Física Cuántica. Sólidos III. Electrones en sólidos. José Manuel López y Luis Enrique González. Universidad de Valladolid. Curso p.

Transcripción

1 Física Cuántica Sólidos III. Electrones en sólidos. José Manuel López y Luis Enrique González Universidad de Valladolid Curso p. 1/59

2 MODELO DE DRUDE Thomson descubrió el electrón en 1897 Tres años más tarde Drude propuso su modelo teórico para la conducion térmica y eléctrica en metales. Un metal se aproxima por un gas de electrones encerrados en el interior del volumen macroscópico del metal. Debe existir otro tipo de partículas cargadas positivamente y que Drude supuso inmóviles. Se puede aplicar a este "gas" la teoría de los gases. Curso p. 2/59

3 Entre dos choques consecutivos los electrones se mueven sin influencia de los otros electrones y las partículas positivas inmóviles. La aproximación de suponer que los electrones se mueven sin influencias de los otros electrones se conoce como la aproximación de electrones independientes, la suposición de la no influencia de los "iones" se conoce como la aproximación de electrones libres Las colisiones, en el modelo de Drude, son eventos instantáneos que alteran la velocidad del electrón de forma abrupta. Curso p. 3/59

4 La probabilidad de que un electrón sufra una colisión por unidad de tiempo es 1/τ donde τ se conoce como tiempo de relajación, tiempo de colisión o tiempo libre medio. En el modelo de Drude el tiempo de colisión se supone independiente de la la velocidad o posición del electrón. Durante el tiempo τ los electrones recorren una distancia l = v o τ, llamada recorrido libre medio. v o es la velocidad electrónica promedio. Los electrones adquieren el equilibrio térmico solamente por medio de colisiones. Curso p. 4/59

5 Conductividad eléctrica de un metal El modelo de Drude permite explicar la ley de Ohm y se puede estimar, dentro del modelo, la resistividad de un conductor, 1 ρ = σ = ne2 τ m siendo n la densidad de electrones. A partir de esta relación se puede obtener el tiempo de relajación τ, puesto que la resistividad es una magnitud medible experimentalmente. A temperatura ambiente resulta ser del orden de s. Vease Tabla 1.3 Curso p. 5/59

6 Curso p. 6/59

7 En tiempos de Drude es totalmente natural estimar la velocidad a partir del principio clásico de equipartición de la energía, lo que nos lleva a una velocidad v o de 10 7 cm/sg y a un camino libre medio de 1-10 Å(del orden de la distancia interatómica). Sin embargo, medidas experimentales realizadas sobre materiales cuidadosamente preparados se pueden conseguir caminos libres medios del orden de centimetros, lo que significa que los electrones no "rebotan" en los iones como supone Drude. Curso p. 7/59

8 Conductividad térmica de un metal El mayor exito del modelo de Drude fue la explicación de la ley empirica de Wiedemann y Franz (1853), que establece que la razón entre la conductividad térmica y eléctrica de un metal es directamente proporcional a la temperatura con una constante de proporcionalidad universal. Vease Tabla 1.6 A partir del modelo de Drude se obtiene: κ = 1 3 v2 oc v τ siendo c v el calor específico electrónico. Curso p. 8/59

9 Curso p. 9/59

10 Aplicando la estadística clásica ( 1 2 mv2 o = 3 2 k BT, c v = 3 2 nk B) se obtiene κ σt = 3 2 en total acuerdo con la citada ley. ( ) 2 kb El valor de la constante es de watios ohm/k 2, que es del orden de la mitad de los valores experimentales. Casualmente, Drude se equivocó en la deducción de la conductividad eléctrica encontrando la mitad del resultado correcto, con lo cual el valor de κ/σt obtenido era el doble, es decir watios-ohm/k 2, en acuerdo excelente con el experimento. e Curso p. 10/59

