Contenido. 4. Gases ideales cuánticos. 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 1/77 77

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1 Contenido 4. Gases ideales cuánticos 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 1/77 77

2 Contenido: Tema 4 4. Gases ideales cuánticos 4.1 Sistemas cuánticos ideales 4.2 Gas de Bose-Einstein 4.3 Gas de Fermi-Dirac 2 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 2/77 77

4 Sistemas cuánticos ideales Fundamentos Para sistemas cuánticos ideales y no-interactuantes el Hamiltoniano se puede describir como, N Ĥ(r 1... r N, p 1... p N ) = ĥ(r i, p i ), i=1 con lo cual hemos obtenido una función de partición canónica, Z(T, V, N) = Tr(e βĥ), = 1 N! k 1...k N S,A k 1... k N e βĥ k 1... k N S,A, y dependiendo del tipo de base de expansión, es la estadística que se obtiene: Maxwell-Botlzmann: usando un producto de estados. 1 Bose-Einstein: aplicando estados simétricos. Fermi-Dirac: utilizando estados antisimétricos. 1 el factor de Gibbs 1/N! se coloca expresamente. 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 4/77 77

5 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación Ahora, consideremos la ocupación de cada estado de cada partícula para definir una nueva base de expansión, k estado de una partícula k = 1, 2,... {n 1, n 2...} números de ocupación de cada estado de una partícula, siendo, bosones: n k =, 1... N, fermiones: n k =, 1. Por tanto, podemos caracterizar al estado total del sistema como, k 1... k N S,A n 1, n 2... S,A, con lo cual es posible describir en la base de números de ocupación a nuestro sistema, Ĥ n 1, n 2... S,A = E n 1, n 2... S,A E = n k ɛ k, ˆN n 1, n 2... S,A = N n 1, n 2... S,A N = 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 5/77 77 n k.

6 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación Dado que el número de ocupación también es un observable, podemos definir el operador ˆn k, ˆn k n 1, n 2... n k... S,A = n k n 1, n 2... n k... S,A, {, 1, 2... bosones, siendo n k =, 1 fermiones, donde estos estados obedecen las condiciones de ortonormalización, S,A n 1, n 2... n 1, n 2... S,A = δn 1 n 1 δ n 2 n 2... Por tanto, la matriz de densidad para el ensamble canónico es: S,A n 1, n 2... ˆρ n 1, n 2... S,A = = 1 S,A n Z(T, V, N) 1, n 2... e βĥ n 1, n 2... S,A, [ 1 Z(T, V, N) exp β n k ɛ k ]δ n 1 n 1 δ n 2 n 2..., 6 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 6/77 77

7 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación siendo la función de partición expresada como, Z(T, V, N) = {n k } exp [ β donde tenemos las siguientes consideraciones: n k ɛ k ], {nk } significa que se debe cumplir con la constricción de que N es fijo: n k = N. La sumatoria corre sobre todos los sets permitidos {n 1, n 2...} de números de ocupación cumpliendo con la condición anterior. Para los elementos diagonales de la matriz de densidad, se tiene: [ P {nk } = S,A n 1, n 2... ˆρ n 1, n 2... S,A 1 = Z(T, V, N) exp β n k ɛ k ], lo cual representa la probabilidad de encontrar el set {n 1, n 2...} en el sistema. 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 7/77 77

8 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación Para el caso del ensamble macrocanónico se tiene, S,A n 1, n 2... ˆρ n 1, n 2... S,A 1 S,A = n Θ(T, V, µ) 1, n 2... e β(ĥ µ ˆN) n 1, n 2... S,A, [ ] 1 = Θ(T, V, µ) exp β n k (ɛ k µ) δ n 1 n 1 δ n 2 n 2..., con la función de partición expresada como, Θ(T, V, µ) = [ ] exp β n k (ɛ k µ), {n k } donde no existe la restricción en la suma de los números de ocupación, ya que N es variable. Finalmente, expresando la probabilidad, P {nk } = S,A n 1, n 2... ˆρ n 1, n 2... S,A, [ ] = Θ(T, V, µ) 1 exp β n k (ɛ k µ). 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 8/77 77

9 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación: estadística de Maxwell-Boltzmann Para poder aplicar el formalismo de números de ocupación a la estadística de Maxwell-Boltzmann (MB), se debe tomar en cuenta: El set {n 1, n 2...} no determina de manera unívoca la función producto k 1... k N, ya que los n k no contienen información acerca de cual partícula ocupa cual estado. Sin embargo, todos los estados-producto compatibles con el set {n 1, n 2...} tienen la misma energía la misma probabilidad. Por lo tanto, para contabilizar el número de estados, consideramos: hay N! maneras de cambiar la numeración de las partículas, si tenemos n k part. en el estado k, entonces habrá n k! permutaciones de part. en k, que no arroja un nuevo macroestado, N! cada set {n 1, n 2...} tiene un peso = n 1!n 2!..., debido a la indistinguibilidad de las partículas. 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 9/77 77

10 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación: estadística de Maxwell-Boltzmann Utilizando la formulación anterior con el factor de peso, tenemos: Z MB (T, V, N) = 1 [ ] N! N! n 1!n 2!... exp β n k ɛ k n k = N, = 1 N! = 1 N! = 1 N! {n k } n 1 +n =N N! n 1!n 2!... ( e βɛ 1 [ ] N e βɛ 1 + e βɛ = N! [ N Z MB (T, V, 1)], ) n1 ( e βɛ 2) n2... [ ] N e βɛ k donde se ha utilizado el teorema multinomial, ( ) (x 1 + x ) m m = x k 1 1 k 1, k 2,... xk k 1 +k =m 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 1/77 77

11 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación: descripción general Para obtener una descripción general estadística para los tres esquemas (MB, BE, FD), definamos el factor de peso en cada uno de ellos, para un set de números de ocupación: g MB {n k } = 1 n 1!n 2!..., { gbe D 1 si {n k } = 1, gf {n k } = nk = 1 ó, otro valor. Con lo cual podemos expresar la función de partición canónica y macrocanónica, de manera general: Z(T, V, N) = [ ] g{nk } exp β n k ɛ k n k = N, {n k } Θ(T, V, µ) = {n k } g {nk } exp [ β n k (ɛ k µ) ], 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 11/77 77

12 Sistemas cuánticos ideales Números de ocupación: descripción general así como también se puede expresar la probabilidad de manera general para ambos ensambles, P CAN {n k } = 1 Z g {n k } exp P MACRO {n k } = 1 Θ g {n k } exp [ [ β β n k ɛ k ], n k (ɛ k µ) Las expresiones para la función de partición se pueden simplificar, pero sólo para el caso macrocanónico, ya que no se tiene la restricción de n k = N fijo, como en el ensamble canónico. Analizando para la estadística de Bose-Einstein, Θ BE (T, V, µ) = [ ] exp β n k (ɛ k µ) g {nk } = 1, {n k } = {exp [ β(ɛ 1 µ)]} n 1 {exp [ β(ɛ 2 µ)]} n 2... n 1,n 2...= 12 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 12/77 77 ].

