Economía Matemática. Martín Brun - Diego Fernández - Mijail Yapor. Agosto - Diciembre, 2016

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1 Martín Brun - Diego Fernández - Facultad de Ciencias Económicas y de Administración - UdelaR Agosto - Diciembre, 2016

2 Índice 1 Introducción 2 Conceptos introductorios Tasa de cambio y derivada Diferenciabilidad de una función Diferenciación parcial Determinantes Jacobianos 3 Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas 4 Análisis estático comparativo de modelos con funciones generales Comentarios iniciales Diferenciales Derivadas totales Funciones Implícitas Regla de Cramer Ejercicios

3 Naturaleza del análisis estático comparativo La estática comparativa realiza una comparación de distintos estados de equilibrio relacionados con diferentes conjuntos de parámetros y variables exógenas. Este tipo de análisis aún no toma en cuenta el proceso de ajuste de las variables: solamente se compara el equilibrio inicial (pre-cambio) con el estado de equilibrio nal (post-cambio). también se excluye la posibilidad de que el nuevo equilibrio sea inestable. Naturaleza de análisis: cualitativo o cuantitativo Análisis cualitativo: explicita dirección del cambio. Análisis cuantitativo: analiza magnitud del cambio.

4 Objetivos del análisis El problema consiste en hallar una tasa de cambio: la tasa de cambio del valor de equilibrio de una variable endógena respecto al cambio en una parámetro particular o variable exógena. El concepto matemático de derivada adquiere una importancia fundamental pues, a través del cálculo diferencial, se relaciona directamente con el concepto tasa de cambio.

5 Tasa de cambio y derivada Caso general: Consideramos la tasa de cambio de una variable y como respuesta a un cambio en otra variable x, donde las dos variables se relacionan mediante la siguiente función: y = f (x) (1) Cociente de diferencias: Cuando x varía de un valor inicial x 0 a un nuevo valor x 0 + x, el valor de la función cambia de f (x 0 ) a f (x 0 + x): y x = f (x 0 + x) x Este cociente de diferencias mide el cambio en y por unidad de cambio en x. (2)

6 Tasa de cambio y derivada (cont.) Puede interesarnos la tasa de cambio de y cuando x es muy pequeña. En tal caso, es posible obtener una aproximación de y/ x eliminando los términos del cociente de diferencias en los que interviene la expresión x y lm x 0 x = lm f (x 0 + x) = dy x 0 x dx = f (x) (3)

7 Diferenciabilidad de una función Tomando el límite de la función y = f (x) se puede examinar si la función es continua en x = x 0. Las condiciones para la continuidad de una función son: 1 x = x 0 debe estar en el dominio de la función f. 2 y debe tener un límite cuando x x 0. 3 dicho límite debe ser igual a f (x 0 ). Cuando estas tres condiciones se satisfacen se puede escribir: lm f (x) = f (x 0 ) (4) x x 0 Por lo tanto, si se aplica el concepto de límite al cociente de diferencias y x cuando x 0, tratamos con la pregunda de si y = f (x) es diferenciable en x = x 0, es decir, si la derivada dy dx existe en x = x 0.

8 Diferenciación parcial: derivadas parciales Consideremos una función: f (x) = f (x 1, x 2,..., x n ) (5) Las variables x i, con i = 1,..., n, son todas independientes entre sí, de modo que cada una puede variar por sí misma sin afectar a las otras: y = f (x 1 + x 1, x 2,..., x n ) (6) x 1 x 1 Denimos la derivada parcial de y con respecto a x 1 como: Se dene al vector gradiente como: f i = y y = lm (7) x i x i 0 x i grad.f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1, x 2,..., x n ) = (f 1, f 2,..., f n ) (8)

9 Determinantes Jacobianos Las derivadas parciales también proporcionan un medio para probar si existe dependencia funcional (lineal o no lineal) entre un conjunto de n funciones en n variables. Si se tienen n funciones diferenciables en n variables, no necesariamente lineales: y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ) (9) y n = f n (x 1, x 2,..., x n )

10 Determinantes Jacobianos (cont.) Si fj i = y i /x j, se puede escribir el determinante jacobiano como: J = (y 1, y 2,..., y n ) y 1 / x 1 y 1 / x n =. (x 1, x 2,..., x n ) = y n / x 1 y n / x n (10) f 1 1 f 1 n = f n 1 fn n Entonces, el determinante jacobiano J será igual a cero para todos los valores de (x 1, x 2,..., x n ), si y solo si las n funciones (f 1, f 2,..., f n ) son dependientes desde el punto de vista funcional.

