Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas

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Francisco Botella Chávez
hace 7 años
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1 Electrones en un potencial periódico - Teoría de bandas g(e) g(e)

2 Desde un punto de vista fundamental, se debe resolver el siguiente problema para obtener los niveles de energía de los electrones en un cristal: donde Diferentes aproximaciones que se utilizan conducen a la ecuación de Schrodinger para 1 electrón en un potencial efectivo : one electron approximation donde

3 Ejemplo: Aproximación: En el marco de la one electron approximation: U(r) = U ion (r) + U ee (r) Ecuaciones de Hartree Se resuelven en forma autoconsistente U ee (Ψ)!!!

4 Por lo tanto, es de suma importancia el problema de un electrón en un potencial periódico: donde Teorema de Bloch Las soluciones son del forma donde

5 Notemos que

6 Condiciones periódicas de contorno (Born-von Karman) Número de celdas N 3 a 3 N1 a1 N 2 a 2 Los valores permitidos de k son:

7 Comentarios: 1- El número de k permitidos que pertenecen a la primer zona de Brillouin es igual al número de celdas del cristal N. 2- El volumen del espacio k asociado a cada punto k permitido es: Pero: El volumen de la celda primitiva de la red directa

8 3- no son autofunciones del operador 4- El vector siempre se puede restringir a la 1 zona de Brillouin. En efecto, todo vector se puede escribir: = k + G Donde G pertenece a la red reciproca y k a la 1ZB.

9 G Si para se cumple Esta condición también se cumple para k ya que e i G. R = 1

10 Demostración del Teorema de Bloch Expando la función de onda en una base de ondas planas (satisfacen las condiciones periódicas de contorno) Como U(r) es periódico: donde - Se fija el nivel de energía / - -Para cristales con simetría de inversión:

11 (1) (2) K+q=q Cambio los índices de suma Kq por K q Cambio los índices de suma Kq por K q (1) + (2) :

12 Como la base es ortogonal y completa: Se puede escribir con k pertenece a la 1ZB Haciendo el cambio Ecuación de Schrodinger en el espacio k

13 Dado un k dentro de la 1ZB, la ecuación anterior acopla solamente Problema original N problemas independientes (N valores de k dentro de la 1ZB) Entonces: Queda demostrado el teorema de Bloch, ya que la función es una función periódica

14 5- Fijado k, existen muchas soluciones de la ecuación de Schrodinger

15 Se puede demostrar que: El conjunto de todas las energías y autoestados del sistema se obtiene resolviendo el problema para los k dentro de la 1ZB Para n fijo, es una función continua de k ~ puntos k dentro de la 1ZB Banda N valores permitidos de k

16 El estado fundamental de N e electrones se obtiene ocupando con 2 electrones ( ) cada uno de los niveles de menor a mayor energía, hasta ubicar todos los electrones N e =n c N donde n c es el número de electrones por celda Ej.: 1D n c = 2,4,6, n c = 6 Bandas vacías E g band gap Aislador o semiconductor { Bandas ocupadas

17 n c = 1,3,5, n c = 5 ε F Metal Superficie de Fermi

18 Electrones en un potencial periódico débil Modelo de U(r) lo tratamos como una perturbación electrones casi libres - Empty Lattice Approximation (orden cero) U(r) = 0 e - libres pero imponiendo la periodicidad Esquema de Esquema de zona repetida

19 Esquema de zona reducida Esquema de zona extendida

20 Usando la teoría de perturbaciones se puede mostrar que : No degenerados Degeneración orden m Ej.: dos niveles degenerados en 1D

21 Banda 4 Gap 3 Banda 3 Gap 2 Banda 2 Banda 1 Gap 1

22 Red cuadrada en 2D

23 Todas las zonas ocupan el mismo volumen

24 Superficies de Fermi

25 z=2 Esquema de zona reducida Esquema de zona repetida Empty lattice approx. Nearly free electron approx.

26 W Γ X

27 cubica simple fcc bcc hexagonal

28 Bandas de energía de electrón libre para una red fcc

29 bcc fcc 1 Zona Brillouin 2 Zona Brillouin 3 Zona Brillouin

30 Superficie de Fermi de electrón libre para una estructura fcc (z=4)

31 fcc

32 bcc

33 Estructura de bandas del Alumnio Se pueden describir con la aproximación electrones casi-libres

34 Estructura de bandas del Cobre } Bandas chatas provenientes de los orbitales 3d No se pueden obtener con NFE

35 Método Tight-Binding Escribir la función de onda de Bloch como una combinación lineal de orbitales atómicos (LCAO).

37 orbital atómico α centrado en el sitio R j Cumple teorema de Bloch!!! Trabajaremos en notación Ψ > de brakets α, R j >

38 Ψ > = N -1/2 Σ e ik.rj R j > Quiero resolver: H Ψ > = E(k) Ψ > Proyecto la ecuación de Schrodinger sobre < R 0 Tigh-Binding: E 0 si j = 0 < R 0 R j > = δ 0j < R 0 H R j > = -t si j primer vecino de o 0 en los otros casos E(k) = E o + Σ (-t) e ik.rj j p.v.

39 Estructura de bandas y superficie de Fermi de metales simples Monovalentes Alcalinos:

40 Sodio Desviaciones de la superficie de Fermi medida respecto a una esfera perfecta

41 Nobles: Bandas d Banda s Estructura de bandas del Cu

42 Γ-L =

44 Divalentes bcc > Las superficies de Fermi se extienden más allá de fcc > la 1ZB

45 Ca

46 Mg g( (hcp)

47 Trivalentes Al n=2 n=3

48 Tetravalentes Pb: [Xe] 4f 14 5d 10 6s 2 6p 2 n=3

49 Si : [Ne] 3s 2 3p 2 semiconductor

50 Metales de transición Fe: [Ar] 3d64s2

51 C v = γ T γ ~ g(e F ) Na γ = cal/mol K 2 Mn γ = cal/mol K 2

52 Superficie de Fermi del Mo Superficie de Fermi del W

53 Tierras raras Los electrones d de un metal de transición se hibridizan con los s y p formando la banda de conducción. Banda de conducción s+p+d+f f s+p+d? f Independient electron approx. breaks down

54 Semimetales Ej.: As, Sb, Bi. grafito

56 KCl Algunos compuestos binarios

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