13 Sistemas cuánticos ideales Estadística cuántica lo cual se reduce a lo siguiente, Θ BE (T, V, µ) = {exp [ β(ɛ 1 µ)]} n 1 {exp [ β(ɛ 2 µ)]} n 2... = = n 1,n 2...= n k = {exp [ β(ɛ k µ)]} n k 1 1 exp [ β(ɛ k µ)] = Para el caso de la estadística de Fermi-Dirac, Θ F D (T, V, µ) = [ ] exp β n k (ɛ k µ) {n k } = 1 n 1,n 2...= 1 1 ζe βɛ k g {nk } = 1, ζ = e βµ. {exp [ β(ɛ 1 µ)]} n 1 {exp [ β(ɛ 2 µ)]} n / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 13/77 77

14 Sistemas cuánticos ideales Estadística cuántica lo cual se puede reducir aún más: Θ F D (T, V, µ) = = = 1 n 1,n 2...= 1 n k = {exp [ β(ɛ 1 µ)]} n 1 {exp [ β(ɛ 2 µ)]} n 2... {exp [ β(ɛ k µ)]} n k {1 + exp [ β(ɛ k µ)]} = { } 1 + ζe βɛ k. Por completes expresamos también a la est. de Maxwell-Botzmann, Θ MB 1 = n 1!n 2!... {exp [ β(ɛ 1 µ)]} n 1 {exp [ β(ɛ 2 µ)]} n 2... = n 1,n 2...= n k = 1 n k! {exp [ β(ɛ k µ)]} n k = [ ] exp ζe βɛ k. 14 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 14/77 77

15 Sistemas cuánticos ideales Estadística cuántica: gran potencial Con la función de partición en la formulación cuántica, es posible obtener la descripción termodinámica mediante el gran potencial, Φ(T, V, µ) = k B T ln Θ(T, V, µ) = E T S µn = pv, por lo que tenemos para cada diferente estadística, { Φ MB [ = k B T ln exp ζe k] } βɛ = k B T ζe βɛ k, Φ BE = k B T ln Φ F D = k B T ln { { donde recordemos que ζ = e βµ. } 1 1 exp [ζe βɛ = k B T k ] [ 1 + ζe βɛ k] } = k B T ln { } ln 1 ζe βɛ k, { } 1 + ζe βɛ k, 15 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 15/77 77

16 Sistemas cuánticos ideales Estadística cuántica: gran potencial Las tres expresiones anteriores se puede condensar en una sola, ln Θ(T, V µ) = pv k B T = 1 [ ] ln 1 + aζe βɛ k, a +1 Fermi-Dirac (FD), donde: a = Maxwell-Boltzmann (MB), 1 Bose-Einstein (BE). Definiendo la exp. general para el valor esperado en el macrocanónico, [ Ô = Tr(ˆρÔ) = Tr exp { β(ĥ µ ˆN)}Ô ] [ Tr exp { β(ĥ µ ˆN)} ], = 1 g{n k } S,A n 1, n 2... exp { β(ĥ Θ µ ˆN)}Ô n 1, n 2... S,A, {n k } = 1 { } g{n k } exp β n k (ɛ k µ) O(n 1, n 2...). Θ {n k } 16 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 16/77 77

17 Sistemas cuánticos ideales Valores esperados Calculando el valor esperado del número de partículas, ˆN = 1 { } g{n k } exp β n k (ɛ k µ) N(n 1, n 2...), Θ {n k } = 1 { } g{n k } exp β n k (ɛ k µ) n k, Θ {n k } = 1 1 { µ)} g{n k } exp β n k (ɛ k Θ β µ {n k } T,V = 1 β µ ln Θ 1 = T,V ζ 1 e βɛ ζ = e βµ, k + a en donde se ha utilizado la expresión general para el gran potencial, Φ k B T = ln Θ = 1 [ ] ln 1 + ae β(ɛ k µ). a 17 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 17/77 77

18 Sistemas cuánticos ideales Valores esperados Para el caso del Hamiltoniano tenemos, Ĥ = 1 { } g Θ {nk } exp β n k (ɛ k µ) E(n 1, n 2...), {n k } = 1 { } g Θ {nk } exp β n k (ɛ k µ) n k ɛ k, {n k } = 1 { µ)} g Θ β {nk } exp β n k (ɛ k {n k } ζ,v = β ln Θ, ζ,v ɛ k = ζ 1 e βɛ ζ = e βµ, k + a en donde se ha considerado a la fugacidad ζ como constante en la derivación parcial. 18 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 18/77 77

19 Sistemas cuánticos ideales Valor esperado del número de ocupación Ĥ Analizando los resultados para ˆN y, se puede definir un operador de número de ocupación para el estado de una partícula k, ˆn k n 1, n 2... = n k n 1, n 2..., ˆN = ˆn k = ˆn k = Ĥ = ˆn k = ˆn k ɛ k = 1 ζ 1 e βɛ k + a = ˆn k ɛ k = 1 e β(ɛ k µ) + a, 1 ζ 1 e βɛ k + a, ɛ k ζ 1 e βɛ k + a, lo cual también se puede obtener de la exp. de valor esperado, ˆn k = 1 { } g Θ {nk } exp β n k (ɛ k µ) n k = 1 ln Θ β ɛ. k ζ,v,ɛi k {n k } donde ɛ i k significa que todas las demás energías se mantienen cte. 19 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 19/77 77

20 Sistemas cuánticos ideales Comportamiento del número de ocupación Analicemos el comportamiento del número de ocupación ˆn k en los diferentes ensambles, 1 ˆn k = e β(ɛk µ) + a, +1 FD, a = MB, 1 BE, x 1 ˆn k e x, por tanto, los tres esquemas dan números de ocupación idénticos. BE: x ˆn k, lo cual no tiene sentido físico, por lo que se requiere: µ < min{ɛ k }, donde µ se determina para un número de partículas dado: 1 N = e β(ɛk µ) + a. 2 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 2/77 77

