Física Estadística I (2017) Tarea 7

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1 Física Estadística I (2017) Tarea 7 Resuelva 6 de los 10 problemas propuestos. 1. Gas ideal bidimensional de fermiones. Se trata de estudiar un gas compuesto de N fermiones no interactuantes (N 1) de masa m y espín 1/2 que pueden moverse libremente sobre la superficie S. (a) Encuntre la relación funcional del potencial químico µ con N, S y la temperatura T. (b) Por el momento considere que se cumple la aproximación de temperatura cero. (i) Calcule el potencial químico µ 0 y la temperatura de Fermi T F µ 0 /k. (ii) Cuál es la velocidad máxima de una partícula del gas?. Qué condición debe cumplir la densidad artificial de partículas N/S para que sean válidas las ecuaciones no relativistas aquí usadas?. Evalúe numéricamente dicha condición para electrones, estimando el número de partículas por Å 2. Estime el orden de magnitud de la temperatura de Fermi correspondiente. (iii) Calcule la energía E 0 del gas. Si T cl es la temperatura de un gas ideal bidimensional clásico de N átomos y energía E 0, calcule la razón T cl /T F. (c) Ahora considere una temperatura distinta de cero. (i) Utilizando la relación entre el factor de Fermi N F λ y la derivada ( ) ln ξλ F / ελ, siendo ξλ F la gran suma de estados del estado único (λ), exprese el potencial químico µ como función de µ 0 y T. Bosqueje la curva representativa de µ como función de T para N/S constante. Muestre que µ tiende a µ 0 conforme T se acerca a cero. (ii) Demuestre la relación J = E entre el potencial gran canónico J y la energía E del gas, así como la ecuación C S = 2E T Nk T F T 1 1 e T F /T, donde C S representa la capacidad calorífica a superficie S y número de partículas N constantes. 1

2 (iii) Encuentre el comportamiento de la capacidad calorífica C S en la región T T F. 2. Gas ideal bidimensional de bosones. Se trata de estudiar un gas compuesto de N bosones no interactuantes (N 1) de masa m y espín cero que pueden moverse libremente sobre la superficie S. (a) Encuntre la relación funcional del potencial químico µ con N, S y la temperatura T bajo la hipótesis de que se trata de un gas normal. (i) Muestre que la integral en la relación anterior diverge conforme µ va a cero. De esto obtenga que, independientemente de los valores que tomen N/S y T, existe un valor de µ que cumple con la relación. Concluya de esto que en dos dimensiones no existe el fenómeno de la condensación de Bose. (ii) Utilizando la relación entre el factor de Bose N B λ y la derivada ( ) ln ξλ B / ελ, siendo ξλ B la gran suma de estados del estado único (λ), exprese el potencial químico µ como función de T y N/S. Bosqueje la curva representativa de la fugacidad e βµ como función de T y compare con la curva correspondiente de un gas tridimensional de bosones libres. (iii) Sea T 0 2π 2 mk N S. Muestre que se deben esperar efectos cuánticos para T T 0, cuando la longitud de onda térmica ( 2π 2 Λ mkt ) 1/2 sea aproximádamente igual a la distancia promedio entre partículas vecinas. (iv) Calcule numéricamente T 0 para 4 He. Obtenga el número de ocupación promedio para el estado base con T = 1 K. Acaso es de orden macroscópico, como en tres dimensiones?. (b) Demuestre la relación J = E entre el potencial gran canónico J y la energía E del gas, así como la ecuación C S = 2E T Nk T 0 1 T e T0/T 1, donde C S representa la capacidad calorífica por superficie S y el número de partículas N es constante. 2

3 (c) Obtenga expresiones aproximadas para la energía E y para la capacidad calorífica C S en las regiones T T 0 y T T Gas ideal de bosones con grados de libertad internos. En un recipiente de volumen V se encuentra un gas ideal de N bosones libres que poseen grados de libertad internos. Por simplicidad supondremos que cada partícula posee un estado exitado de energía positiva ε 1 (la energía del estado base se escoge igual a cero). (a) Obtenga la expresión para el número de partículas en el estado base como función de la temperatura y del potencial químico, así como para el número de partículas que se encuentran en el estado exitado. Escriba la condición para la temperatura crítica T B de la condensación de Bose. (b) Suponiendo que ε 1 kt B muestre que T B está dada por la fórmula [ ] T B = TB e ε1/kt B, donde TB 0 es la temperatura crítica obtenida sin considerar los grados de libertad internos. Recuerde que x π e x dx = (c) Es necesario considerar la estructura interna del 4 He al estudiar su transición a la superfluidez?. 4. Bosones efectivos. En un recipiente de volumen V se encuentran N partículas de espín 1/2 y masa m a la temperatura T. Ellas pueden aparearse y formar nuevas partículas: pares de espín cero. La energía de unión de un par es ε 0 (ε 0 > 0). A continuación se desprecia cualquier estructura interna, con excepción del espín, y se supone que las partículas y los pares forman dos gases ideales que no interactúan entre si. (a) En equilibrio, qué relación hay entre el potencial químico de las partículas aisladas y el potencial químico de los pares?. (b) Muestre que los pares son capaces de condensar en el estado base (condensación de Bose) y calcule la temperatura de condensación T c (suponga que kt c ε 0 ). 5. Equilibrio entre materia y radiación. Una molécula A puede absorber un fotón de frecuencia ω y alcanzar de tal forma un estado exitado interno A. Al inverso, la molécula A puede desactivarse emitiendo un fotón de energía ω. Se cumple la reacción A A + fotón ω. 3

