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1 2oExamendeFísicaEstadísticaI Jueves1denoviembrede2012 Nombre:( Instrucciones: El examen tiene una duración de 3 horas. Se permite el uso de los librosdegreinerydephillies.nosepermiteelusodenotasdeclaseotareas. 1. En 1931 Kappler determinó experimentalmente el valor de la constante de Boltzmann analizando las fluctuaciones angulares de la luz reflejada por un pequeño espejo pegado a un hilo sujeto verticalmente dentro de una caja con su interioratemperaturaconstante.registródurantelargotiempolasfluctuaciones angulares! que el espejo experimentaba con respecto a su orientación de equilibrio,determinandoasílarotacióncuadráticamedia!! = !!!rad!. La temperatura en la caja era278.1!!y la constante de resorte angular del hilo! = !!!gcm! /seg! rad! (laenergíapotencialacumuladaenunatorsiónes! =!!! /2). Cuál fue el valor de la constante de Boltzmann que encontró Kappler? 2. Considere un gas ideal descrito por el ensamble gran canónico. Demuestre que para fermiones!" >!!!!, mientras que para bosones!" <!!!!, siendo! =!!! el número promedio de partículas y!! el número de ocupación promedio del!xésimo estado. Cómo interpreta este resultado? El volumen, la presión y la temperatura se representan con!,! y!, respectivamente. (Sugerencia: Considere correcciones de primer orden al límite clásico de!. Es decir, considere que!!!!!! 1y vea cómo se modifica la expresión clásica!" =!!!!con! dadaentérminosdelosnúmerosdeocupacióndemaxwellx Boltzmann.) 3. Con frecuencia las moléculas de un gas son atraídas por los sólidos, con los que llegan a estar en contacto. Ellas pueden, incluso, permanecer atrapadas en la superficie del sólido: Éste es el fenómeno de la adsorción. El objeto sólido es conocidocomosubstrato;lasmoléculasatrapadassobrelasuperficiedelsubstrato forman la fase adsorbida. En el siguiente problema se estudia el equilibrio entre las moléculas del gas y las moléculas adsorbidas con ayuda del ensamble gran canónico. Unrecipientedevolumen!contieneungasidealdepartículasmonoatómicasde spin nulo. El gas está en contacto con un substrato, cuya superficie contiene! sitios, cada uno de los cuales puede adsorber un solo átomo, llevándolo a un estado con la energía!! (ver figura). El parámetro!! > 0representa la energía de enlace del átomo en el punto correspondiente. El sistema se mantiene a la temperatura!.además,asumimosqueelnúmerodeátomos,enelgasyenlafase

2 adsorbida, es lo suficientemente grande como para alcanzar el límite termodinámico. Consideremos un sistema formado por los sitios de adsorción. El número de partículas en ellos no es constante, pues pueden intercambiar átomos con el gas quelosrodea.elgasconstituyeunreservoriodepartículasyenergía,loquefijala temperatura! y el potencial químico! del sistema. Los átomos son independienteseindistinguibles. (a) Demuestre que la gran función de partición del sistema esξ =!!,con! = 1 + e!!!!! y! = 1/!". (b) Calculeelnúmeropromediodeátomosadsorbidos!! ydemuestrequela probabilidad! =!! /!dequeunlugarestéocupadoes! = e!!!!!!. (c) Calculelaenergíatotal!! delaspartículasadsorbidas. (d) Calculeelgranpotencial!. (e) Demuestrequelaentropíadelsistema!! es!! =!" ln 1 + e!!!!!!! +!!!.! (f) Utilizandoelresultadopara!! en(b)obtengalarelación!! +!!" = ln!!!!! ydemuestrequelaentropíapuedeserescritacomo!! =!! ln!!! ln!!!!! ln!!!. Obien,!!!! =! ln!!!!!!!. Interpreteesteresultado. (g) Las propiedades del sistema de partículas adsorbidas pueden ser calculadas conociendo la temperatura! y el potencial químico!. El potencialquímicoesmantenidoconstanteporelreservoriogaseoso.enun gasidealmonoatómico!,lapresión!y!estánrelacionadassegún

3 !/!. e!/!" =! 2!ħ!!"!" Reescribiendo! con ayuda de las fórmulas derivadas en los incisos anteriores,esposibleobtenerlaspropiedadesdelsistemasóloentérminos de!y!,quepuedensermedidasdirectamenteenelexperimento. Demuestrequelarazóndeadsorción!puedeescribirsecomo donde! =!!! =!! +!! (!),!!! =!"!" 2!ħ! e!!!/!". Estas son las llamadas isotermas de adsorción de Langmuir. A bajas presiones! es proporcional a! :!!/!! (!) para!!! (!). A altas presiones se observa una saturación, pues todos los lugares están ocupados:! 1para!!! (!).Lapresión!! (!)esunafuncióncreciente de la temperatura; a! constante! disminuye cuando la temperatura aumenta:entremayorsealatemperaturamásátomosseseparandelsólido poragitacióntérmicayregresanalgas.sisequiereliberaraunsólidode átomosadsorbidos,seledebecalentarenunambientedebajapresión. (h) Durantelaadsorción, seliberaoabsorbecalor?calculelaenergíaenjuego cuando una partícula es adsorbida. Asuma que el volumen del sistema completo,gasmássubstrato,nocambia.!/!

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