21 Sistemas cuánticos ideales Comportamiento del número de ocupación Analizando ahora el comportamiento del caso FD para dif. temp. T, ˆn k = 1 e β(ɛ k µ) + 1, T = β, ˆn k ɛk >µ, ˆn k ɛk <µ 1, ocurriendo la discontinuidad en µ = ɛ F, representando a la energía del último estado ocupado. T >, más fermiones son excitados a niveles mayores en energía, modificando la distribución. 21 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 21/77 77

23 Gas de Bose-Einstein Fundamentos Recordemos que los efectos cuánticos en la estadística son observados cuando no se cumple con la siguiente condición, nλ 3 = N V λ3 = N ( h 2 ) 3/2 1, V 2πmk B T lo cual involucra, bajas densidades: N/V 1, altas temperaturas: 1/k B T 1. Por tanto, en tal caso es posible estudiar la influencia de los efectos cuánticos en gases ideales, y en particular para la estadística de Bose- Einstein, Θ(T, V, µ) = k 1 1 ζe βɛ k ζ = e βµ, Φ(T, V, µ) = k B T ln Θ(T, V, µ) = k B T k { } ln 1 ζe βɛ k, 23 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 23/77 77

24 Gas de Bose-Einstein Fundamentos En donde el potencial químico o la fugacidad se obtiene del número de partículas del sistema, N = k n k = k 1 ζ 1 e βɛ k 1 µ min {ɛ k }, si consideramos que el menor nivel de energía corresponde a ɛ k =, entonces: µ ζ 1. Para analizar el efecto del rango de valores permitidos para el potencial químico, observemos la expresión de N, N = 1 ζ 1 e βɛ, k k 1 en donde consideramos que el vol. V es muy grande, por tanto: V (2π) 3 dk = V (2π) 3 k 2 dkdω, k 24 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 24/77 77

25 Gas de Bose-Einstein Fundamentos Si consideramos al gas como ideal, entonces ɛ k = 2 k 2 /2m: V (2π) 3 k 2 dkdω = 2πV h 3 (2m)3/2 ɛ 1/2 dɛ, k lo cual representa el número de estados en el espacio fase de una partícula, por tanto puede ser relacionado con la densidad de estados, g(ɛ) = Σ ɛ = 2πV h 3 (2m)3/2 ɛ 1/2, obteniendo así, g(ɛ)dɛ. k Analizando el resultado anterior, observamos: si ɛ = g() = N =!! 25 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 25/77 77

26 Gas de Bose-Einstein Estado base El resultado anterior no muestra la física de un gas de Bose, en el cual se puede tener en el estado base desde 1 partícula hasta un condensado, por tanto, debe ser uncluido el estado base explicitamente en la expresión integral, Φ(T, V, µ) = k B T k ln {1 ζe βɛ k } Φ = k B T ln (1 ζ), N(T, V, µ) = k 1 ζ 1 e βɛ k 1 N = 1 ζ 1 1 = ζ 1 ζ, por lo que tendremos para las expresiones integrales, Φ(T, V, µ) = k B T g(ɛ) ln {1 ζe βɛ k }dɛ + k B T ln (1 ζ), = 4πV ɛ 3/2 3h 3 (2m)3/2 ζ 1 e βɛ 1 dɛ + 1 ln (1 ζ), β 26 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 26/77 77

27 Gas de Bose-Einstein Estado base así como también para el número de partículas, 1 N(T, V, µ) = g(ɛ) ζ 1 e βɛ 1 dɛ + = 2πV h 3 (2m)3/2 analizando el resultado anterior: ζ 1 ζ, ɛ 1/2 ζ 1 e βɛ 1 dɛ + ζ 1 ζ, El primer término representa el número de partículas en los niveles excitados, N ɛ, El segundo término es la contribución del estado base (ɛ = ), N, al número total de partículas. Ambas expresiones se pueden reducir usando las siguientes transformaciones, ( h 2 ) 1/2 βɛ = x, λ =. 2πmk B T 27 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 27/77 77

28 Gas de Bose-Einstein Funciones de Bose-Einstein Para el caso del gran potencial, Φ(T, V, µ) = 4πV 3h 3 (2m)3/2 = 4V 3β πλ 3 mientras que para el número de partículas, N(T, V, µ) = 2πV h 3 = 2V πλ 3 (2m)3/2 ɛ 3/2 ζ 1 e βɛ 1 dɛ + 1 ln (1 ζ), β x 3/2 ζ 1 e x 1 dx + 1 ln (1 ζ), β e 1/2 ζ 1 dɛ + ζ eβɛ 1 ζ, x 1/2 ζ 1 e x 1 + ζ 1 ζ, observando lo anterior, definimos las funciones de Bose-Einstein, g r (ζ) = 1 Γ(r) x r 1 ζ 1 e x dx ζ 1, r R, 1 28 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 28/77 77

29 Gas de Bose-Einstein Funciones de Bose-Einstein por tanto, aplicando para los casos que requerimos, Φ : r = 5 2 N : r = 3 2 g 5/2 (ζ) = g 3/2 (ζ) = 1 Γ(5/2) 1 Γ(3/2) x 3/2 ζ 1 e x 1 dx Γ(5/2) = 3 π, 4 x 1/2 ζ 1 e x 1 dx Γ(3/2) = 1 π, 2 con las expresiones anteriores, las definiciones de Φ y N quedan como, Φ(T, V, µ) = 4V 3β πλ 3 x 3/2 ζ 1 e x 1 dx + 1 ln (1 ζ), β Φ(T, V, µ) = V βλ 3 g 5/2(ζ) + 1 ln (1 ζ), β N(T, V, µ) = 2V x 1/2 πλ 3 ζ 1 e x 1 + ζ 1 ζ, N(T, V, µ) = V λ 3 g 3/2(ζ) + ζ 1 ζ. 29 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 29/77 77

30 Gas de Bose-Einstein Funciones de Bose-Einstein Analicemos con detalle la integral de la función de Bose-Einstein, g r (ζ) = 1 x r 1 Γ(r) ζ 1 e x dx ζ 1, 1 en particular el denominador del integrando, 1 ζ 1 e x 1 = ζe x 1 ζe x = ζe x ( ζe x ) k ( = ζe x ) k, k= lo cual sustituimos en la expresión integral, y haciendo y = xk: g r (ζ) = 1 Γ(r) = dx x r 1 ζ k k r ζ 1, ζ k e xk = 1 Γ(r) ζ k k r dye y y r 1, en donde hemos identificado a la integral como la func. Gamma Γ(r). 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 3/77 77

31 Gas de Bose-Einstein Funciones de Bose-Einstein Analizando el comportamiento de la función g r (ζ) tenemos, r En el caso de ζ = 1, g r (1) = 1/k r = Z(r), donde Z(r) es la función Zeta de Riemann, y converge sólo para r > 1. Es monótonamente creciente en ζ. Es monótonamente decreciente en r. g r () = r. lim r g r (ζ) ζ. lim ζ g r (ζ) ζ. 31 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 31/77 77