11 MODELO DE SOMMERFELD Drude utilizó la estadistica de Maxwell-Boltzmann (la única conocida en la época) para determinar las propiedades electricas y térmicas del gas de electrones. Esta estadistica predice una contribución de 3 2 k B por electrón al calor especifico que está en total desacuerdo con los resultados experimentales (100 veces menos). Este hecho fue inexplicable durante un cuarto de siglo, hasta que Pauli propuso el principio de exclusión para electrones en átomos. Sommerfeld intuyó que este principio debería aplicarse a los electrones del gas, es decir, que la estadística que debia usarse era la de Fermi-Dirac. Curso p. 11/59

12 El estado fundamental de un gas de electrones Empezaremos examinando el estado fundamental de un gas de electrones, que es el que correspondería a una temperatura T=0 K, y veremos que a temperatura ambiente este gas de electrones no difiere apreciablemente del gas a T=0 K. Consideremos N electrones ( ) encerrados en un volumen V. Electrones libres Electrones sin interacción Calculamos los niveles posibles y colocamos los electrones de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli. Consideremos un cubo de lado L Curso p. 12/59

13 Ecuación de Schrodinger: La solución es Ψ = 1 V e i k r 2 2m 2 Ψ = EΨ E(k) = 2 k 2 2m El factor 1 V garantiza que la función de onda está normalizada. Curso p. 13/59

14 Condiciones de contorno Sólido infinito V, esta no es la situación más real. Sólido finito muy grande (comparado con el tamaño atómico), la solución para el interior del mismo no "verá" las paredes Ψ(x, y, z + L) = Ψ(x, y, z) Ψ(x, y + L, z) = Ψ(x, y, z) Ψ(x + L, y, z) = Ψ(x, y, z) condiciones de Born-von-Karman Curso p. 14/59

15 En nuestro caso en concreto e i(k xx+k y y+k z z) = e i(k xx+k y y+k z (z+l)) e i(k xx+k y y+k z z) = e i(k xx+k y (y+l)+k z z) e i(k xx+k y y+k z z) = e i(k x(x+l)+k y y+k z z) e ik xl = e ik yl = e ik zl = 1 z complejo e z = 1 z = 2πni, siendo n un entero. k x L = 2πn x, k y L = 2πn y, k z L = 2πn z n x,n y,n z = 0, ±1, ±2, k x = 2π L n x k y = 2π L n y k z = 2π L n z k = ( 2π L n x, 2π L n y, 2π L n z) Cuantización Curso p. 15/59

16 Cuantos puntos están contenidos en una región de volumen Ω del espacio-k? Si la región es muy grande una muy buena aproximación es el volumen de la región dividido por el volumen por punto en el espacio-k. ( 2π L Ω ΩV = )3 (2π) 3 por tanto la densidad de puntos (número de puntos por unidad de volumen) será: V 8π 3 Curso p. 16/59

17 N electrones ( ) independientes el estado fundamental se forma colocando estos electrones en los niveles más bajos de energía que queden libres, es decir, el primero en k = 0... así hasta completar una esfera de radio k F que corresponde a la enegía del último electrón ǫ F : ǫ F = 2 k 2 F /2m. ǫ F es el nivel (o energía) de Fermi y k F el vector de onda de Fermi El número total de vectores k permitidos será: ( 4 3 πk3 F) ( V 8π 3) = k3 F V 6π 2 Curso p. 17/59

18 Dado que para cada valor de k permitido podemos colocar dos electrones, para acomodar N electrones necesitaremos llegar hasta N = 2 k3 F V 6π 2 Si tenemos N electrones en un volumen V (densidad electrónica n=n/v) el estado fundamental de este gas de electrones se obtiene ocupando todos los niveles para k menor que k F y dejando desocupados todos los niveles de k mayor que k F, donde k F está dado por la condición n = k3 F 3π 2 Curso p. 18/59

19 La esfera de radio k F se llama esfera de Fermi La superficie de la esfera (superficie que separa los niveles ocupados de los no ocupados a T=0) se llama superficie de Fermi Otras magnitudes de Fermi (momento, velocidad,...) Todas estas cantidades pueden medirse experimentalmente. Curso p. 19/59

