo mismo sucede con muchos de los problemas que se presentan en la mecánica Newtoniana, estos se pueden analizar de una manera más sencilla al incorporar conceptos o leyes alternativas. La Mecánica describe los comportamientos y la acción de sistemas, estos procesos utilizan notaciones de principios de mínimos y máximos. Muchos de estos principios se encuentran diseñados para hacer esta- 7

14 8 CAPÍTULO 2. MECÁNICA CLÁSICA cionaria a una función y para hacerlo posible se utiliza el cálculo variacional. El cálculo de variaciones resuelve problemas de mínimos y máximos por medio de principios variacionales, estos principios a su vez incorporan leyes físicas que se deducen al obtener ecuaciones diferenciales, sin embargo el cálculo variacional representa al problema como una integral que tiene que hacerse extrema o en otras palabras encontrar el máximo, el mínimo o una inflexión de la función. No obstante expresar las situaciones físicas de forma variacional, quiere decir que resolverlos va a ser más sencillo, de igual manera se tienen que encontrar las soluciones de las ecuaciones diferenciales, sin embargo brinda la posibilidad de poder replantear los problemas de tal manera que sea más sencilla su aplicación y al mismo tiempo poder generalizarlo con otros problemas o situaciones. En conclusión, la importancia de esta formulación en el área de la Física es que el cálculo variacional nos brinda la posibilidad de representar los problemas de la mecánica clásica de una forma mas simple y a su vez elegante. Como mencionamos anteriormente el cálculo variacional nos dice que podemos describir a un sistema por medio de una integral (técnicamente un funcional integral), la cual se encuentra representada de la siguiente manera J[y] = b a F (y, y, x)dx. (2.1) La integral J resulta ser una función de la curva y con los límites de integración definidos, a este tipo de funciones se les llama funcionales, es decir difieren de funciones ordinarias ya que su variable independiente es una función. En el caso de nuestro interés, el funcional J dependerá no sólo de la curva y, sino también de sus derivadas y, así como de la variable independiente x. De acuerdo a lo anterior tenemos que J[x] genera ciertas curvas, con la cualidad de hacer extrema a una integral. Esto es de nuestro interés ya que el cálculo variacional se concentra en mínimos o máximos, o bien en determinar tales curvas. De tal manera que J se encuentra variando hasta encontrar su extremo, es decir se dan todas las posibles funciones con una representación paramétrica y(α, x), tal que para α = 0, obtenemos y = y(0, x) = y(x) que es la función que hace extrema a J y se puede replantear y(α, x) = y(0, x) + αη(x), (2.2) donde η(x) es una función arbitraria de x cuya primera derivada se desvanece en los límites de integración que son los puntos a y b. Esto sucede porque la función que varia y(α, x) tiene que ser igual a y(x) en los puntos η(a) = η(b) = 0. De esta manera, la integral (2.1) convierte a J en un funcional con parámetro α J[α] = b a F (y(α, x), y (α, x), x)dx, (2.3) siendo ahora una función de α, y el problema consiste en determinar el extremo de la función J[α], el cual en relación con hacer a y(x) extrema de J, se obtiene al poner α = Ecuación de Euler Las ecuaciones de Euler se derivan de considerar el estado de un sistema y los pequeños desplazamientos que se derivan de él, las cuales obtenemos por medio del principio diferencial.