32 Gas de Bose-Einstein Número de partículas De la relación del número de partículas se puede determinar la fugacidad o el potencial químico, N = N ɛ + N = V λ 3 g 3/2(ζ) + ζ 1 ζ, N ɛ núm. partículas en estados excitados, N núm. partículas en el estado base. Analizando N ɛ, observamos que para una temp. y volumen dados se tiene un máximo de partículas en estados excitados, N MAX ɛ = V λ 3 g 3/2(1) = V λ 3 Z(3/2) V T 3/2 λ = ( h 2 2πmk B T lo cual indica que no puede haber más partículas que Nɛ MAX excitados. ) 1/2, en estados 32 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 32/77 77

33 Gas de Bose-Einstein Número de partículas Consideremos el siguiente límite, N & V N/V = cte., N = N ɛ + N 1 = N ɛ N + N N, por tanto, tenemos para el rango de valores de ζ, ζ < 1 (µ < ) ζ = 1 (µ = ) N = ζ 1 ζ N N N, N N ɛ < N MAX ɛ. N ɛ = Nɛ MAX < N N N = 1 N ɛ MAX N, es decir, el estado excitado no puede contener a todas las partículas, por lo que es favorable para el sistema llenar al estado base (ɛ = ) con el exceso de partículas. 33 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 33/77 77

34 Gas de Bose-Einstein Condensado Resumiendo el análisis anterior, { Nɛ /N = 1, N /N ζ < 1, lim = N, N MAX V ɛ /N + N /N = 1 ζ = 1, donde Nɛ MAX = (V/λ 3 )Z(3/2), siendo este comportamiento conocido como el fenómeno de condensación de Bose. Consideremos ahora fijas las var. N, V, y T, podemos tener dos casos: Sin condensado N < Nɛ MAX = (V/λ 3 )Z(3/2), Nλ 3 /V < Z(3/2), donde ζ < 1, y se obtiene de: N = (V/λ 3 )g 3/2 (ζ), siendo N /N. Condensado N > Nɛ MAX = (V/λ 3 )Z(3/2), N = N (V/λ 3 )Z(3/2), donde ζ = 1, siendo el número de estados excitados insuficientes para contener a todas las partículas del sistema. 34 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 34/77 77

35 Gas de Bose-Einstein Condensado Por tanto, tenemos que la transición entre tener o no un condensado ocurre cuando: Nλ 3 = Z(3/2) = g V 3/2 (ζ = 1), ( h 2 ) 1/2 donde: λ =, 2mπk B T Para bajas densidades (N/V pequeño) y altas temperaturas (λ pequeño) se tiene suficiente energía térmica para excitar a casi todas las partículas a ɛ >, por lo que no hay condensado. Para altas densidades (N/V grande) y bajas temperaturas (λ grande) tenemos un sistema cuántico en donde la correlación positiva de los bosones se hace evidente, induciendo al condensado. 35 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 35/77 77

36 Gas de Bose-Einstein Dependiencia con la temperatura Dado que el punto de transición entre tener o no un condensado viene dado por, Nλ 3 = Z(3/2) = g V 3/2 (1), entonces es posible definir una temperatura crítica (T c ) por debajo de la cual el condensado existe: N = Nɛ MAX (T c ) = V ( ) N 2/3 λ 3 (T c ) Z(3/2) k h 2 BT c = V 2πm [Z(3/2)] 2/3, Si T < T c N ɛ = Nɛ MAX (T ) = V λ 3 (T ) Z(3/2), [ N ( ) ɛ(t ) N = λ3 (T c ) T 3/2 λ 3 (T ) = λ = T c ) 3/2. N N = 1 N ɛ N = 1 ( T T c h 2 2πmk B T ] 1/2, 36 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 36/77 77

37 Gas de Bose-Einstein Dependiencia con la temperatura Si T > T c N ɛ N = 1, N N =. Resumiendo los res. obtenidos, { N ɛ 1 T Tc N = (T/T c ) 3/2 T < T c, { N T Tc N = 1 (T/T c ) 3/2 T < T c, Analizando en la vecindad del punto crítico, T < T c N ɛ /N = (T/T c ) 3/2 = [1 (T c T )/T c ] 3/2, N ɛ /N 1 (3/2)(T c T )/T c N /N (3/2)(T c T )/T c. 37 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 37/77 77

38 Gas de Bose-Einstein Dependiencia con la temperatura De la expresión del número de partículas obtenida anteriormente, N = V λ 3 g 3/2(ζ) + ζ 1 ζ, N ( ) V λ3 = g 3/2 (ζ) + λ3 ζ, V 1 ζ analicemos el límite clásico: bajas densidades: N/V 1 V 1, altas temperaturas: λ 1, por tanto, de la expresión anterior, N V λ3 1 g 3/2 (ζ) ζ, g r (ζ) = N = e βµ V λ 3 resultado clásico. ζ k k r & ζ 1, 38 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 38/77 77

39 Gas de Bose-Einstein Dependiencia con la temperatura Analizando el comportamiento de ζ en función de la temperatura: T < T c T > T c N > N MAX ɛ = V λ 3 Z(3/2) V Nλ 3 < Z(3/2) 1 ζ 1, N < N MAX ɛ = V λ 3 Z(3/2) V Nλ 3 > Z(3/2) 1, g 3/2 (ζ) = N V λ3 ζ < / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 39/77 77

40 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas Analizando el gran potencial para extraer la información termodinámica del sistema, ɛ 3/2 Φ(T, V, µ) = 4πV 3h 3 (2m)3/2 ζ 1 e βɛ 1 dɛ + 1 ln (1 ζ), β [ V = k B T λ 3 g 5/2(ζ) ln (1 ζ)] = pv, p = k BT λ 3 p k BT g 5/2(ζ) k BT V ln (1 ζ), λ 3 g k B T 5/2(ζ) lim ln (1 ζ), V V para el caso del condensado en T < T c, se tiene: p = k BT λ 3 g 5/2(1) = k BT λ 3 Z(5/2) k BT λ 3 (1.341), es independiente de V y N, es una función solamente de la temperatura. 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 4/77 77

41 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: ecuaciones pv Así como hemos definido una T c para una densidad determinada, también se puede obtener una densidad o volumen crítico para una temperatura dada, N V λ3 = Z(3/2) punto de transición, ( ) N = 1 V λ 3 Z(3/2) ó V c = Nλ3 Z(3/2), por tanto, se tendrá condensado cuando: N/V > (N/V ) c altas densidades, V < V c bajos volúmenes. c en donde se ha utilizado la condición de condensado previamente obtenida: N > N MAX ɛ = V λ 3 Z(3/2). 41 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 41/77 77