11 Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas Ejemplo 1.- Modelo simple de mercado de un solo bien: { Q(P) = a bp (a, b > 0) Q(P) = c + dp (c, d > 0) (11) - Soluciones de forma reducida: las dos variables endógenas han sido reducidas a expresiones explícitas de los cuatros parámetros: Q = ad bc b+d - Derivadas estático-comparativas: P a = P c = 1 b + d > 0 P = a+c b+d (12) P b = P 0(b + d) 1(a + c) (a + c) = = d (b + d) 2 (b + d) < 2 0

12 Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas (cont.) Ejemplo 2.- Modelo de ingreso nacional: Y (C) = C + I 0 + G 0 C(Y, T ) = α + β(y T ) (α > 0, 0 < β < 1) T (Y ) = γ + δy (γ > 0, 0 < δ < 1) (13) - Sustituyendo y despejando para Y, el ingreso de equilibrio es: Y = α βγ + I 0 + G 0 1 β + βδ - Derivadas estático-comparativas: Y 1 = G 0 1 β + βδ > 0 Y δ = β(α βγ + I 0 + G 0 ) (1 β + βδ) 2 = βy 1 β + βδ < 0 (14)

13 Análisis estático comparativo de modelos con funciones generales En los casos en que a partir del estudio de las derivadas parciales, la solución de equilibrio de los modelos podemos expresarlas en forma reducida, la diferenciación parcial de la solución producirá de modo directo la información estática comparativa deseada. Dado que la denición de derivada parcial requiere la ausencia de cualquier relación funcional entre las variables independientes, los parámetros y/o variables exógenas que surgen de la solución de la forma reducida deben ser mutuamente independientes. Por otro lado, a partir de la inclusión de funciones generales en un modelo no es posible obtener una solución explicita en forma reducida. En estos casos, se deben hallar las derivadas estáticas comparativas directamente de las ecuaciones generales del modelo.

14 Ejemplo de función general Modelo de ingreso nacional con dos variables endógenas (Y,C): { Y = C + I 0 + G 0 (15) C = C(Y, T 0 ) El cual se puede reducir a una única ecuación (condición de equilibrio): Y = C(Y, T 0 ) + I 0 + G 0 (16) Dada la forma general de la función Y, no es posible obtener ninguna solución explícita. Por lo tanto, se deben hallar las derivadas estáticas comparativas directamente de esta ecuación.

15 Ejemplo de función general (cont.) Supongamos que existe una solución de equilibrio Y, entonces bajo condiciones generales, se puede tomar a Y como una función diferenciable de las variables exógenas T 0, I 0, G 0. Y = Y (I 0, G 0, T 0 ) (17) En alguna vecindad del equilibrio Y, se cumplirá la siguiente identidad (identidad de equilibrio): Y = C(Y, T 0 ) + I 0 + G 0 (18) Los dos argumentos de la función de consumo C no son independientes. La diferenciación parcial no resulta adecuada para realizar ejercicios de estática comparativa. Se debe recurrir al concepto de diferencial total.

16 Diferenciales: diferenciales y derivadas Por denición, la derivada dy/dx = f (x) es lm x 0 y x. Por lo tanto se puede escribir: y x dy dx Despejando y : = δ donde δ 0 cuando x 0 (19) y = dy dx x + δ x ó y = f (x) x + δ x (20) Esta última ecuación describe el cambio en y (i.e. y ) como resultado de un cambio especíco -no necesariamente pequeño- en x (i.e. x), a partir de algún valor inicial de x en el dominio de la función y = f (x).

