1.6 Transporte en presencia de campos magneticos. Superficies de Fermi. Efecto Hall y Magnetoresistencia.

Transcripción

1 1.6 Transporte en presencia de campos magneticos. Superficies de Fermi. Efecto Hall y Magnetoresistencia.

2 Dinámica semiclásica en H uniforme r = v n( k) = 1 k εn( k) k ( = e 1 c vn( k) H ) = k l kε n( k) y k H k = k H y ε n( k) son constantes de movimiento l Los e se mueven en curvas dadas por la intersección de superficies de energía constante con planos perpendiculares al campo magnético Superficie de Fermi cerrada orbitas cerradas Superficie de Fermi abierta (corta los bordes de la zona de Brillouin) orbitas abiertas

3 Orbitas de electrón y de hueco en presencia de H uniforme. Las orbitas se recorren de tal manera que los estados de energía mas baja están a nuestra izquierda

4 Movimiento en espacio real en presencia de H uniforme. Es facil determinar r = r Ĥ(Ĥ r) Proyección de la orbita en espacio real en un plano H. e integrando Ĥ k e = Ĥ ( r H ) = eh c c ( r Ĥ(Ĥ r)) = eh c r r (t) r (0) = c Ĥ [ k(t) ] k(0) eh la proyección de la órbita en espacio real es simplemente la orbita en k rotada π/2 alrededor de la dirección del campo y escalada por c eh. La componente paralela al campo, suponiendo Ĥ = ẑ: t z(t) = z(0) + v z(t)dt 0 con v z = 1 ε k z que no es necesariamente uniforme pues v z no es constante.

5 Movimiento en espacio real en presencia de H uniforme (II) Electrones "libres" (ε = 2 k 2 /2m ): superficies de energía constante son esferas, cuya intersección con planos son siempre circulos, que rotados 90 o siguen siendo circulos recuperamos el resultado clasico

6 Relación entre el periodo de las orbitas y la estructura de bandas t2 k2 t 2 t 1 = dt = t 1 k 1 dk k = 2 c k2 eh k 1 dk ( kε) t 2 t 1 = 2 c eh ε = kε ( k) = ( kε) ( k) = ( kε) ( k) 1 ε k2 Tomando el límite ε 0: A 1,2 ε k 1 t 2 t 1 = 2 c A 1,2 eh ε ( k)dk velocidad a la que la porción de la orbita entre k 1 y k 2 barre el area en un plano cuando ε aumenta. Para orbitas cerradas: T (ε, k z) = 2 c A(ε, k z) eh ε que podemos poner en terminos de una masa ciclotron efectiva m (ε, k z): T (ε, k z) = 2π ω c = 2πc eh m (ε, k z)

7 Recordatorio: Construcción de las Zonas de Brillouin (2D)

8 Superficie de Fermi: Electrones libres en 2D.

9 Superficie de Fermi: Electrones libres en 3D, Red FCC.

10 Bandas de energía: Cu

11 Superficie de Fermi: Metales nobles (FCC)

12 Dinámica semiclásica en campos Ē y H perpendiculares Si Ē < H podemos cambiar a un sistema de referencia en el que Ē = 0, y el problema se reduce al de sólo un campo H. Deshaciendo el cambio, la proyección de la órbita en espacio real es: r (t) r (0) = c Ĥ [ k(t) ] k(0) + wt eh w = c E (Ê Ĥ) H Podemos reescribir la ecuación para k en terminos de w: w velocidad con la que se mueve el sistema de referencia en el que Ē = 0. k e ( = c kε ( k) H ) con ε ( k) = ε( k) k w órbitas en k: intersección de las superficies con ε constante con planos H. Si Ē > H podemos cambiar a un sistema de referencia que se mueve con w = c H E (Ê Ĥ) en el que H = 0. Movimiento hiperbólico: el campo Ē es tan intenso que la partícula es acelerada continuamente en la dirección del campo y su energía media aumenta.

