Gas de electrones libres: Modelo de Sommerfeld

Transcripción

1 Capítulo 1 Gas de electrones libres: Modelo de Sommerfeld 1.1. Introducción El modelo de Drude de la conductividad eléctrica fué propuesto en 1900 por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de los electrones en materiales (metales). El modelo, que es una aplicación de la teoría cinética supone que el comportamiento microscópico de los electrones en un sólido puede tratarse clásicamente (similarmente a una máquina de pinball), con un mar de electrones en constante movimiento golpeando constantemente los iones positivos más pesados. Este modelo dió algunos resultados que concordaron bastante con los experimentos, por lo que Hendrik A. Lorentz usó todo el aparato de la teoría cinética para investigar el problema más cuidadosamente. Sus resultados no mejoraron el modelo de Drude, sin embargo, usó la distribución de Boltzmann y la ecuación de Boltzmann para obtener sus resultados. Debido a que modelo Drude-Lorentz no decía nada sobre la distribución de energía en los metales y tampoco tomaba en cuenta el principio de exclusión de Pauli, Arnold Sommerfeld 1 ( ) para eliminar estas deficiencias, desarrolló un modelo para los electrones en los metales que consideró la estadísitica de Fermi-Dirac [1] Modelo de Sommerfeld Consideremos el problema de electrones libres en una caja, si las partículas no interactúan, hay que calcular la gran función de partición de acuerdo a la expresión, donde ζ es la función de partición de un sólo electrón. ln Z = N(ln ζ ln N + 1) (1.1) 1 Seis estudiantes de Sommerfeld: Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Peter Debye, Hans Bethe, Linus Pauling and Isidor I. Rabi, ganaron un premio nobel en física. Sommerfeld fué nominado 81 veces pero nunca ganó 1

2 2 CAPÍTULO 1. GAS DE ELECTRONES LIBRES: MODELO DE SOMMERFELD Podemos suponer además que el gas de electrones está contenido en una caja de lados Lx, L y, L z y que el potencial dentro de la caja es constante. La ecuación de Schrödinger es, y su solución es, 2 2m 2 Ψ(r) = EΨ(r) (1.2) Ψ k (r) = V 1 2 e ik r (1.3) donde los eigenvalores de la energía, E k = 2 k 2 2m. (1.4) Para evitar dificultades en las fronteras, podemos suponer condiciones períodicas de tal forma que en x = 0 y x = L, la función de onda valga lo mismo, Ψ(x + L) = Ψ(x). Esto nos lleva a que hay un número entero de longitudes de onda en el interior de la caja, es decir, los valores permitidos de k i con i = x, y, z satisfacen, donde n i = 0, ±1, ±2,. Por lo tanto la energía es, k i = 2πn i L i (1.5) ( E k = 2 n 2 x 2m 2π2 + n2 y L 2 x L 2 y ) + n2 z L 2 z (1.6) Derivación de la densidad de estados La densidad de estados da el número de electrones permitidos por volumen a una energía dada. Estos estados permitidos se pueden graficar como una rejilla de puntos en el espacio k, una visualización en tres dimensiones de las direcciones de los vectores de onda de los electrones. Los estados permitidos están separados por π/l x,y,z en las tres direcciones del espacio k. El volumen del espacio k que toma cada estado permitido es π 3 /L x L y L z. Su recíproco es la densidad de estados en el espacio k, el número de estados por volumen, V/π 3. El número de estados disponibles para una magnitud dada del vector de onda k se encuentra construyendo un cascarón esférico de radio k y grosor dk. El volúmen de este cascarón esférico en el espacio k es 4πk 2 dk. Por lo tanto, el número de estados k dentro del cascarón esférico, ρ(k) dk es (aproximadamente) el volumen del espacio k multiplicado por la densidad espacial de estados, ρ(k) dk = 4πk 2 ( V π 3 ) Por lo tanto, el número de estados en un intervalo de energía, dk (1.7) ρ(e) de = ρ(k) dk

3 1.2. MODELO DE SOMMERFELD 3 ρ(e) = ρ(k) dk de ρ(e) de = ρ(k) dk de de = V mk de 2π 2 2 tomando en cuenta la ecuación 1.4, obtenemos k = 2mE/ 2, por lo que, Es decir, ρ(e) de = V 2mE 2π 2 m 2 2 de ρ(e) de = V m3/2 2π 2 3 2E de = ctee 1/2 (1.8) Si efectuamos el mismo procedimiento en una y dos dimensiones obtenemos ρ(e)de = ctee 1/2 y ρ(e)de = cte respectivamente. La función de partición de un sólo electrón es, ζ = 2m (k2 x+ky+k 2 z) 2 = k x,k y,k z z i=x k i 2m k2 i. (1.9) Podemos convertir la sumatoria sobre k i en una integral si la longitud de la caja es mucho más grande que las longitudes de onda de los electrones, entonces, k i 2m k2 i L i 2 β e 2m k2 i dki = L ( ) 1/2 i 2πm 2π 2π β 2 = L ( ) 1/2 i 2πm (1.10) 2π β Considerando que el espacio es tridimensional, obtenemos para la función de partición de una sóla partícula, donde hemos sustituido = h/2π. Sustituyendo en la ecuación Finalmente la gran función de partición, ecuación 1.1, ln Z = N ζ i=x,y,z = V ( ) 3/2 2πm (1.11) h 3 β { ln V N ln β ( ) 2πm h 2 } + 1. (1.12)

4 4 CAPÍTULO 1. GAS DE ELECTRONES LIBRES: MODELO DE SOMMERFELD

5 Referencias [1] A. Sommerfeld Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik Zeits. fur Physik 47, 1 (1928) [2] Donald A. McQuarrie Statistical Mechanics Ed. University Science Books 5