15 2.1. FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO VARIACIONAL Y APLICACIONES EN MECÁNICA9 Además es posible obtener estas ecuaciones de un principio que considera el movimiento del sistema en un intervalo determinado de tiempo a y b como a sus variaciones, este principio se le llama el principio de mínima acción [5], [15]. Cuando hacemos referencia al movimiento de los sistemas en un tiempo determinado, es necesario poder formularlo a un lenguaje más preciso, de tal modo que el sistema se representa por los valores de las coordenadas generalizadas q 1, q 2,..., q n que corresponden a un punto particular del plano, las velocidades generalizadas q 1, q 2,..., q n que son las derivadas de las coordenadas y el tiempo t. De tal modo que para determinar la respuesta de (2.1) que es el problema del cálculo variacional empezamos por hacer una variación de la integral J con respecto al parámetro α b δj δα = d F (q, q, t)dt. (2.4) dα a Dado que tenemos que los límites de integración se encuentran definidos, únicamente afecta al integrando. Así se tiene ( δj b F δα = q a q α + F q ) dt. (2.5) q α El segundo término de la integral puede escribirse en función de q q en vez de y se llega a α α ( δj b F δα = q a q α + F ( )) d q dt, (2.6) q dt α en donde el segundo término de la integral se ha integrado por partes udv = uv vdu de tal modo que obtenemos ( ) [ ] b b F d q F ( ) q b d F q dt = dt. (2.7) a q dt α q α a a dt q α El primer término que se va a evaluar se elimina en los límites de integración porque, de acuerdo con la condición que se mencionó anteriormente (2.2), q(t, α) no depende de α en los extremos por ello únicamente nos quedamos con el segundo término. Y la variación (2.5) se transforma finalmente en b a [ F q d ( )] ( ) F q dt = 0. (2.8) dt q α Ahora tenemos que (2.8) es independiente de α, pero las funciones q y q siguen siendo funciones de α porque ( J ) α a=0 por lo que se desvanece en los valores extremos y el integrando se desvanece para α = 0, tal que F q d ( ) F = 0, (2.9) dt q donde q y q son funciones originales independientes de α. Ésta ecuación recibe el nombre de ecuación de Euler, y por lo anterior, decide el valor extremo de la integral J. Tal ecuación nos permite estudiar el movimiento de un sistema de partículas libres bajo la acción de fuerzas, y su solución representa por cual de las variaciones de las curvas la integral se hace un extremo [1], [15].

16 10 CAPÍTULO 2. MECÁNICA CLÁSICA Ejemplo: Distancia entre dos puntos en un plano Una de las aplicaciones sencillas de la ecuación de Euler es definir la distancia más corta entre dos puntos. La distancia la podemos definir de la siguiente manera ds = [(dx) 2 + (dy) 2 ] 1 2 = [1 + y 2 x ] 1 2 dx, (2.10) por lo que para minimizar la distancia entre dos puntos consideramos la funcional J dada por J = (x2,y 2 ) (x 1,y 1 ) ds = (x2,y 2 ) (x 1,y 1 ) Al compararlo con la ecuación de Euler (2.9) se determina la función [1 + y 2 x] 1 2 dx. (2.11) F (y, y x, x) = [1 + y 2 x] 1 2, (2.12) por lo que, al sustituir esta función en las ecuaciones de Euler obtenemos directamente o bien llegamos a la relación d ( 1 dx [1 + yx] ) = 0, (2.13) 1 [1 + y 2 x] 1 2 = C, (2.14) en donde C es una constante. Es fácil ver que tal resultado se satisface cuando y x = a, (2.15) con a siendo una constante, y por lo tanto, al integrar ésta última relación obtenemos y = ax + b, (2.16) de modo que la ecuación de Euler define que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta que une a esos dos puntos. La generalización de esta curva en el espacio-tiempo cuatridimencional nos conduce al concepto de geodésica en la geometría Riemanniana, la cual es de relevancia en la Relatividad general Mecánica Lagrangiana Al tratar de encontrar y representar un sistema de partículas o el movimiento de una sola partícula que se encuentra en un espacio inercial, con coordenadas rectangulares, es decir en el plano cartesiano, es fácil obtener sus ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Newton. No obstante si las condiciones anteriores se modifican, ahora encontrar las ecuaciones puede resultar una tarea muy compleja y a su vez difícil de manipular. Un ejemplo de lo anterior sería si una partícula se mueve sobre la superficie de una esfera o de