13 Efecto Hall. Magnetoresistencia Simetría cúbica: j = σē; Si H 0, los portadores son deflectados y en general j Ē j = σ(h)ē Ē = ρ(h) j con ρ(h) = σ 1 (H) σ(h), ρ(h) tensores magnetoconductividad y magnetoresistencia Con la geometría del experimento ( H z j, Ē en el plano xy) y cond. estacionarias (jy = 0): Magnetoresistencia: ρ xx (H) = Ex j x Coeficiente Hall: R H = Ey j x H = Ex j y H E y campo Hall V H = E y d y Voltaje Hall Modelo de Drude: ρ xx = σ 0 (la resistencia no depende de H) y R H = + 1 nqc Que dicen los experimentos?

14 Efecto Hall y Magnetoresistencia: fenomenología experimental 1/R H nec para Al como función de ω cτ (un único portador con carga positiva!!) Magnetoresistencia ω c = eh : frecuencia ciclotron (freq. mc angular de la órbita clásica) ω cτ es una buena medida de la intensidad del campo magnético: ω cτ : los e pueden completar sólo una parte pequeña de la orbita entre colisiones. ( H deforma poco las órbitas electrónicas) ω cτ : los e completan muchas orbitas entre colisiones. ( H cambia drásticamente las órbitas electrónicas) metales alcalinos, semiconductores dopados (p o n): ρ xx (H) cte (satura) }{{} H para cualquier orientación cristalina. (comportamiento "clásico") semiconductores intrínsecos ([p] = [n]) y metales como Bi, Sb, (con número igual de huecos y de electrones): ρ xx (H) no se satura para ninguna dirección y crece indefinidamente con H. metales nobles (Au, Ag, Cu): ρ xx (H) se satura para ciertas direcciones pero no para otras.

15 Distribución de portadores en presencia de campos magnéticos (I) Exploramos el régimen ω cτ : La dinámica es muy rápida y no valen las aproximaciones para el cálculo de g g n( r, k, t) que usamos en los efectos termoeléctricos. g t + v r g + F 1 k g = g g 0 τ La ec. de Boltzman en la aproximación del tiempo de relajación puede integrarse formalmente (el lado izquierdo es simplemente dg/dt): t g( r, k, t) = dt g 0 (t ) P(t, t ) τ(t ) ; ( t P(t, dt ) t ) = exp t τ(t ) g 0, τ dependen implicitamente del tiempo (g 0 (t ) = g 0 ( r(t ), k(t ))) Integrando por partes y usando que g 0,n ( r, k) = f ( r, k) distribución de Fermi t g( r, k, t) = f ( r, k) dt P(t, t ) df (t ) dt f depende de t a través de ε( k(t )), T ( r(t )) y µ( r(t )) df (t ) dt = f ε k ε( k) d k(t ) dt y usando las ecuaciones semiclásicas: t g( r, k, t) = f ( r, k) dt P(t, t ) + f T r T d r(t ) dt + f µ r µ d r(t ) dt [( f ε ) ( )] v eē r µ (ε µ) r T T

16 Distribución de portadores en presencia de campos magnéticos (II) 1. Si suponemos que τ( k) = τ(ε( k)), ( como ) ε( k) es conservado τ(t ) no depende de t P(t, t ) = exp t t. τ(ε) 2. Podemos despejar v en función de k de las ecs. semiclásicas: H k ( ) v + e H Ē = e H c H = e c H2 v v = c H k e H 2 c H Ē H 2 Usamos (1) y (2) para evaluar la integral sobre trayectorias: t g =f + dt exp t =f + dt exp Integrando por partes: g = f + c ( ) [Ē ( k < k> H] H 2 f ) ε ( t t ) c H k ( τ(ε) e H 2 eē f ) = ε }{{} (Ā B) C=( C Ā) B ( t t ) ( c [Ē k H] τ(ε) H 2 f ) ε con < k>= 1 t dt exp τ(ε) ( t t τ(ε) ) k(t )

