Propiedades características de un metal o donde. estábamos en 1900

Transcripción

1 Propiedades características de un metal o donde ρ estábamos en 1900

2 Los metales son buenos conductores de la electricidad. Podemos caracterizar esta propiedad introduciendo la resistividad eléctrica ρ o su inversa la conductividad σ que son propiedades intrínsecas de cada material y se definen mediante la ley de Ohm: V=R I V=E L L A

3 R es la resistencia eléctrica y depende del tamaño de la muestra. La densidad de corriente j=i/a es la cantidad de carga por unidad de tiempo que pasa por una sección unitaria perpendicular a la dirección de la corriente V = R j A E = RA/L j ρ RA/L La ley de Ohm se escribe E = ρ j

4 La resistividad se mide en Ω m Metal ρ ~ µω cm Semiconductor ρ ~ µω cm Aislador hasta 10 0 µω cm La resistividad depende linealmente de la temperatura (salvo a bajas temperaturas). ρ= A T + B Para muestras muy puras (baja densidad de impurezas), B 0.

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6 Dependencia de ρ con T

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8 Los metales son tambien buenos conductores del calor. La conductividad térmica κ se define por la ley de Fourier j q =-κ T El flujo de calor es proporcional al gradiente de temperaturas. La conductividad térmica varia poco con la temperatura

9 Wiederman-Franz Las conductividades eléctricas y térmicas varian mucho de un metal a otro. Ej: σ (o κ) del oro es 10 veces la del plomo. Sin embargo la relación σ/ κ se mantiene constate a una dada temperatura. Wiederman y Franz (1857) observaron que las mediciones para diferentes metales y diferentes temperaturas pueden resumirse en la siguiente ley: κ σ = LT L (llamado número de Lorentz) varia poco con la temperatura y con el material

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11 Calor Específico El calor específico molar de un metal es similar al de un aislador. Aumenta rapidamente a bajas temperaturas y luego satura en un valor constante cercano a 6 cal/mol K o sea 3 N A k/ mol (N A = número de Avogadro, k= constante de Boltzman). Esta es la Ley de Dulong y Petit

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15 Modelo de Drude Consideramos un gas de electrones libres que corresponden a los electrones de valencia de los átomos de un metal. Ej: Li Z =3 1s s 1 electrón de valencia(z v ) n=n A Z v ρ m / A masa átomica (gr de un mol) densidad de masa Átomos por mol Introducimos un radio de la esfera que contiene cada electrón: V N = 1 n = 4 3 π r 3 s

16 n y r s para diferentes metales

17 Hipotesis de Drude 1.El movimiento del electrón es sólo perturbado por colisiones que ocurren en promedio cada τ. 1/ τ da la probabilidad por unidad de tiempo de que un electrón experimente una colisión.

18 . Entre colisiones el electrón se mueve siguendo las leyes de Newton: f = -e E o f = 0 si E = 0 3. Después de una colisión el electrón olvida la velocidad que traía y arranca con una dirigida al azar pero cuyo módulo corresponde a la temperatura en ese sitio.

19 Ecuación n de Movimiento dp dt = f (t) Las colisiones introducen un término de amortiguamiento. La velocidad p/m es la velocidad de arrastre (o deriva) del gas no la velocidad de cada electrón. p τ

20 Conductividad Eléctrica j = nev v = σ = eeτ m ne τ m τ = m ρne La velocidad cuadrática media es (Maxwell-Boltzman) El camino libre medio es λ= v 0 τ 1-10 Å = m e 3 0 s 14. ρ( µ Ω cm) 3 r a 4π a m v0 = kt v0 10 m / s a T ambiente s

21 La velocidad cuadrática media es (Fermi-Dirac) v F 10 6 m / s El camino libre medio es λ= v F τ Å A bajas Temperaturas λ puede ser mayor que 10 3 Å y llegar casi hasta el centímetro

22 Conductividad TérmicaT T 1 T T1 > T x Flujo neto de energía Los electrones que llegan desde la izquierda tuvieron su última colisión en la región de mayor T

23 Ejemplo en 1D La mitad viene del lado caliente y la otra mitad del frío E(T(x-v x τ)) x E(T(x+v x τ)) x nvx j q = xτ + xτ { E( T ( x v )) E( T ( x v ))} dt de λ dt dx

24 En 3D 3 x v v = { } T c v v q = τ 3 1 j { } v v c v c v λ τ κ = 1 = y se cumple Wiederman-Franz Maxwell- Boltzman K W e k mt ne c v T v Ω = = = τ τ σ κ nk 3 m kt 3 del orden de la mitad del valor experimental

25 K W e k mt ne c v T v Ω = = = π τ τ σ κ F E T k n π F V Fermi-Dirac del orden del valor experimental

26 Poder termoeléctrico Además de un flujo de energía habrá uno de cargas (en la medición de κ no se ve porque es a circuito abierto). A un gradiente térmico se opone un campo eléctrico T 1 j q Efecto Seebeck E = Q T + - T T 1 > T T E

27 Usando Drude y estadística clásica sale: cv k 4 Q = = = V / 3ne e K El Q experimental es del orden de µv/k, 100 veces más chico. Esto se explica usando Fermi-Dirac π n k E T F Q = cv 3ne = π 6 k e kt E F = 1.4 kt E F 10 4 V / K 0.01

28 En algunos metales el signo del Q es opuesto al predicho por Drude. Para medir este efecto: V=(Q A -Q B )(T -T 1 )

29 Efecto Hall Aplico H y E x Magnetoresistencia Coef. Hall E y es el campo Hall, se origina al desviarse los e por la fuerza de Lorentz R H = ρ ( j E x y H H ) = E j x x

30 dp dt p = τ p e( E + H) m En el estado estacionario dp dt = 0 j y = 0 j = en m p m ρ = = e n τ 1 σ 0 1 R H = ne

31 Ondas de densidad de carga El sistema electrónico tiene una frecuencia propia ω p (frecuencia de plasma). Imaginemos el siguiente experimento: σ ned = ε 0 ε 0.. Nm d.. Nm d = Ne = ε σ ε Nne 0 0 d

32 que corresponde a un oscilador armónico de frecuencia: p ω = ne ε Es una onda de densidad de carga o plasmón. Para verlo hacemos pasar un haz de electrones por una lámina del material. 0 m

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34 medido calculado

35 Conductividad en corriente alterna La ecuación de movimiento en presencia de un campo eléctrico dependiente del tiempo: dp dt = ee(t) p τ Si excitamos con una campo alterno: E( t) = Re( E( ω) e iωt )

36 Tendremos una solución de la forma p( t) = Re( p( ω ) e iωt ) Si sustituimos las formas complejas en la ecuación de movimiento obtenemos la conductividad compleja σ(ω) j ( ω) = σ ( ω) E( ω) σ σ ( ω) = 0 1 i ωτ σ 0 = e n m τ