17 Diferenciales: diferenciales y derivadas (cont.) La ecuación anterior también indica que, ignorando el término δ x, se puede usar el término f (x) x como una aproximación al verdadero valor y, donde la aproximación es cada vez mejor a medida que y se hace cada vez más peque«o. Entonces: dy = f (x)dx (21) La derivada f (x) puede interpretarse como el factor de proporcionalidad entre cambios nitos dy y dx: dado un cambio especíco dx, se multiplica por el factor f (x) para obtener dy como una aproximación a y cuando más peque«o sea x, mejor es la aproximación. a las cantidades dy y dx se las denomina diferenciales. Observar que: dy es función de x y dx. si dx = 0, entonces dy = 0. el diferencial dy sólo se puede expresar en términos de algún otro diferencial (por ejemplo dx)

18 Diferenciales totales Consideremos el caso más general de una función de n variables independientes, mediante una función de utilidad en la forma general: El diferencial total se dene como: U = U(x 1, x 2,..., x n ) (22) du = U x 1 dx 1 + U x 2 dx U x n dx n = (23) U 1 dx 1 + U 2 dx U n dx n = n U i dx i Cada término de la derecha indica el cambio aproximado en U, que resulta de un cambio en una de las variables independientes. i=1

19 Diferenciales totales: Ejemplo Desde el punto de vista económico, cada término U i dx i es la utilidad marginal del bien i multiplicada por el incremento en el consumo del mismo. La suma de todos los términos, du, representa el cambio aproximado total de la utilidad proveniente de todas las fuentes posibles de cambio. Medidas de elasticidad parcial para una función de utilidad: U = U(x 1, x 2,..., x n ) (24) En este caso cada medida de elasticidad se debe denir sólo en términos del cambio en una de las variables independientes, por lo tanto existirán n medidas de elasticidad para la función de utilidad. Estas se denominan elasticidades parciales: ɛ Uxi = U x i x i U i = 1, 2,..., n (25)

20 Diferenciales totales: Reglas de diferenciales - Regla I: dk = 0 con k R - Regla II: d(cu n ) = cnu n 1 du - Regla III: d(u ± v) = du ± dv - Regla IV: d(uv) = vdu + udv - Regla V: d( u v ) = 1 (vdu udv) v 2 - Regla VI: d(u ± v ± w) = du ± dv ± dw - Regla VII: d(uvw) = vwdu + uwdv + +uvdw

21 Derivadas totales Retomando el ejemplo para una función general en el caso del modelo de ingreso nacional, donde teníamos que: Y = C(Y, T 0 ) + I 0 + G 0 (26) Nos preguntamos: ¾cómo podemos hallar la tasa de cambio de la función C(Y, T 0 ) respecto a T 0 cuando Y y T 0 están relacionadas? - la respuesta se basa en el concepto de derivada total - a diferencia de una derivada parcial, una derivada total no requiere que el argumento Y permanezca constante cuando T 0 varía.

22 Derivadas totales: Efectos directos e indirectos Consideremos la siguiente situación: y = f (x, w) x = g(w) (27) Entonces: y = f (g(w), w) (28) Las tres variables y, x, w se relacionan: - indirectamente: vía las funciones g y f - directamente: vía f El efecto directo se puede representar simplemente por la derivada parcial f w dx El efecto indirecto es: f x dw = y dx x dw La derivada total es la suma de ambos efectos: dy dw = f dx x dw + f w = y dx x dw + y w (29)

23 Derivadas totales: Efectos directos e indirectos (cont.) Alternativamente, la derivada total se puede obtener diferenciando totalmente la función y = f (x, w) y luego dividir por dw : dy = f x d x + f w dw dy dw = f dx x dw + f w (30) Consideremos ahora la siguiente función: { x 1 = g(w) y = f (x 1, x 2, w) donde (31) x 2 = h(w) La variable w puede afecatar a y por tres canales: 1 Indirectamente vía la función g y luego f. 2 Indirectamente vía la función h y luego f. 3 Directamente vía la función f. dy dw = y dx 1 x 1 dw + y dx 2 x 2 dw + y w = f dx 1 1 dw + f dx 2 2 dw + f w (32)