17 Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (I) j( r, t) = n d k 2e ZB (2π) vn( k)g n( r, k, 3 t); g n = f n + c ( ) [Ē ( k < k> H] H 2 f ) ε (1) Todas las orbitas sobre la superficie de Fermi son cerradas: < k>= 1 t ( t t dt ) 0 si t = nt exp k(t ) = τ(ε) τ(ε) < T k(t) acotado!! τ(ε) En el lim τ T = τω podemos despreciar el efecto de < k> y nos queda: jn = 2e ZB = }{{} int. por partes d k (2π) vn( k) 3 [ 2ec H 2 ZB ( f ) c k ε H 2 (Ē H ) = 2e ZB d k (2π) 3 f c k k H 2 (Ē H ) d k ( (Ē ] (2π) 3 k f k H)) nec (Ē H), con n = 2 H 2 Podemos convertir la integral de volumen en una integral de superficie sobre el borde de la Zona de Brillouin [ 2ec jn = H 2 ds f k (Ē H ) ] nec (Ē H) Σ ZB H 2 ZB d k (2π) 3 f

18 Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (II) jn = [ 2ec H 2 ds f k (Ē H ) Σ ZB ] nec H 2 (Ē H) Si todas las orbitas en la superficie de Fermi son cerradas, los bordes de zona pueden localizarse de tal manera que no haya órbitas que crucen los bordes de zona todos los estados del borde de zona están ocupados o desocupados Si todos están desocupados f se anula sobre el borde de zona: jn = nec (Ē nece H) = (Ê Ĥ) H 2 = ne w R H = Ex = 1 H H zj y nec (electrones) Si todos los estados en el borde de zona están ocupados podemos reescribir la integral anterior en terminos de f 1 y repetir el argumento anterior para obtener: jn = + pec (Ē pece H) = + (Ê Ĥ) H 2 = +pe w R H = Ex = + 1 H H zj y pec (huecos) Si contribuyen varias bandas, sumamos sus contribuciones: j = jn = n effece H n (Ê Ĥ) R H = 1 n eff ec con n eff suma de las densidades de portadores para cada banda. Qué pasa si tenemos igual número de huecos y electrones n eff = 0? (ver problema)

19 Coeficiente Hall para Aluminio(I): Sup. de Fermi para electrones libres

20 Coeficiente Hall para el Aluminio(II) Cuando se incluyen los efectos del potencial periódico: 1. Los pequeños "bolsillos" en la IV Zona de Brillouin desaparecen. 2. Los estados de la III Zona se convierten en un conjunto de anillos desconectados (1) + (2) órbitas cerradas en ambas ramas de la superficie de Fermi!! 1 R H = (n III p II )ec (n III concentración de electrones en la III ZB y p II concentración de huecos en la II ZB) n II + n III = 1 = n 0 3 n II + p II = 2 = 2n 0 3 } n III p II = n 0 3 = 1

21 Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (III) (2) Existen orbitas abiertas sobre la superficie de Fermi: Los e en esas órbitas no estan forzados por H para seguir un mov. periódico en la dirección del campo eléctrico como ocurre con las órbitas cerradas. H no es efectivo en prevenir que esos e puedan adquirir energía de Ē : corriente en la dirección ˆn de la orbita abierta caracterizada por ρ xx (H) = Ex Jx : magnetoresistencia Por qué corriente asociada a las orbitas abiertas cuando Ē = 0?

22 Órbitas abiertas: Dependencia angular de la magnetoresistencia

23 Magnetoresistencia y carácter de las órbitas: Resumen metales alcalinos, semiconductores dopados (p o n): ρ xx (H) cte (satura) }{{} H para cualquier orientación cristalina. (comportamiento "clásico") (sólo órbitas cerradas) semiconductores intrínsecos ([p] = [n]) y metales como Bi, Sb, (con número igual de huecos y de electrones): ρ xx (H) no se satura para ninguna dirección y crece indefinidamente con H. (ver problema) metales nobles (Au, Ag, Cu): ρ xx (H) se satura para ciertas direcciones pero no para otras (existen órbitas abiertas)