20 A menudo aparecen magnitudes de la forma k F( k). En el espacio-k el volumen por punto vale k = 8π 3 /V por tanto es útil escribir: k F( k) = V 8π 3 k F( k) k. En el límite en que k 0, es decir, cuando V, podemos sustituir la suma por la integral lim V 1 V k F( k) = d k 8π 3F( k) Curso p. 20/59

21 La energía del estado fundamental será la suma: E = 2 k<k F 2 k 2 2m. Aplicando la relación anterior: E V = 1 4π 3 k<kf d k 2 k 2 2m = 1 π 2 2 k 5 F 10m La energía por electrón será: E N = 3 5 ǫ F = 3 5 k BT F donde T F es la temperatura de Fermi. Curso p. 21/59

22 Curso p. 22/59

23 Propiedades térmicas del gas de electrones Para que la distribución de Fermi-Dirac y el llenado de niveles a T = 0 sean consistentes entre sí es necesario que el potencial químico a esa temperatura sea igual a la energía de Fermi. lim T 0 µ = ǫ F A T 0 se tiene µ ǫ F pero la diferencia es muy pequeña para casi todas las temperaturas de interés (incluyendo temperatura ambiente). Esta diferencia, a pesar de ser pequeña, tiene importantes consecuencias, por ejemplo en el cálculo del calor específico electrónico. Curso p. 23/59

24 Recordemos que la distribución de Fermi-Dirac nos daba la probabilidad de ocupación de un nivel ǫ f(ǫ) = 1 e (ǫ µ)/k BT + 1 La energía del gas de electrones a temperatura T será la suma de las energías de los niveles multiplicadas por su ocupación media, que será dos veces (por el spin) la probabilidad dada por f: E = k ǫ( k)2f(ǫ( k)) con ǫ( k) = 2 k 2 2m Esta energía depende de µ, que a su vez está determinado por la condición N = k 2f(ǫ( k)) Curso p. 24/59

25 ( ) E/V El calor específico por otra parte es c v =. T V Por tanto, para calcularlo primero hemos de obtener µ en función de T y n = N/V, sustituir esto en la expresión anterior de la energía y finalmente hacer la derivada respecto a T. Las ecuaciones son (pasando al límite V ) d k E/V = 4π 3ǫ(k)f(ǫ(k)) = dk k 2 ǫ(k)f(ǫ(k)) = 0 π 2 = dǫg(ǫ)ǫf(ǫ) 0 N/V = 0 dǫg(ǫ)f(ǫ) Curso p. 25/59

26 donde hemos hecho un cambio de variable de integración y definido la densidad de estados g(ǫ) = m 2 π 2 2mǫ 2 = 3 2 n ǫ F ( ǫ ǫ F ) 1/2 Las integrales son complicadas dada la expresión de f(ǫ). Su forma sin embargo difiere de la correspondiente a T = 0 en una zona alrededor de ǫ = µ de anchura aproximada k B T. Por tanto la dependencia de las integrales con la temperatura puede calcularse de manera aproximada desarrollando los integrandos en serie de Taylor entorno a ǫ = µ (expansión de Sommerfeld) y quedandose solo con el primer término. Resultado en este caso c v = π2 3 g(ǫ F)k 2 BT Curso p. 26/59

27 Conductividades electrica y térmica Ha de usarse la estadística de F-D en lugar de la de M-B en los promedios. Esto implica que la velocidad promedio" utilizada en el modelo de Drude debe ser la velocidad de Fermi v F lo cual afecta al recorrido libre medio, que queda aproximadamente multiplicado por 10, y que el calor específico que aparece en la conductividad térmica debe ser el recien obtenido. Haciendo las cuentas resulta que κ σt = π2 3 (k B e )2 = watios-ohm/k 2 en acuerdo excelente con el experimento. Curso p. 27/59

28 ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DE ELECTRONES LIBRES Curso p. 28/59

29 ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DE ELECTRONES LIBRES Qué determina el número de electrones de conducción?... Elementos polivalentes... Curso p. 28/59

30 ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DE ELECTRONES LIBRES Qué determina el número de electrones de conducción?... Elementos polivalentes... Cómo es posible que algunos sólidos evidencien experimentalmente (efecto Hall) conducción eléctrica por cargas positivas? Curso p. 28/59