17 2.2. MECÁNICA LAGRANGIANA 11 igual forma sobre cualquier superficie. Lo anterior implica considerar las fuerzas centrales que están presentes, dado que si la partícula se encuentra en una posición complicada (bajo una esfera) puede resultar difícil o imposible obtener una expresión para las fuerzas de contraste. Como se afirmó arriba, por conveniencia y para evitar las dificultades de aplicar las leyes de Newton es posible aplicar un método alternativo, siempre y cuando el resultado obtenido sea equivalente a las ecuaciones de Newton. Por lo tanto no es necesario crear una nueva teoría, más bien es tener una opción para evitar las complicaciones generales de un problema, como es el hecho de contemplar todas las fuerzas del sistema. A este método se le conoce como el principio de Hamilton, el cual describe el movimiento de los sistemas mecánicos en donde todas las fuerzas se derivan de una función de coordenadas, velocidades y el tiempo. Y las ecuaciones de movimiento que resultan de aplicar este principio se les llama ecuaciones de Lagrange [1], [5], [15]. Dicho lo anterior el principio de Hamilton es equivalente a las ecuaciones de Lagrange y a su vez podemos relacionarlo como un postulado de la mecánica clásica en vez de utilizar las leyes de Newton [2]. Por otra parte, no hay que olvidar que no es una teoría nueva que acabamos de proponer, sino una alternativa de la mecánica de Newton y en consecuencia ambas teorías nos llevan a obtener los mismos resultados. Es decir, que el principio de Hamilton no nos brinda nueva información, menciona que el movimiento de un sistema mecánico se define al encontrar los extremales de un cierto funcional integral, al cual se le denomina en el contexto de la física como el funcional de acción, o simplemente como la acción de un sistema. Sin embargo se debe agregar que el principio de Hamilton no es más fundamental que las leyes de Newton Principio de Hamilton El principio de Hamilton es el principio variacional equivalente a las ecuaciones de movimiento de Lagrange [2]. En términos del cálculo variacional se puede representar como b δj[t] = δ (T U)dt = 0. (2.17) a La cantidad escalar J se le llama acción, y al funcional J[t] es la función de la acción que corresponde al Lagrangiano o función Lagrangiana L := T U, en donde T y U representan las energías cinética y potencial de un sistema físico dado, respectivamente [1]. Este principio requiere que la integral del Lagrangiano se haga un extremal. Hay que destacar que uno de los puntos importantes de ésta representación de la dinámica consiste en que las energías que definen al Lagrangiano no necesariamente deben se descritas en coordenadas rectangulares, sino más bien pueden depender de cualquier conjunto completo de parámetros que identifiquen los estados físicos de un sistema. A éste conjunto de parámetros se le conoce como coordenadas generalizadas. Siendo así, la ecuación (2.17) se puede reescribir como b δ L(q, q, t)dt = 0, (2.18) a en donde (q, q, t) representan el espacio que define completamente los estados del sistema en términos de las coordenadas generalizadas y sus respectivas velocidades, y el parámetro

18 12 CAPÍTULO 2. MECÁNICA CLÁSICA independiente t es identificado como el tiempo físico. La función L de la expresión (2.18) se puede identificar con la función F (y, y, x) del problema básico del cálculo variacional (2.3) si realizamos la transformación x t y(x) q(t) y (x) q (t) F (y, y ; x) L(q, q, t) La ecuación de Euler que corresponde a la ecuación (2.9) resulta ser entonces L q d L = 0, (2.19) dt q la cual, en el contexto de la Física se conoce como ecuación de Euler-Lagrange. Esta ecuación describe la ecuación de movimiento de Lagrange para una partícula puntual, y contiene la misma información dinámica que la segunda ley de Newton, como se verá a detalle en el ejemplo abajo. Otra cosa que hay que resaltar del método es que en ningún momento de realizar los cálculos incorpora a las fuerzas del sistema. Las ecuaciones de movimiento se obtienen partiendo de propiedades específicas asociadas con la partícula sin la necesidad de tomar en cuenta procesos externos. Como resultado el principio de Hamilton permite calcular las ecuaciones de movimiento sin recurrir a la teoría de Newton. Hay que tomar en consideración que el cálculo anterior es para sistemas de un grado de libertad, pero su generalización es trivial, como se verá a continuación. Ejemplo: Equivalencia entre la formulación Lagrangiana y la Newtoniana Ahora mostraremos cómo las ecuaciones de Lagrange contienen la misma información que la segunda ley de Newton. Como se mencionó antes, la función Lagrangiana la podemos definir como L := K U = L(q, q, t), en donde K y U son las energías cinética y potencial, respectivamente, en donde cada una de ellas se encuentra dada por las siguientes expresiones K = 1 2 mq 2, U = U(q). (2.20) Siendo asi, al meter esta información sobre el Lagrangiano a la ecuación de Euler-Lagrange tenemos para ambas energías las expresiones por lo que directamente se obtiene la relación L = U q q, L = K = mq, (2.21) q q U q d dt (mq ) = 0, (2.22)