24 Derivadas totales: Efectos directos e indirectos (cont.) Consideremos ahora una función del tipo: { x 1 = g(u, v) y = f (x 1, x 2, u, v) donde x 2 = h(u, v) (33) La derivada total respecto de u es: dy du = y dx 1 x 1 du + y dx 2 x 2 du + y du u du + y dv v du (34) Y como u y v son independientes: dv du = 0. Por lo que: dy du = y dx 1 x 1 du + y dx 2 x 2 du + y u = f dx 1 1 du + f dx 2 2 du + y u (35)

25 Funciones Implícitas Una función dada de la forma y = f (x) se denomina función explícita, porque la variable y se expresa explícitamente como una función de x. Sin embargo, cuando tenemos una función F (y, x) = 0, esta función está denida en forma implícita: - Cuando sólo tenemos una ecuación en la cual la función y = f (x) está implicada, y cuya forma especica no siempre es posible conocer, se denomina función implícita. - Mientras que una función explícita siempre se puede transformar en una función implícita, la transformación inversa no siempre es posible.

26 Teorema de la Función Implícita Teorema Dada F (y, x 1, x 2,..., x m ) = 0, si: a) la función F tiene derivadas parciales F y, F x1,..., F xm continuas b) en un punto (y 0, x 10, x 20,..., x m0 ) que satisface F (y 0, x 10, x 20,..., x m0 ) = 0, la derivada F y 0 Entonces, existe una vecindad N, m-dimensional alrededor de (x 10, x 20,..., x m0 ), en la cual y es una función denida implícitamente de las variables x 1, x 2,..., x m en la forma y = f (x 1, x 2,..., x m ) Además, la función implícita f es continua y tiene derivadas parciales continuas.

27 Derivadas de Funciones Implícitas Si de la ecuación F (y, x 1, x 2,..., x m ) = 0 es posible despejar y, podemos escribir la función y = f (x 1, x 2,..., x m ) en forma explícita y hallar sus derivadas. Pero ¾qué pasa si la ecuación F (y, x 1, x 2,..., x m ) = 0 no se puede resolver para y en forma explícita?: - Si sabemos que existe una función en los términos de la función implícita, aún es posible obtener las derivadas deseadas sin tener que resolver primero para y. - Para lograrlo se utiliza la regla de la función implícita, que permite obtener las derivadas de toda función implícita denida por la ecuación dada para F.

28 Regla de la función implícita Para el desarrollo de esta regla se requiere de las siguientes condiciones: 1 Si dos expresiones son idénticamente iguales, sus diferenciales totales deben ser iguales. 2 La diferenciación de una expresión que tiene que ver con las variables y, x 1, x 2,..., x m, producirá una expresión en la que intervienen los diferenciales dy, dx 1, dx 2,..., dx m 3 El diferencial dy se puede sustituir por cierta expresión conocida, por lo cual no importa el hecho de que no se pueda expresar la variable y de forma explícita.

29 Regla de la función implícita (cont.) Al aplicar los anteriores hechos a la ecuación F (y, x 1, x 2,..., x m ) = 0, podemos escribir: df = d0 = 0 F y dy +F 1 dx 1 +F 2 dx F m dx m = 0 (36) Puesto que la función implícita tiene diferencial total dy = f 1 dx 1 + f 2 dx f m dx m, sustituyendo en la ecuación anterior: F y (f 1 dx 1 +f 2 dx f m dx m )+F 1 dx 1 +F 2 dx F m dx m = 0 (37) Factorizando para cada diferencial se tiene que: (F y f 1 + F 1 )dx 1 + (F y f 2 + F 2 )dx (F y f m + F m )dx m = 0 (38)