31 ALGUNOS MISTERIOS DEL MODELO DE ELECTRONES LIBRES Qué determina el número de electrones de conducción?... Elementos polivalentes... Cómo es posible que algunos sólidos evidencien experimentalmente (efecto Hall) conducción eléctrica por cargas positivas? Por qué hay sólidos no metálicos?... O dependiendo de la estructura (C)... Curso p. 28/59

32 ELECTRONES EN UN PO- TENCIAL PERIODICO. TEOREMA DE BLOCH Y BANDAS DE ENERGIA. El potencial que sienten los electrones en un sólido presenta todas las simetrías de la red que define su estructura. La más importante de todas es la traslacional, que implica que el potencial es periódico con la periodicidad de la red. V ( r + R) = V ( r) R red real Esto tiene importantes implicaciones en las funciones de onda y autovalores electrónicos en un sólido. Curso p. 29/59

33 Teorema de Bloch En primer lugar enunciamos el Teorema de Bloch: Las funciones de onda de un electrón en un sólido pueden escribirse de la forma ψ n k ( r) = e i k r u n k ( r) siendo u n k ( r) una función que presenta la periodicidad de la red u n k ( r + R) = u n k ( r) Alternativamente, ψ n k ( r + R) = e i k R ψ n k ( r) Se trata por tanto de ondas planas, cuya amplitud está modulada por una función con la periodicidad de la red es suficiente estudiarla en una celda unidad. Curso p. 30/59

34 En cuanto a los vectores de onda k tambien es suficiente considerar que están en la primera zona de Brillouin. Si no lo estuviera podríamos siempre encontrar un vector G red recíproca tal que k = k + G con k en la primera zona de Brillouin. Dado que exp[ig R] = 1 para todos los vectores de las redes real y recíproca se ve que si la forma de Bloch de la función de onda es válida para k tambien lo es para k. Para cada valor de k la función de onda ψ se obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger, que se traduce en una ecuación para la función de Bloch u, que habrá que resolver en una celda unidad y con condiciones de contorno periódicas u( r + R) = u( r). Esta ecuación tendrá una serie de autovalores ǫ n k y n simplemente nos los indexa. Curso p. 31/59

35 Bandas de energía En la ecuación para u el vector k aparece como un parámetro y por tanto las funciones de onda y los autovalores variarán con k de manera continua, lo cual suele expresarse escribiendo los autovalores como ǫ n ( k). Además ésta función debe ser periódica con la periodicidad de la red recíproca, ǫ n ( k + G) = ǫ n ( k). Continua + periodica acotada, es decir hay un valor máximo y uno mínimo cada n define una banda de energía. El conjunto de todas las bandas de energía nos da la estructura de bandas del sólido. Curso p. 32/59

36 Imponiendo condiciones de Born-von-Karman a un sólido formado por N = N 1 N 2 N 3 celdas primitivas, siendo N i el número de celdas en la dirección del vector a i, es facil demostrar que el número de vectores k permitidos es precisamente N, es decir, el número de celdas primitivas del cristal, y que la densidad de puntos en el espacio recíproco es V/8π 3 exactamente igual que en el caso de los electrones libres. Estado fundamental Se obtiene llenando las bandas de energía con los electrones disponibles (2 por nivel) en orden creciente de energías. Como resultado podemos encontrar los siguientes casos: Curso p. 33/59

37 Curso p. 34/59

38 Existe una última banda llena y una primera banda vacía separadas por un intervalo de energías (gap). Si el gap es grande comparado con la energía térmica (k B T ) el sistema es un aislante. Si el gap es comparable con la energía térmica el sistema es un semiconductor. La última banda ocupada no está completamente llena, o bien existe un solapamiento grande entre la última llena" y la primera vacía". El sistema es un metal. Existe un solapamiento muy pequeño entre la ultima banda llena y la primera vacía. En este caso el sistema es un semimetal. Curso p. 35/59