19 2.2. MECÁNICA LAGRANGIANA 13 la cual puede ser reescrita como F = mq, (2.23) al considerar la relación F = U/ q, la cual es válida para sistemas conservativos. De esta forma hemos recuperado la segunda ley de Newton, por lo que efectivamente la función Lagrangiana contiene la misma información que propone la teoría Newtoniana Principio de Hamilton generalizado a varios grados de libertad El principio de Hamilton puede ser extendido a cualquier sistema de n grados de libertad, de modo que ahora el sistema incorpora las coordenadas generalizadas q = (q 1, q 2,..., q n ) y velocidades generalizadas q = (q 1, q 2,..., q n). De manera que el Lagrangiano debe satisfacer simultáneamente n ecuaciones de movimiento [2]. Éste sistema de ecuaciones resulta ser, genéricamente, un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden d dt ( ) L q j L q j = 0. (2.24) Estas ecuaciones de movimiento son obtenidas, de manera análoga al caso unidimensional, a partir del funcional de acción definido como J[q] = b a L(q j, q j, t)dt, (2.25) el cual considera ahora n parámetros (uno para cada valor del índice j) que se encuentran variando. Para el caso considerado aquí, de manera más formal [2], el principio de Hamilton se define como el vector {q} tal que hace al funcional integral (2.25) estacionario. Se puede entonces demostrar fácilmente que una condición equivalente a éste principio de Hamilton resulta ser precisamente las ecuaciones de Euler-Lagrange (2.24). De esta manera, al vector {q} se le identifica con el espacio de trayectorias para un sistema físico dado Ventajas del principio de Hamilton Avanzando en nuestro razonamiento el análisis Lagrangiano o el análisis Newtoniano es el mismo para cualquier sistema mecánico y su diferencia radica en el método que utilizan para llegar al resultado. Sin embargo, desde nuestra perspectiva, al representar los problemas de forma variacional, es decir, por medio del principio de Hamilton, obtenemos ciertas ventajas. Algunas de ellas son las siguientes. El principio de Hamilton se puede extender para aplicarlo a un rango más grande de fenómenos físicos que la teoría de Newton no puede. Las ecuaciones de Lagrange se encuentran asociadas con principios variacionales y esto las hace especiales ya que permiten ver propiedades geométricas que no son triviales de mostrar de manera directa.

20 14 CAPÍTULO 2. MECÁNICA CLÁSICA El procedimiento para resolver problemas por medio de Newton implica conocer lo que ocurre externamente del cuerpo (fuerzas) y el método de Lagrange se enfoca en cantidades asociadas con el cuerpo (energía cinética y potencial). Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son invariantes ante cambios de coordenadas. La formulación de las ecuaciones del movimiento se obtienen por medio de operaciones escalares para cada una de las coordenadas generalizadas, y no es necesario el concepto de vector en un espacio Euclideano. La formulación del principio variacional puede describirse como elegante dada su inherente naturaleza geométrica. Es fácil extender los principios variacionales para obtener otras mecánicas, tales como la mecánica relativista y la cuántica Mecánica Hamiltoniana En esta sección se mostrará la manera en que las ecuaciones de Lagrange se pueden reformular a un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden conocidas como ecuaciones de Hamilton, como una nueva alternativa para la resolución de problemas. A nivel geométrico, el método está relacionado con la resolución de ecuaciones diferenciales parciales al considerar sus ecuaciones características [16]. Tanto desde la perspectiva de la mecánica, como desde la perspectiva de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, nada nuevo es agregado a la teoría ya existente y no es superior al análisis de Lagrange cuando se trata de resolver problemas, sólo se proporciona otro método alternativo para trabajar con los principios físicos y/o geométricos ya establecidos. Lo que hace especial al Hamiltoniano es su formulación elegante que da la base para extender la teoría en diversas áreas de la física. En la mecánica clásica forma parte fundamental para futuros descubrimientos cómo la teoría del caos y de Hamilton-Jacobi. Fuera de la mecánica clásica la formulación de Hamilton provee la mayoría del lenguaje que construye la mecánica estadística. Además, la mecánica Hamiltoniana también sirve como base sobre la cual se construyen la mayoría de las formulaciones de la mecánica cuántica. La razón para la relevancia de la mecánica Hamiltoniana está directamente asociada a la posibilidad de incorporar una estructura algebraica, el bracket de Poisson. Este bracket, como veremos abajo, resulta ser un bracket de Lie, y por lo tanto no sólo dicta la dinámica de un sistema físico dado, sino además está relacionado directamente con cantidades conservadas Formulación Hamiltoniana Para este nuevo formalismo se incluye un nuevo concepto que es el momento generalizado. Este momento generaliza el concepto Newtoniano de momento o cantidad de movimiento, y en el contexto Hamiltoniano será usado como una nueva variable. El momento generalizado