30 Regla de la función implícita (cont.) Para que se cumpla la anterior expresión, cada expresión entre paréntesis se debe anular: F y f i + F i = 0 i = 1,..., m (39) Despejando para f i obtenemos la regla de la función implícita para hallar la derivada parcial f i de la función implícita y = f (x 1, x 2,..., x m ): f i = y x i = F i F y i = 1,..., m (40)

31 Funciones Implícitas: extensión al caso de ecuaciones simultáneas Tratamos una versión más general del teorema de la función implícita, en donde un conjunto de ecuaciones simultáneas: F 1 (y 1,..., y n ; x 1,..., x m ) = 0 F 2 (y 1,..., y n ; x 1,..., x m ) = 0 (41) F n (y 1,..., y n ; x 1,..., x m ) = 0 Dene el conjunto de funciones implícitas: y 1 = f 1 (x 1,..., x m ) y 2 = f 2 (x 1,..., x m ) y n = f n (x 1,..., x m ) (42)

32 Teorema de la Función Implícita: el caso de ecuaciones simultáneas Teorema Dado el sistema de ecuaciones denido en (41), si: 1 Todas las funciones F 1, F 2,..., F n tienen derivadas parciales continuas respecto a todas las variables, 2 en un punto (y 10,..., y n0 ; x 10,..., x m0 ) que satisface el sistema de ecuaciones, se cumple: F 1 F (F 1, F 2,..., F n ) y 1 1 y n J = (y 1,..., y n ) = (43) F n F y 1 n y n

33 Teorema (cont.) Entonces existe una vecindad m-dimensional de x 10,..., x m0, en la cual las variables y 1,..., y n son funciones de las variables x 1,..., x m. Estas funciones implícitas satisfacen: y 10 = f 1 (x 10,..., x m0 ) y 20 = f 2 (x 10,..., x m0 ) y n0 = f n (x 10,..., x m0 ) Además, las funciones implícitas f 1,..., f n son continuas y tienen derivadas parciales continuas. (44)

34 Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas Se pueden hallar las derivadas parciales de las funciones implícitas directamente de las n ecuaciones F i = 0, sin tener que despejar la y variables. Diferenciando totalmente y pasando a la derecha los términos dx: Fy 1 1 dy Fy 1 n dy n = (Fx 1 1 dx Fx 1 m dx m ) Fy 2 1 dy Fy 2 n dy n = (Fx 2 1 dx Fx 2 m dx m ) Fy n 1 dy Fy n n dy n = (Fx n 1 dx Fx n m dx m ) (45) Además, se pueden escribir los diferenciales de las y i como: dy 1 = y 1 x 1 dx y 1 x m x m ) dy 2 = y 2 x 1 dx y 2 x m x m ) (46) dy n = yn x 1 dx yn x m x m )

35 Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas (cont.) Sustituyendo los últimos diferenciales en los primeros, pero analizando el caso en que sólo cambia x 1, manteniendo constantes las demás variables x 2,..., x m. Es decir, considerando que dx 1 0 y dx 2 =... = dx m = 0, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: F 1 y 1 y 1 x F 1 y n y n x 1 = Fx 1 1 Fy 2 y 1 1 x Fy 2 y n n x 1 = Fx 2 1 (47) F n y 1 y 1 x F n y n y n x 1 = F n x 1 Las derivadas parciales y i / x 1 son las variables a determinar. Mientras que las derivadas parciales F j yi tomarán un valor especíco cuando se las evalúa en el punto (y 10,..., y n0 ; x 10,..., x m0 ). Por tanto, son valores de derivadas y se pueden tratar como constantes.

36 Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas (cont.) El sistema puede considerarse como uno lineal, el cual ha surgido en el proceso de análisis de un problema no necesariamente lineal (no existen restricciones de linealidad en el sistema original). En términos matriciales: Fy 1 1 Fy Fy 1 y 1 n x 1 Fx 1 y 2 1 Fy 2 1 Fy Fy 2 n Fy n 1 Fy n 2... Fy n n x 1. y n x 1 = Fx 2 1. Fx n 1 (48) El determinante de la matriz de coecientes es el determinante jacobiano, J, el cual es 0 en las condiciones del teorema de la función implícita. Y dado que el sistema no debe ser homogéneo, es posible armar que existe una solución trivial no única.