39 Curso p. 36/59

40 Origen de las bandas de energía Atomo niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc). Curso p. 37/59

41 Origen de las bandas de energía Atomo niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc). Molécula diatómica los niveles electrónicos que a separación infinita coincidían con los atómicos, pero degenerados, se separaban en 2 niveles distintos al disminuir la distancia, debido fundamentalmente al solapamiento entre los orbitales. Curso p. 37/59

42 Origen de las bandas de energía Atomo niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc). Molécula diatómica los niveles electrónicos que a separación infinita coincidían con los atómicos, pero degenerados, se separaban en 2 niveles distintos al disminuir la distancia, debido fundamentalmente al solapamiento entre los orbitales. Butadieno los orbitales p z de los 4 átomos de C, que a separación infinita tendrían la misma energía, se desdoblaban en 4 niveles moleculares. Curso p. 37/59

43 Origen de las bandas de energía Atomo niveles energéticos atómicos (1s, 2s, 2p, etc). Molécula diatómica los niveles electrónicos que a separación infinita coincidían con los atómicos, pero degenerados, se separaban en 2 niveles distintos al disminuir la distancia, debido fundamentalmente al solapamiento entre los orbitales. Butadieno los orbitales p z de los 4 átomos de C, que a separación infinita tendrían la misma energía, se desdoblaban en 4 niveles moleculares. Sólido los niveles atómicos que corresponden a una separación infinita entre los N átomos se desdoblan en N niveles, dando lugar a las bandas de energía. Así en principio podremos asignar una banda al nivel atómico 1s, otra banda al 2s, etc. Curso p. 37/59

44 La anchura de la banda dependerá de la distancia de equilibrio de la red (separación entre los átomos) y será mayor para los niveles altos en energía que para los más bajos, debido a que el solapamiento de los orbitales correspondientes será mayor. Si la anchura de la banda es muy grande puede solapar con la banda anterior banda tipo sp. Curso p. 38/59

45 Conducción electrica, movimiento semiclásico, masa efectiva Si consideramos un electrón descrito por un paquete de ondas centrado en un vector k de la primera zona de Brillouin y con dispersión k pequeña comparada con el tamaño de la propia primera zona de Brillouin, resulta que podemos definir la velocidad de dicho electron como la velocidad de grupo asociada al paquete de ondas: v = 1 ǫ n ( k) k Esta sería la velocidad que en la teoría de Bloch debe asociarse a cada electrón a la hora de calcular la corriente eléctrica. Curso p. 39/59

46 Es fácil demostrar que sumando la contribución de todos los electrones de una banda n que se encuentre completamente ocupada, el resultado para la corriente es nulo. En otras palabras, los electrones que están en bandas llenas son inertes". Esto permite determinar el número de portadores: son aquellos que estan en bandas parcialmente ocupadas. Curso p. 40/59

47 Si un sólido tiene todas las bandas llenas o vacías entonces no conducirá la electricidad. Teniendo en cuenta que el número de niveles por cada banda es 2 veces el número de celdas primitivas del cristal, está claro que si el número de electrones por celda primitiva es impar necesariamente ha de haber bandas ocupadas sólo parcialmente y el sistema será conductor. Por tanto, condición necesaria para que un sistema no sea conductor es tener un número de electrones par por celda primitiva (No es condición suficiente porque el solapamiento de bandas puede producir bandas parcialmente ocupadas...) Curso p. 41/59

48 Supongamos un electrón sometido a una fuerza externa. El trabajo realizado por la fuerza durante un intervalo de tiempo δt será δǫ = Fδ r = F vδt F = ǫ( k) k δt Por otra parte δǫ = ǫ( k) k δ k Entonces (ecuación semiclásica del movimiento del electrón): d k dt = F Curso p. 42/59

49 De manera similar, si derivamos respecto del tiempo la ecuación que define la velocidad de grupo y aplicamos la ecuación semiclásica del movimiento obtenemos: d v dt = 1 d dt k ǫ( k) = 1 2 k ǫ( k) d k dt = k ǫ( k) F que tiene la forma fuerza = masa aceleracion" si identificamos 1 m = k ǫ( k) Curso p. 43/59