42 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: ecuaciones pv Hallando la curva límite crítica en el diagrama pv, p = k ( ) BT 2mπ 3/2 λ 3 Z(5/2) = Z(5/2) (k B T ) 5/2, pv 5/3 c = V c = Nλ3 Z(3/2) = N ( h 2 Z(3/2) 2mπ ( h 2 2mπ h 2 ) 3/2 ( 1 k B T ) Z(5/2) [Z(3/2)] 5/3 N 5/3 = cte. ) 3/2, Analizando el comportamiento de la presión como función del volumen, Para V < V c Para V > V c p(t ) = k BT λ 3 p = k BT λ 3 Z(5/2), g 5/2(ζ) = k BT λ 3 ζ k k 5/2 ζ < 1, por tanto se necesita obtener ζ para poder obtener la expresión de la presión. 42 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 42/77 77

43 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: ecuaciones pv Por tanto, ζ se puede obtener de la expresión del número de partículas, N = V λ 3 g 3/2(ζ) = V λ 3 ζ k k 3/2, despejando se tiene: ζ = sustituyendo en la expresión de la presión, p = k BT λ 3 pv = Nk B T ζ k k 5/2 = k BT λ 3 l= m=1 ( λ 3 ) m N a m, V ( λ 3 ) n N b n = k BT N V V n=1 l= ) l c = 1, c l ( λ 3 N V ( λ 3 ) l N c l, V siendo que a altas temperaturas y grandes volúmenes sólo el primer término sobrevive, obteniendo para el gas ideal: pv = Nk B T. 43 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 43/77 77

44 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: ecuaciones pv V < V c pv = k BT Z(5/3) = f(t ), λ3 ( ) h V = V c pvc 5/3 2 Z(5/2) = 2mπ [Z(3/2)] 5/3 N 5/3 = cte. ( λ 3 ) l N V < V c p = Nk B T c l, V l= 44 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 44/77 77

45 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico Calculando el valor esperado de la energía para el gas de Bose-Einstein, E = β ln Θ, ζ,v [ V Φ = k B T ln Θ = k B T λ 3 g 5/2(ζ) ln (1 ζ)], E = [ V β λ 3 g 5/2(ζ) ln (1 ζ)], = 3 2 k BT V λ 3 g 5/2(ζ). Relacionando la expresión anterior con la presión, obtenemos: ζ,v p = k BT λ 3 g 5/2(ζ) E = 3 2 pv ó p = 2 E 3 V, es decir, con el conocimiento de la presión, es posible obtener la densidad de energía, independiente si se está en el condensado, o no. 45 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 45/77 77

46 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico Ahora, calculando el calor específico, C V = E E = 3 T 2 k BT V λ 3 g 5/2(ζ), V,N debemos de considerar por separado ambas fases, tanto en el condensado como fuera de él, debido a la dependencia de ζ en la temp., Condensado: T < T c E = 3 2 k BT V λ 3 g 5/2(1) = 3 2 k BT V λ 3 Z(5/2), C V = [ 3 T 2 k BT V ] λ 3 Z(5/2) = 3 V,N 2 k BV Z(5/2) T C V = 15 Nk B 4 Z(5/2) V Nλ 3 T 3/2. ( T λ 3 ) V,N, 46 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 46/77 77

47 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico Sin condensado: T > T c E = 3 k B T V 2 λ 3 g 5/2 (ζ) g 5/2 (ζ) = f(t ) & ζ < 1, pero N = V λ 3 g 3/2(ζ) N N ɛ, E = 3 2 Nk BT g 5/2(ζ) g 3/2 (ζ). Ahora, analicemos el comportamiento de la derivada de la función de Bose-Einstein: g r (ζ) = ζ k k r, g r(ζ) = d dζ g r(ζ) = kζ k 1 k r = 1 ζ ζ k k r 1 = 1 ζ g r 1(ζ). 47 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 47/77 77

48 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico Calculando el calor específico para el caso sin condensado de la expresión obtenida anteriormente de E, C V = E T = [ 3 T,V T 2 Nk BT g ] 5/2(ζ), g 3/2 (ζ) T,V = 3 2 Nk g 5/2 (ζ) B g 3/2 (ζ) + 3 [ g 2 Nk 5/2 (ζ) BT g 3/2 (ζ) g ] 5/2(ζ) ζ (g 3/2 (ζ)) 2 g 3/2 (ζ) T, = 3 2 Nk g 5/2 (ζ) B g 3/2 (ζ) + 3 [ 1 2 Nk g 3/2 (ζ) BT ζ g 3/2 (ζ) g ] 5/2(ζ) 1 ζ (g 3/2 (ζ)) 2 ζ g 1/2(ζ) T, = 3 2 Nk g 5/2 (ζ) B g 3/2 (ζ) + 3 [ Nk B T 1 g ] 5/2(ζ)g 1/2 (ζ) ζ 2 ζ (g 3/2 (ζ)) 2 T. 48 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 48/77 77

49 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico Para seguir analizando la expresión anterior, requerimos calcular ζ/ T, por lo que observamos lo siguiente, T g 3/2(ζ) = [ ] Nλ 3 T V pero: T g 3/2(ζ) = 1 ζ g 1/2(ζ) ζ T V,N = 3 2T ( ) Nλ 3 V ζ N,V T = 3ζ N,V 2T = 3 2T g 3/2(ζ), g 3/2 (ζ) g 1/2 (ζ). Sustituyendo en la expresión obtenida para C V, C V = 3 g 5/2 (ζ) Nk B 2 g 3/2 (ζ) + 3T [ 1 g ] 5/2(ζ)g 1/2 (ζ) ζ 2ζ (g 3/2 (ζ)) 2 T, = 3 g 5/2 (ζ) 2 g 3/2 (ζ) + 3T [ 1 g ] ( 5/2(ζ)g 1/2 (ζ) ζ (g 3/2 (ζ)) 2 3ζ ) g 3/2 (ζ), 2T g 1/2 (ζ) C V = 15 Nk B 4 g 5/2 (ζ) g 3/2 (ζ) g 3/2 (ζ) 9 4 g 1/2 (ζ) T > T c. 49 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 49/77 77