37 Regla de Cramer Es un teorema en álgebra lineal que brinda una solución a un sistema lineal de ecuaciones en términos de sus determinantes. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones: Ax = b (49) Donde: - A es la matriz de coecientes del sistema, - (x 1,..., x n ) es un vector columna de incógnitas, - b es un vector columna de términos independientes. La solución al sistema es: x j = det (A j) det (A) En donde A j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b de términos independientes. (50)

38 Ejercicio 7 - Práctica 2: Modelo de Ingreso Nacional IS-LM Mercado de Bienes: Y = C + I + G C = C(Y T ) G = G 0 I = I (r) T = T (Y ) (51) Donde 0 < C (Y d ) < 1, I (r) < 0, 0 < T (Y ) < 1 y G = G 0 exógena.

39 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) Curva IS: Y = C(Y T (Y )) + I (r) + G 0 (52) Esta ecuación dene implícitamente la curva IS. Las variables endógenas son Y y r, mientras que G 0 es variable exógena. Pendiente de la curva IS: Y = C(Y T (Y ))+I (r)+g 0 Y C(Y T (Y )) I (r) G 0 = 0 dy C (Y T (Y )) (Y T (Y )) dy I (r)dr = 0 Y dy C (Y T (Y )) [ 1 T (Y ) ] dy I (r)dr = 0 dr dy = 1 C (Y T (Y )) [1 T (Y )] I < 0 (53) (r)

40 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) Mercado de Dinero: M d = L(Y, r) M s = M s 0 M s = M d (54) Donde L Y > 0 y L r < 0, M s está dada. Identidad de equilibrio en el mercado de dinero - Curva LM: Pendiente de la curva LM: M d = L(Y, r) = M s 0 = M s (55) dl(y, r) = L Y dy + L r dr = dm s 0 = 0 dr dy = L Y L r > 0 (56)

41 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) El equilibrio simultáneo en ambos mercados se puede describir mediante el siguiente sistema de ecuaciones: { Y = C(Y T (Y )) + I (r) + G 0 L(Y, r) = M s 0 { F 1 (Y, r, G 0, M 0 ) = Y C(Y T (Y )) I (r) G 0 = 0 F 2 (Y, r, G 0, M 0 ) = L(Y, r) M s = 0 0 (57) Donde Y y r son las variables endógenas y G 0, M s 0 las variables exógenas. Diferenciando totalmente el sistema (respecto tanto de las { variables endógenas como exógenas): dy C (Y T (Y )) [1 T (Y )] dy I (r)dr = dg 0 L Y dy + L r dr = dm s (58) 0

42 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) Matricialmente: [ 1 C (Y T (Y )) [1 T (Y )] I ] [ ] [ ] (r) dy dg0 = L Y L r dr dm s 0 (59) cuyo determinante jacobiano es: J = 1 C (Y T (Y )) [1 T (Y )] L Y I (r) =... L r... = [ 1 C (Y T (Y )) [ 1 T (Y ) ] ] L r +L Y I (r) < 0 (60)

43 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) Dado que J 0, este sistema satisface las condiciones del teorema de la función implícita y es posible escribir las funciones implícitas: { Y = Y (G 0, M s 0 ) r = r (G 0, M s 0 ) (61) Aunque el sistema no se puede resolver de forma explícita para Y, r, se pueden llevar a cabo ejercicios de estática comparativa para determinar los efectos de un cambio de una de las variables exógenas G 0, M s 0 en los valores de equilibrio.