50 A esta masa m se la denomina masa efectiva electrónica, y depende de la banda que se esté considerando y tambien de k en general. Para electrones libres (ǫ = 2 k 2 /2m) la masa efectiva es igual a la masa del electron pero para electrones en una red periódica m puede tomar cualquier valor, incluso negativo, lo cual ocurre habitualmente en la zona superior de las bandas. Curso p. 44/59

51 Huecos Consideremos una banda que tiene ocupados todos sus estados excepto uno, asociado un vector de onda ke. Si la banda estuviera completamente llena el valor que podría asignarse a toda la banda sería cero. Por tanto con todos los estados ocupados excepto k e podemos asignar a la banda un vector de onda k e. Supongamos que aplicamos un campo eléctrico externo. Todos los electrones de la banda se moverán según su ecuación semiclásica del movimiento, F e = d k/dt Curso p. 45/59

52 Por ejemplo, si la fuerza correspondiente es hacia la izquierda, el electron que ocupa el estado inmediatamente a la derecha de k e pasará a ocupar éste y así sucesivamente, mientras que los electrones que ocupaban estados inicialmente a la izquierda de ke igualmente se moverán hacia la izquierda, dejando libre el estado inmediatamente a la izquierda de k e. Es como si el estado desocupado se hubiera desplazado hacia la izquierda como consecuencia de la fuerza aplicada. Es importante notar que el vector de onda total que se puede asignar a la banda, que era inicicalmente k e se habrá por tanto desplazado hacia la derecha. Curso p. 46/59

53 La situación se puede describir más facilmente diciendo simplemente que tenemos un hueco en la banda, al cual asignamos un vector de onda k h = k e y que se mueve según la ecuación semiclásica d k h /dt = F e, siendo F e la fuerza que actuaría sobre un electrón. Pero esta fuerza es la misma que sufriría una partícula identica a un electron pero con carga positiva. Por tanto si asociamos al hueco una carga contraria en signo a la del electron podremos escribir su ecuación semiclásica del movimiento como d k h /dt = F h, siendo F h la fuerza que sufre el hueco. Curso p. 47/59

54 Utilizando argumentos análogos se puede asignar al hueco una energía, medida desde el tope de la banda, ǫ h ( k h ) = ǫ e ( k e ) y una masa efectiva m h = m e. Recordando que la m e cerca del tope de la banda suele ser negativa resulta que la correspondiente masa del hueco cerca del tope de la banda será habitualmente positiva. Curso p. 48/59

55 Resumiendo un hueco es simplemente la ausencia de un electron en una banda, pero todo puede describirse como si tuviera una entidad física, con masa efectiva igual a la negativa de la del electron, carga igual a la del electron pero de signo positivo, vector de onda contrario al del electron que falta y energía que crece hacia abajo de la banda. Evidentemente los huecos contribuyen a la corriente electrica (son equivalentes a una banda que no está totalmente llena) y de hecho su contribución es muy importante no solo en semiconductores sino tambien en algunos metales. Curso p. 49/59

56 Semiconductores intrinsecos y extrinsecos Hemos comentado que un semiconductor es un sólido en el que existe un gap de energías entre la última banda ocupada (de valencia) y la primera desocupada (de conducción) que no es muy grande comparado con la energía térmica k B T. Esto implica que la agitación térmica puede excitar algunos electrones que pasan de la banda de valencia a la de conducción. Interpretandolo de otra manera, la agitación térmica crea huecos en la banda de valencia y electrones en la de conducción (en un número igual). Curso p. 50/59

57 Al aumentar la temperatura evidentemente aumentará el número de electrones y de huecos y por tanto la densidad de portadores y consecuentemente aumentará la conductividad electrica del sistema. Esta dependencia de σ(t) es justamente contraria a la que se tiene en un metal, en el cual la densidad de portadores es constante, pero al aumentar T las vibraciones de la red aumentan (se crean más fonones) con lo cual los choques aumentan y τ disminuye, disminuyendo por tanto σ al aumentar T. Curso p. 51/59