21 2.3. MECÁNICA HAMILTONIANA 15 entonces se define en términos de las derivadas con respecto de las velocidades de la función Lagrangiana p := L q, (2.26) el cual se debe considerar para ser la nueva variable. Esto es algo que se puede tomar como ventaja pues al considerar los momentos arriba definidos vemos fácilmente que las ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma p = L q. (2.27) El inconveniente que se presenta es que L/ q es una función de q, q y en algunos casos t, que debe de ser transformada a una función de (q, p, t). En este cambio se requiere la ecuación (2.26) para poder expresar a q como una función de (q, p, t). Lo que se tiene que realizar es eliminar q remplazandolo por una función que dependa en las coordenadas generalizadas q y sus momentos asociados p. De esta forma, cualquier función que tenga una dependencia explícita en las velocidades deberá ser escrita en términos del nuevo conjunto de variables (q, p). En la práctica, este procedimiento de representar a una función en término de coordenadas y momentos se obtiene mediante la llamada transformada de Legendre que describiremos a continuación. Es importante entonces mencionar que la función que corresponde al Lagrangiano mediante una transformación de Legendre será llamado el Hamiltoniano del sistema Transformada de Legendre Se quiere encontrar una función en el espacio fase que determine únicamente la evolución de las coordenadas y los momentos generalizados. En este sentido, requerimos una función de q y p, la cual debe contener la misma información del Lagrangiano L(q, q, t), pues justo el Lagrangiano es la función que determina la dinámica de un sistema a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (2.24). Como mencionamos antes, existe una forma matemática que hace posible realizar lo anterior, llamada transformación de Legendre. En el caso general, para empezar se considera una función arbitraria f(x, y), de modo que su derivada total es df = f f dx + dy. (2.28) x y Después continuamos definiendo una función g(x, y, u) = ux f(x, y). Mediante una definición apropiada de la variable u, se puede demostrar directamente que la función obtenida mediante ésta transformación g sólo depende de las variables y y u, como veremos a continuación. Para esto, si de igual modo realizamos su derivada total, tenemos dg = d(ux) df = udx + xdu ( ) f f dx + x y dy. (2.29)

22 16 CAPÍTULO 2. MECÁNICA CLÁSICA En este punto u es una variable independiente, sin embargo, supongamos que escogemos a u para ser una función de x y y, definida como u(x, y) = f x, (2.30) entonces el término en que acompaña a al diferencial de x de la ecuación (2.29) se cancela, reduciendo entonces el diferencial de g a dg = xdu f dy, (2.31) y lo cual demuestra que g efectivamente resulta ser una función de que sólo depende de las variables u y y, es decir g = g(u, y), eliminando así la variable x. Si se quiere expresar explicitamente a g(u, y) se debe invertir (2.31) para obtener x = x(u, y) y después incorporarlo en la definición de g, tal que g(u, y) = ux(u, y) f(x(u, y), y). (2.32) En consecuencia tenemos que la ecuación (2.32) es la transformada de Legendre. Esta toma una función f(x, y) a una diferente función g(u, y) con u = f/ x, sin llegar a perder ninguna información. De la misma manera se puede regresar a la forma inicial f(x, y) de la nueva función g(u, y) teniendo en cuenta las relaciones g = x(u, y), u y g = df y u dy, (2.33) las cuales aseguran que la inversa de la transformada de Legendre es precisamente la función original f = ( g/ u)u g. Entonces el problema de convertir las ecuaciones de Lagrange en la forma de Hamilton radica en la función Lagrangiana y el poder garantizar la inversión que definen al momento generalizado p dado por (2.26). De esta forma, definimos al Hamiltoniano mediante la transformación de Legendre H(q, p) := pq L(q, q ), (2.34) en donde la variable q debe ser pensada como función invertible en términos de los momentos y coordenadas generalizadas, tal y como en el caso genérico (2.32) Las ecuaciones de Hamilton La idea general del Hamiltoniano definido en (2.34) es reemplazar q y q a una base con respecto a la cual las ecuaciones de movimiento resulten ser simétricas. Esto está relacionado en el contexto de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales con el sistema de ecuaciones características que definen a una ecuación diferencial parcial de segundo orden [16]. Como