50 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico De la relación anterior obtenida para el C V, analicemos el límite clásico: ζ 1 g r (ζ) ζ, C V = 15 Nk B 4 g 5/2 (ζ) g 3/2 (ζ) g 3/2 (ζ) 9 4 g 1/2 (ζ) C V 3 2 Nk B. Analizando el comportamiento de C V cuando T T c (ζ 1), C V = 15 g 5/2 (1) Nk B 4 g 3/2 (1) 9 g 3/2 (1) 4 g 1/2 (1) g 1/2(ζ 1), C V = 15 Nk B 4 Z(5/2) V Nλ 3 g 5/2 (1) = Z(5/2) & g 3/2 (1) = Nλ3 V, obteniendo así el mismo resultado que en el caso del condensado (T < T c ), es decir, C V es contínuo en la transición de fase en función de T. 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 5/77 77

51 Gas de Bose-Einstein Propiedades termodinámicas: energía y calor específico Calculando el valor de C V en la transición: T = T C, C V k B T = 15 4 Z(5/2) V Nλ 3, = 15 4 g 5/2 (1) g 3/2 (1) = 15 4 Z(5/2) Z(3/2), C V = 1.925Nk B > C V (ideal). El comportamiento observado es un ejemplo de una transición de fase de segundo orden, caracterizada por: un kink en la primera derivada de E: C V, una discontinuidad en la segunda derivada de E: C V / T. 51 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 51/77 77

53 Gas de Fermi-Dirac Fundamentos Recordemos para el caso de la estadística de Fermi-Dirac (funciones de onda antisimétricas), se había obtenido para la función de partición, [ ] Θ(T, V, µ) = 1 + ζe βɛ k ζ = e βµ, en donde el gran potencial viene dado como, Φ(T, V, µ) = k B T ln Θ(T, V, µ) = k B T k siendo, pv = Φ(T, V, µ). ln (1 + ζe βµ ), Siendo que para obtener la inf. termodinámica, es necesario despejar la fugacidad de la expresión del número promedio de partículas, N = 1 β µ ln Θ = 1 ln (1 + ζe βµ ), β µ = k ζe βɛ k T,V 1 + ζe βɛ k = k k 1 ζ 1 e βɛ k + 1 = k n k. 53 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 53/77 77

54 Gas de Fermi-Dirac Fundamentos Del resultado anterior para N, observamos que no existe una restricción alguna en el valor del potencial químico, por lo que: µ ζ ζ = e βµ, lo cual esta relacionado con el hecho de que µ es la energía media necesaria para añadir otra partícula al sistema, por lo que µ crece con el núm. de partículas. Ahora, para el caso de las expresiones anteriores, se pueden describir de manera contínua, ya que los eigenestados se encuentran muy cerca entre ellos, para un volumen grande: V (2π) 3 dk g(ɛ)dɛ, k k 2πV h 3 (2m)3/2 ɛ 1/2 dɛ g(ɛ) = g s 2πV h 3 (2m)3/2 ɛ 1/2, resultados que se han obtenido considerando al gas ideal: ɛ k = 2 k 2 /2m, y siendo g s = 2s + 1 la degeneración debida al espín. 54 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 54/77 77

55 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: función de partición Haciendo el cambio del discreto al contínuo en la expresiones de interés, ln Θ(T, V, µ) = ln (1 + ζe βɛ k ) = dɛg(ɛ) ln (1 + ζe βɛ ), k ( ) 2m 3/2 ln Θ(T, V, µ) = 2πV g s dɛ ɛ 1/2 ln (1 + ζe βɛ ), = 4g sv 3 π = 4g sv 3 πλ 3 h 2 ( 2mπkB T h 2 ) 3/2 x 3/2 dx ζ 1 e x + 1 dɛ ɛ3/2 ζe βɛ 1 + ζe βɛ, x = βɛ, V ln Θ(T, V, µ) = g s λ 3 f 5/2(ζ), en donde hemos definido las funciones de Fermi-Dirac f r (ζ), f r (ζ) = 1 Γ(r) x r 1 dx ζ 1 e x + 1 ζ. 55 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 55/77 77

56 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: número de partículas Con la expresión anterior es posible calcular el gran potencial, Φ(T, V, µ) = k B T ln Θ = pv pv k B T = g sv λ 3 f 5/2(ζ), de donde µ se obtiene de despejar ζ de la expresión del número de partículas, N(T, V, µ) = 1 g(ɛ) ζ 1 e βɛ = dɛ k k + 1 ζ 1 e βɛ + 1, N(T, V, µ) = 2g ( ) sv 2mπ 3/2 ɛ 1/2 π h 2 dɛ ζ 1 e βɛ + 1, = 2g sv πλ 3 N(T, V, µ) = g s V λ 3 f 3/2(ζ). x 1/2 dx ζ 1 e x + 1 x = βɛ, 56 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 56/77 77

57 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ Analizando las propiedades de las funciones de Fermi-Dirac, f r (ζ) = 1 Γ(r) consideremos el caso ζ < 1, 1 ζ 1 e x + 1 = x r 1 dx ζ 1 e x + 1, ζe x 1 + ζe x ζe x < 1, = ζe x ( ζe x ) k = ( 1) k 1 ζ k e xk. k= Sustituyendo en las funciones f r (ζ), f r (ζ) = 1 ( 1) k 1 ζ k e xk x r 1 dx, Γ(r) = 1 k 1 ζk ( 1) Γ(r) k r e y y r 1 dy = k 1 ζk ( 1) 57 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 57/77 77 k r.

58 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ Analizando ahora el caso ζ > 1, f r (ζ) = 1 Γ(r) = 1 Γ(r) x r 1 dx ζ 1 e x + 1, x r 1 dx e (x y) + 1 ζ = eβµ = e y, analizando el denominador del integrando, en el caso de que y, 1 si x < y e (x y) + 1 = 1 e x y + 1 1, 1 si x > y e (x y) + 1 = 1 e x y + 1, El comportamiento obtenido corresponde a la función escalón, centrada en µ, lo cual coincide con el de los números de ocupación n k a T =. 58 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 58/77 77

59 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ Analizando el comportamiento de la función de Fermi-Dirac de manera general, para valores y = βµ 1, φ(y) = = = y y m(x) e x y + 1 dx, [ 1 m(x) e x y + 1 y m(x)dx ] dx + y m(x) e y x + 1 dx + y m(x) e x y + 1 dx, m(x) e x y + 1 dx, en las integrales anteriores definamos las siguientes variables, η = y x dη = dx, si x = η = y; x = y η = ; γ = x y dγ = dx, si x = y γ = ; x γ ; 59 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 59/77 77