58 Este tipo de semiconductores, con concentraciones iguales de electrones y huecos se llaman semiconductores intrínsecos. Tambien se pueden construir semiconductores extrínsecos en los cuales la concentracion de uno de los dos tipos de portadores es mayor que la de otro, dando lugar a semiconductores de tipo n (más electrones) o de tipo p (más huecos). Estos se pueden construir añadiendo impurezas (envenenando, en ingles doping, en espanglish dopando) al sistema. Curso p. 52/59

59 Para el silicio (valencia 4) podemos por ejemplo añadir impurezas de arsénico (valencia 5) que crean niveles (o bandas muy estrechas) muy cerca del fondo de la banda de conducción que albergan los electrones extra debidos a la mayor valencia del arsénico. Estos niveles están tan cerca de la banda de conducción que la energía térmica básicamente los vacía completamente y los electrones pasan a la banda de conducción semiconductor extrínseco de tipo n. Si en cambio añadimos impurezas de boro (valencia 3) lo que ocurre es que se crean niveles (bandas muy estrechas) vacíos muy cerca de la banda valencia del silicio, con lo cual la agitación térmica básicamente los llena todos, dejando los correspondientes huecos en la banda de valencia semiconductor extrínseco de tipo p. Curso p. 53/59

60 La union pn (diodo) Juntemos un semiconductor tipo p que tiene una alta concentración de huecos (p) con un semiconductor tipo n con alta concentración de electrones (n). Contacto difusión de huecos hacia el lado n y de electrones hacia el lado p. Efectos: En la zona cerca del contacto se recombinan electrones y huecos formando una región vacía de portadores. El lado p queda cargado negativamente y el lado n queda cargado positivamente, creando una barrera de potencial y un campo eléctrico de n a p que inhibe la difusión, hasta que se alcanza una situación de equilibrio. Curso p. 54/59

61 Fotodiodos, células fotovoltaicas Si en la zona vacía de portadores un fotón de la energía adecuada es absorbido entonces puede crearse un par electrón-hueco, el electrón es empujado hacia el lado n y el hueco hacia el lado p por el campo eléctrico existente en esa zona, dando lugar a una cierta corriente eléctrica desde n hacia p. Este es el funcionamiento básico de los fotodiodos y las células fotovoltaicas. Curso p. 55/59

62 Corrientes en una unión pn Consideraremos sólo las debidas a los huecos, el caso de los electrones es completamente análogo. de recombinación. Si en la zona n se produce una recombinación e-h entonces p disminuye y hace posible una difusión de huecos desde p a n. Esta corriente I r está dificultada por la barrera de potencial. de generación térmica. En la zona n la excitación térmica puede crear pares e-h, y los huecos generados son empujados por E hacia la zona p. Esta corriente I g solo depende básicamente de la temperatura. En el equilibrio I g + I r = 0. Curso p. 56/59

63 Polarización directa Si conectamos una diferencia de potencial externa V con el polo positivo en el lado p ocurre lo siguiente: Los huecos de la zona p son empujados hacia n y los electrones de n hacia p, reduciendo de esta manera la zona vacía de portadores. La barrera de potencial disminuye. Qué ocurre con las corrientes? I g no varía (depende sólo de T). I g = I g (V = 0) I r aumenta en un factor relacionado con la comparación entre la energía electrostática ganada debido al potencial externo (ev ) y la energía térmica (k B T ). I r = I r (V = 0)e ev/k BT Resultado neto: corriente de p a n. Curso p. 57/59

64 Polarización inversa Si conectamos una diferencia de potencial externa V con el polo positivo en el lado n ocurre lo contrario: La zona vacía de portadores se hace mayor. La barrera de potencial aumenta. Qué ocurre con las corrientes? I g no varía (depende sólo de T). I g = I g (V = 0) I r disminuye. I r = I r (V = 0)e ev/k BT Resultado neto: corriente de n a p, pero muy pequeña (practicamente sólo la de generación térmica). Curso p. 58/59

65 Característica V-I para un diodo Tomando V como negativo si colocamos polarización inversa, y sumando las corrientes debidas a los electrones el resultado final para la corriente puede escribirse como ( ) I = I s e ev k BT 1 I V Curso p. 59/59