23 2.3. MECÁNICA HAMILTONIANA 17 veremos, en nuestro caso, las ecuaciones de Euler-Lagrange resultan equivalentes a un conjunto de 2n ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, asociadas a las ecuaciones características de la ecuación de movimiento vista desde la perspectiva de las coordenadas y los momentos. El primer paso para construir el Hamiltoniano es eliminar las velocidades q del Lagrangiano remplazándolas por el momento p. Para hacerlo posible se utiliza la transformada de Legendre que vimos anteriormente. Teniendo en cuenta (2.34), nos damos cuenta que el Hamiltoniano es una función de (q, p, t), es decir H = H(q, p, t) mientras que el Lagrangiano es una función de (q, q, t), es decir L = L(q, q, t). Siendo así, al considerar el diferencial total del Hamiltoniano H tenemos dh = ( ) H H dq + q p dp + H dt, (2.35) t o bien, en términos de la transformación de Legendre (2.34) tenemos también ( dh = qdp + pdp L ) L dq q q dq L dt. (2.36) t Al juntar las ecuaciones (2.35) y (2.36), se tiene que el segundo y el cuarto término que se encuentran en el paréntesis de la ecuación (2.36) se cancelan y al pasar todos los términos restantes a cualquier lado de la igualdad nos queda dq ( H q + L ) q + dp ( ) L p q + dt ( H t + L ) = 0. (2.37) t Asumiendo que las variables q y p son linealmente independientes, al resolver obtenemos el sistema de ecuaciones H q H p H t = p, = q, = L t, (2.38) en donde para obtener la identidad en la primera línea hemos utilizado explícitamente las ecuaciones de Euler-Lagrange en su forma (2.27), y por ende, las relaciones (2.38) resultan ser totalmente equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Al conjunto de ecuaciones (2.38) se les llama ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canónicas de movimiento, por su apariencia simétrica. Siendo así, a la descripción de un sistema físico obtenida mediante el Hamiltoniano (2.34) y sus respectivas ecuaciones de movimiento se le llama dinámica de Hamilton. Cuando se trata de encontrar la solución de un problema no existe relevancia alguna de convertir las ecuaciones de diferenciales parciales de segundo orden de Euler-Lagrange a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden de Hamilton puesto que, como se argumentó anteriormente, ambos sistemas de ecuaciones resultan equivalentes. Desde

24 18 CAPÍTULO 2. MECÁNICA CLÁSICA esta perspectiva, pudiera pensarse que las ecuaciones de Hamilton, al ser de primer orden resulten más fácil de resolver pero, sin embargo, hay que considerar que el sistema de ecuaciones Hamilton resulta ser el doble de ecuaciones que las de Euler-Lagrange. No obstante, la parte relevante radica en la estructura de la teoría general, cuando las ecuaciones de Euler- Lagrange son expresadas en forma de Hamilton el resultado es un sistema que, como veremos a continuación, está relacionado con una estructura algebraica conocida como el bracket de Poisson, el cual tiene relación con las simetrías y cantidades conservadas para un problema físico o geométrico dado, redundando en una gran simplicidad y elegancia que son la base para descubrimientos en mecánica El bracket de Poisson El sistema de Hamilton está representado geométricamente por el movimiento de un punto en el espacio fase del Hamiltoniano. El espacio fase del Hamiltoniano es un espacio real de 2n dimensiones en donde un punto está descrito por el conjunto de parámetros {q 1, q 2,..., p 1, p 2,..., p n } o, en notación corta simplemente por las variables independientes {q, p}. Al tener conocimiento del estado del sistema en cada momento, es posible asignar un valor a cada función u(q, p, t) dependiente de los puntos del espacio fase {q, p}. La variación de la función u(q, p, t) con respecto al tiempo, es decir, su evolución temporal está dada por du dt = u t + u q q + u p p. (2.39) De aquí se puede ver que incorporando las ecuaciones canónicas de Hamilton (2.38) podemos reescribir la evolución temporal de la función u (2.39) como du dt = u ( u t + H q p u ) H. (2.40) p q El último término de la identidad (2.40) nos permite proponer como base para definir el bracket de Poisson de dos funciones arbitrarias definidas en el espacio fase u(q, pt) y v(q, p, t) como [u, v] := ( u v q p u p ) v q (2.41) y, por lo tanto, podemos reescribir la evolución temporal de la función u (2.40) en términos del bracket de Poisson por medio de du dt = u t + [u, H]. (2.42) Esto es muy relevante no sólo desde la perspectiva física sino también desde la perspectiva geométrica puesto que da una interpretación directa a la función Hamiltoniana: El Hamiltoniano H sirve para evolucionar temporalmente una función arbitraria u bajo la operación del bracket de Poisson. Como veremos a continuación, el bracket de Poisson resulta tener ciertas propiedades que lo caracterizan como un bracket de Lie, y por lo tanto, además de estar asociado a la evolución temporal, también se encarga de las simetrías y cantidades conservadas para un sistema físico dado.