60 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ sustituyendo en la expresión integral, y y m(x) φ(y) = m(x)dx e y x + 1 dx + m(x) y e x y + 1 dx, y y m(y η) = m(x)dx e η + 1 dη + m(y + γ) e γ + 1 dγ, y m(y + η) m(y η) = m(x)dx + e η dη, + 1 expandiendo en series el numerador de la integral, alrededor de y: 1 k m m(y + η) = k! x k η k 1 k m & m(y η) = k= y k! x k ( η) k, k= y 1 k m [ m(y + η) m(y η) = k! x k η k ( η) k], k= y 2 k m m(y + η) m(y η) = k! x k=impar k η k. y 6 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 6/77 77

61 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ Sustituyendo en la expresión integral, φ(y) = = y y m(y + η) m(y η) m(x)dx + e η dη, k m m(x)dx + 2 k! x k=impar k y η k e η + 1 dη. Analizando el comportamiento de la integral para dif. valores de k, In = 1 k! η k e η + 1 dη, k In 1 π 2 / π 4 / π 6 / se observa que la integral tiende a 1 conforme k crece. 61 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 61/77 77

62 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ Consideremos nuestro caso particular de m(x) = x r 1 para la integral de Fermi-Dirac, f r (ζ) = 1 x r 1 Γ(r) ζ 1 e x + 1 dx, x r 1 Γ(r)f r (ζ) = e x y + 1 dx ey = ζ, y Γ(r)f r (ζ) = x r 1 1 k (x r 1 ) dx + 2 k! x k=impar k f r (ζ) = = yr r + π2 6 (r 1)yr , y r Γ(r + 1) [ 1 + π2 6 r(r 1) y ]. y η k e η + 1 dη, 62 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 62/77 77

63 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ Resumiendo el comportamiento de f r (ζ), k 1 ζk ζ < 1 f r (ζ) = ( 1) k r, ζ > 1 f r (ζ) = y r Γ(r + 1) [ 1 + π2 6 ] r(r 1) y ζ = e y, nos falta conocer f r (ζ = 1), para lo cual utilizamos la primera relación, f r (1) = ( 1) k 1 1 k r = 1 k r 2 1 (2k) r, = 1 [1 k r 2 ] 2 r = Z(r) [ 1 1 ] 2 r 1, siendo Z(r) la función Zeta de Riemann algunos valores típicos de f r (1) los siguientes: f 3/2 (1) =.765, f 5/2 (1) =.866, f 7/2 (1) = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 63/77 77

64 Gas de Fermi-Dirac Funciones de Fermi-Dirac: comportamiento con ζ De los resultados anteriores, se tiene que f r (ζ) >, aunado con el comportamiento de la derivada, ζ f r(ζ) = 1 ζ f r 1(ζ), se concluye que f r (ζ) crece de manera monótona. Analizando el comportamiento de f r (ζ) para valores extremos de ζ, ζ 1 : f r (ζ) = ζ 1 : f r (ζ) = f r (ζ) k 1 ζk ( 1) y r Γ(r + 1) y r Γ(r + 1) [ k r f r (ζ) ζ, 1 + π2 6 (ln ζ)r =. r! ] r(r 1) y r +... ζ = e y, 64 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 64/77 77

65 Gas de Fermi-Dirac Termodinámica: energía Una vez conociendo el comportamiento de f r (ζ), regresamos a las propiedades termodinámicas de un gas fermiónico ideal, V ln Θ = g s λ 3 f 5/2(ζ); calculando para la energía, E = β ln Θ = V,ζ β N = g s V λ 3 f 3/2(ζ); [ ] V g s λ 3 f 5/2(ζ), V,ζ = g s 3V 2λ 3 (k BT )f 5/2 (ζ) = 3 2 k BT f 5/2(ζ) f 3/2 (ζ). Analizando el límite clásico, V N = g s λ 3 f 3/2(ζ) λ 3 N V = g sf 3/2 (ζ), N pero: V 1 & 1 λ 3 1 f 3/2(ζ) 1 ζ 1, por tanto, f r (ζ) ζ r E (3/2)Nk B T. 65 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 65/77 77

66 Gas de Fermi-Dirac Termodinámica: calor específico Calculando el calor específico, C V = E T = V T = 3 2 Nk f 5/2 (ζ) B f 3/2 (ζ) [ 2 Nk 1 BT = 3 2 Nk B [ 3 2 Nk BT f ] 5/2(ζ) f 3/2 (ζ) V f 3/2 (ζ) T f 5/2(ζ) [ { f5/2 (ζ) f 3/2 (ζ) + para obtener ζ/ T analicemos, T f 3/2(ζ) = ( N λ 3 ) = 3 T V g s 2T, f 5/2(ζ) (f 3/2 (ζ)) 2 1 f 5/2(ζ) (f 3/2 (ζ)) 2 f 1/2(ζ) ( N V λ 3 ) g s T f 3/2(ζ) ] } T ζ, ζ T ] = 3 2T f 3/2(ζ),, 66 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 66/77 77

67 Gas de Fermi-Dirac Termodinámica: calor específico pero también sabemos, T f 3/2(ζ) = 1 ζ f 1/2(ζ) ζ T, por tanto, comparando resultados obtenemos: ζ T = 3 ζ f 3/2 (ζ) 2 T f 1/2 (ζ). Sustituyendo en la expresión del calor específico, C V = 3 { [ 2 Nk f5/2 (ζ) B f 3/2 (ζ) + 1 f 5/2(ζ) (f 3/2 (ζ)) 2 f 1/2(ζ) C V = 15 Nk B 4 f 5/2 (ζ) f 3/2 (ζ) 9 f 3/2 (ζ) 4 f 1/2 (ζ), lo cual tiende al valor clásico (ζ 1): C V (3/2)Nk B. ] T ζ } ζ, T 67 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 67/77 77

68 Gas de Fermi-Dirac Termodinámica: potenciales termodinámicos Obteniendo la energía libre de Helmholtz, F (T, V, N) = E T S = T S pv + µn T S = pv + µn, V donde: pv = Φ = k B T ln Θ = (k B T )g s λ 3 f 5/2(ζ), ζ = e βµ µ = k B T ln ζ, V F = (k B T )g s λ 3 f 5/2(ζ) + Nk B T ln ζ, = Nk B T [ ln ζ f 5/2(ζ) f 3/2 (ζ) Con la expresión anterior calculamos la entropía, ] N = g s V λ 3 f 3/2(ζ). S = 1 T (E F ) E = 3 2 Nk BT f 5/2(ζ) f 3/2 (ζ), [ ] 5 f 5/2 (ζ) S = Nk B T 2 f 3/2 (ζ) ln ζ. 68 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 68/77 77