4 (a) Suponga que A y A son moléculas distintas. En equilibrio, qué relación existe entre los potenciales químicos µ A y µ A?. (b) Se encierran N 0 moléculas del tipo A en un recipiente a baja temperatura T 0 ( ω/k). Posteriormente se calienta el recipiente hasta alcanzar la temperatura T T 0. Suponiendo que ambos tipos de moléculas se comportan como gases ideales, obtenga los números N A (T ) y N A (T ) de las distintas moléculas en equilibrio. 6. Radiación de cuerpo negro. La temperatura de la superficie del sol es T 0 = 5500 K. La tierra obtiene su energía del sol. Suponiendo que tanto la tierra como el sol se comportan como cuerpos negros, estime la temperatura de la tierra. El radio del sol es R S = m, el de la tierra R T = m y la distancia tierra-sol d = m. 7. Electrones en metales. Un troso de metal de volumen V consta de un gas de N electrones, así como de iones positivos que compensan la carga negativa de los electrones y que prácticamente no se mueven. Si Ze es la carga de un ión y a la distancia promedio entre un electrón y el ión más cercano, la energía potencial de un electrón en el campo de los iones es del orden de Ze 2 /4πε 0 a. La magnitud de la energía debido a la interacción de Coulomb entre electrones es del mismo orden de magnitud. (a) Estime la energía potencial del gas de electrones y compárela con su energía cinética. De esto deduzca que la aproximación de gas ideal es mejor entre mayor sea la densidad de electrones N/V. (b) En metales típicos, se puede despreciar la energía potencial en comparación con la cinética?. 8. Electrones en metales. La energía de Fermi (potencial químico de los electrones a temperatura cero) del aluminio es µ 0 = 11.7eV. Muestre que a 900 K se tiene µ µ 0 /µ 0 < A qué temperatura se tendría µ µ 0 /µ ?. El punto de fusión del aluminio es a los 933 K y el de evaporación a los 2740 K. 9. Orden de magnitud de las estrellas de neutrones. Una vez que una estrella ha agotado su combustible nuclear se colapsa bajo la influencia de la fuerza gravitacional. Si su masa es mayor que el límite de Chandrasekhar, la presión del gas degenerado de electrones no alcanza para detener el proceso. El colapso continúa hasta que la estrella se convierte en un hoyo negro. Sin embargo, puede ocurrir que el calentamiento que acompaña al colapso conduzca a una explosión, formándose una supernova; la estrella expulsa materia hacia el exterior y la masa restante puede resultar menor que el límite de Chandrasekhar. En tal 4

5 caso, la estrella está demasiado comprimida como para estabilizarse como enana blanca, por lo que se convierte en una estrella de neutrones. (a) Para la diferencia de masas m n m p entre el neutrón y el protón se tiene (m n m p ) c 2 1.3MeV. (i) Calcule la densidad ρ que debe alcanzarse para que la energía de Fermi de los electrones supere dicho valor. (ii) Suponga que los protones y neutrones de la estrella prácticamente se encuentran en reposo ( cómo puede uno asegurarse de que dicha hipótesis se cumple?). En cuanto la densidad arriba calculada sea alcanzada, es posible que ocurra la reacción e + p n + ν, y los neutrinos abandonan la estrella. Muestre que la descomposición de los neutrones según n p + e + ν es bloqueada por el Principio de Pauli (aplicado a los electrones). (b) El proceso descrito conduce a la formación de un gas degenerado de neutrones; la presión cuántica de dicho gas es la que principalmente estabiliza a la estrella. (i) Muestre que los órdenes de magnitud correspondientes pueden obtenerse de las ecuaciones para enanas blancas, si la masa m del electrón se sustituye por la del neutrón m n. (ii) Deduzca de esto que la masa límite M 0 prácticamente permanece igual, pero el radio de una estrella de neutrones es unas 1000 veces menor que el de una enana blanca de la misma masa. Estime el orden de magnitud de la densidad de una estrella de neutrones. 10. Orden de magnitud de la radiación de fondo. (a) Muestre que el número total de fotones de un cuerpo negro es, como la entropía, proporcional a T 3. Estime el número de fotones por volumen en la radiación cósmica a 3 K (utilice Γ(3)ζ(3) = ). (b) De qué tamaño es la longitud de onda correspondiente al máximo de la distribución de Planck para T = 3 K?. (c) Las primeras mediciones de la radiación de fondo fueron hechas para longitudes de onda entre 1cm y aproximadamente 75cm. Compare las predicciones de la Ley de Planck con la fórmula de Rayleigh-Jeans en esta región. En su opinión, permitían estas primeras mediciones la conclusión de que la radiación cósmica se distribuía como la radiación de cuerpo negro?. 5

6 Problemas tomados de Éléments de Physique Statistique de Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer y Bernard Roulet (Hermann Éditeurs 1989). 6