44 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) Consideremos ahora las derivadas parciales Y / G 0, r / G 0 que se deducen al aplicar el teorema de la función implícita al sistema de ecuaciones diferenciales denido en (59). Si primero establecemos, por ejemplo, que dm s 0 = 0 y dividimos ambos lados por dg 0 : [ 1 C (Y T (Y )) [1 T (Y )] I ] [ ] dy (r) = L Y L r dg 0 dr dg 0 [ ] 1 0 (62)

45 Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.) Por la regla de Cramer se llega a: dr dg 0 = dy 1 I (r) 0 L r = = L r dg 0 J J > 0 (63) 1 C ( ) [1 T (Y )] I (r) L Y 0 = L Y > 0 (64) J J

46 Ejercicio 8 - Práctica 2: Modelo IS-LM con economía abierta A las dos identidades de equilibrio anteriores para el mercado de bienes y de dinero, se incorpora una ecuación que reeja el vínculo de la economía doméstica con el resto del mundo. Exportaciones netas: sean X las exportaciones, M las importaciones y E el tipo de cambio nominal. X = X (E) X (E) > 0 M = M(Y, E) M Y > 0, M E < 0 (65) Flujos de capital: Sea K el ujo neto de capitales hacia la economía doméstica, función de la tasa de interés nacional, r, y la tasa de interés internacional, r w. K = K(r, r w ) K w > 0, K rw < 0 (66)

47 Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.) Balanza de Pagos: suma de la cuenta corriente y la cuenta capital: BP = [X (E) M(Y, E)] + K(r, r w ) (67) Si suponemos un régimen de tipo de cambio exible, el mismo se ajusta para mantener la BP en equilibrio (BP = 0). En este marco, la oferta de moneda extranjera es igual a su demanda en la economía doméstica. Equilibrio en economía abierta: tres condiciones 1) demanda agregada igual a oferta agregada: Y = C(Y T (Y )) + I (r) + G 0 + X (E) M(Y, E) 2) demanda de dinero igual a oferta de dinero: L(Y, r) = M s 0 3) balanza de pagos igual a 0: BP = X (E) M(Y, E) + K(r, r w ) = 0 las variables endógenas son Y, r, E y las variables exógenas G 0, M s 0, r w

48 Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.) Expresando las tres ecuaciones anteriores como identidades de equilibrio: F 1 = 0, F 2 = 0, F 3 = 0: Y C(Y T (Y )) I (r) + G 0 X (E) + M(Y, E) = 0 L(Y, r) M s = 0 0 X (E) M(Y, E) + K(r, r w ) = 0 Diferenciando totalmente y escribiendo el resultado en forma matricial: 1 C Y.(1 T Y ) + M Y I r M E X E dy dg 0 L Y L r 0 dr = dm s 0 M Y K r X E M E de K rw dr w

49 Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.) Analizando el jacobiano: 1 C Y.(1 T Y ) + M Y I r M E X E J = L Y L r 0 M Y K r X E M E J = (1 C Y.(1 T Y ) + M Y )L r (X E M E ) + (M E X E )L Y K r M Y L r (M E X [ E ) + (X E M E )L Y I r ] J = (M E X E ) L Y (K r I r ) + L r (C Y.(1 T Y ) 1) < 0 Y por tanto, por el teorema de la función implícita, se puede escribir: Y = Y (G 0, M s, r 0 w ) r = r (G 0, M s, r 0 w ) E = E (G 0, M s, r 0 w )

50 Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.) Consideremos el impacto de un cambio en la tasa de interés internacional (r w ) sobre los valores de equilibrio para Y, r, E. Se toman por tanto dg 0 = M s 0 = 0 y se dividen ambos lados del sistema de ecuaciones por dr w 1 C Y.(1 T Y ) + M Y I r M E X E L Y L r 0 M Y K r X E M E dy dr w dr dr w de dr w = 0 0 K rw

51 Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.) Aplicando la regla de Cramer se tiene que: dy dr w = 0 I r M E X E 0 L r 0 K rw K r X E M E J = ( K r L r (M E X E )) J > 0 dr dr w = 1 C Y.(1 T Y ) + M Y 0 M E X E L Y 0 0 M Y K rw X E M E J = K r w L Y (M E X E ) J { } de = J K 3 rw [1 C Y.(1 T Y ) + M Y ]L r + L Y I r = > 0 dr w J J > 0