69 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi degenerado Analizando el límite cuántico: altas densidades: N/V 1, bajas temperaturas: λ 3 1, Para temperaturas típicas (3 K.25 ev) la función del número de ocupación no varía en gran medida, respecto al caso a T = (ζ 1). T=25K T=K T=3K Por tanto, definimos para el límite de bajas temperaturas, { n k F D 1 1 si ɛ µ, = e β(ɛ µ) = Θ(µ ɛ) = + 1 si ɛ > µ, siendo µ = ɛ F (@ T = K) la energía de Fermi, es decir, la energía del último estado ocupado. 69 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 69/77 77

70 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi degenerado Con la definición del número de ocupación calculamos N: N = = g s 2πV h 3 dɛg(ɛ) n k = (2m)3/2 µ así como también la energía E, E = = g s 2πV h 3 dɛg(ɛ) n k ɛ = (2m)3/2 µ dɛg(ɛ)θ(µ ɛ), dɛ ɛ 1/2 = g s 4V 3 π ( ) 2mπ 3/2 µ 3/2, h 2 dɛg(ɛ)θ(µ ɛ)ɛ, dɛ ɛ 3/2 = g s 4V 5 π Relacionando ambas expresiones obtenemos, E N = 3 ( 6π 2 5 ɛ F ɛ F = gs N ) 2/3 2 V 2m, donde µ = ɛ F T = K. ( ) 2mπ 3/2 µ 5/2. 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 7/77 77 h 2

71 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi degenerado Con el conocimiento de la energía de Fermi, podemos definir diferentes cantidades físicas relacionadas, Temperatura de Fermi: ɛ F = k B T F T F = ɛ F /k B, con valores típicos de 1 4 K. Momento de Fermi: ɛ F = 2 k 2 F /2m k F = (2mɛ F ) 1/2 /. Además, con tal información, podemos describir diferentes propiedades de interés desde la relación de dispersión ɛ = 2 k 2 /2m, Superficie de Fermi k z Est. de Bandas F Densidad de Estados g( ) k F k y g( ) 1/2 k F k x 71 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 71/77 77

72 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi cuasi-degenerado Consideremos ahora el caso en el que < T T F, conocido como gas cuasi-degenerado, en el cual debemos de tomar en cuenta correcciones al caso degenerado (T = K), N = g s V λ 3 f 3/2(ζ) = g s V λ 3 1 Γ(3/2) x 1/2 e x y + 1 dx ζ = ey, y = µ/k B T en donde, para ζ > 1 expandemos la integral como sigue, x 1/2 dx y e x y + 1 = x 1/2 dx + 2 π2 (x 1/2 ) + 7π4 3 (x 1/2 ) 12 x y 72 x , y = 2 3 ( ) µ 3/2 + π2 k B T 12 sustituyendo en la expresión para N, ( ) 4V 2mπ 3/2 N = g s 3 π h 2 µ [1 3/2 + π2 8 ( kb T µ ( kb T µ ) 1/2 ( ) + 7π4 kb T 5/2 +..., 96 µ ) 2 ( ) + 21π4 kb T ], 192 µ 72 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 72/77 77

73 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi cuasi-degenerado De la expresión anterior, observamos: ( ) 4V 2mπ 3/2 ( ) N = g s 3 π h 2 µ [1 3/2 + π2 kb T ], 8 µ 3 ( ) π h 2 3/2 [ ( ) N = µ 3/2 1 + π2 kb T ], 4V g s 2mπ 8 µ [ ( ) ɛ 3/2 F = µ 3/2 1 + π2 kb T ], 8 µ [ ( F kb T µ = ɛ F µ ɛ F [ 1 + π2 8 1 π2 12 ɛ F ( ) ] kb T 2 ɛ F ) ] 2 2/3 +..., en donde hemos considerado para el término cuadrático en la serie µ ɛ F., 73 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 73/77 77 T

74 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi cuasi-degenerado Calculando la energía para el gas cuasi-degenerado, E = 3 2 Nk BT f 5/2(ζ) f 3/2 (ζ) = 3 2 k V BT g s λ 3 f V 5/2(ζ) N = g s λ 3 f 3/2(ζ), = 3 2 k BT g s V λ 3 1 Γ(5/2) expandiendo la integral, x 3/2 dx e x y + 1 = y x 3/2 dx + 2 x 3/2 e x y + 1 dx, π2 12 (x 3/2 ) x = 2 ( ) µ 5/2 + π2 5 k B T 4 sustituyendo en la expresión de la energía, ( ) 4V 2mπ 3/2 ( E = g s 5 π h 2 µ [1 5/2 + 5π2 kb T 8 µ + 7π4 y 72 3 (x 3/2 ) x , y ( ) µ 1/2 ( ) 7π4 kb T 3/ k B T 96 µ ) 2 ( ) 7π4 kb T ] 384 µ 74 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 74/77 77

75 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi cuasi-degenerado Pero recordemos, µ ɛ F [ 1 π2 [ µ 5/2 ɛ 5/2 F 1 π2 12 ( ) ] kb T 2, 12 ɛ F ( kb T ɛ F ) ] 2 5/2 [ ( ) ] ɛ 5/2 F 1 5π2 kb T 2, 24 ɛ F sustituyendo en la expresión anteriormente obtenida para E, E = g s 4V 5 π E g s 4V 5 π = g s 4πV 3 π ( ) 2mπ 3/2 ( ) h 2 µ [1 5/2 + 5π2 kb T 2 ( ) 7π4 kb T µ 384 µ ( ) [ 2mπ 3/2 ( ) ] h 2 ɛ 5/2 F 1 5π2 kb T 2 ( ) ] [1 + 5π2 kb T 2 24 ɛ F 8 µ ( ) [ 2mπ 3/2 ( ) ] 3 h 2 5 ɛ5/2 F 1 + 5π2 kb T 2, 12 µ 75 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 75/77 77

76 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi cuasi-degenerado De la ecuación anterior, E = g s 4πV 3 π ( 2mπ h 2 ) [ 3/2 ( ) ] 3 5 ɛ5/2 F 1 + 5π2 kb T 2, 12 µ observamos que, N = g s 4πV 3 π ( 2mπ h 2 ) 3/2 ɛ 3/2 F, E/N por tanto, la expresión para la energía se reduce a: E = 3 [ ( ) ] 5 Nɛ F 1 + 5π2 kb T 2, 12 µ (3/5) F T 76 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 76/77 77

77 Gas de Fermi-Dirac Gas de Fermi cuasi-degenerado Con la información de la energía, es posible calcular C V temperaturas, C V = E = T T V π2 k 2 B 2ɛ F T C V T. { [ ( ) ]} 3 5 Nɛ F 1 + 5π2 kb T 2, 12 ɛ F V para bajas 77 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física Estadística I Maestría (Física) 77/77 77