La conexión entre la mecánica clásica y cuántica

Transcripción

1 in La conexión entre la mecánica clásica y cuántica 2015

2 in Outline 1 2 in

3 in semiclásico Consideremos una partícula de masa m, moviéndose en el espacio bajo un potencial V( q), q = (q 1, q 2, q 3 ). Hamiltoniano clásico: H = 1 2m 3 p 2 i + V( q) i=1 Ecuación de Schrödinger dependiente del : donde p i ˆp i = i q i q i ˆq i = q i, i = 1, 2, 3 i ψ( q, t) = Ĥψ( q, t) (1) t Ĥ = V( q), = 2m q q q 2 3

4 Ansatz: semiclásico ψ( q, t) = e i S( q,t) in La ecuación (1) se transforma en: S t = 1 S S + V( q) i S (2) 2m 2m Límite 0 de la ecuación (2): S 0 t = 1 2m S 0 S 0 + V( q) (3) que es la ecuación de Hamilton-Jacobi dependiente del y S 0 ( q, t) = t t 0 L( q, q, t )dt es la acción clásica.

5 in Estados estacionarios: Ansatz: semiclásico ψ( q, t) = ψ( q)e i Et ψ( q, t) = e i S( q) i Et, S( q, t) = S( q) Et y la ecuación (2) se transforma en Límite 0: 1 i S S + V( q) E 2m 2m S = 0 1 2m ( S 0) 2 + V( q) = E, S 0 ( q) = q q 0 pd q Que son la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del y la variable de acción, respectivamente.

6 in 0 es equivalente a: semiclásico ( S 0 ) 2 >> S 0, p 2 >> p En uni-dimensionales equivale a: 1 dλ 2π dq << 1 donde λ(q) = 2π /p(q) es la longitud de onda de Broglie. En mecánica cuántica esto se conoce como la aproximación semiclásica (o quasi-clásica) o aproximación WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)

7 in La expansión WKB Consideremos la ecuación de Schrödinger, independiente del, en una dimensión: Ansatz: donde S(x) es la serie: 2 2 ψ + (E V(x))ψ = 0 (4) 2m x2 S(x) = S 0 + i S 1 + ψ(x) = e i S(x) (5) ( ) 2 S 2 + i

8 in Sustituyendo (5) en (4): O( 0 ): ( ) 2 S0 2m(E V(x)) = 0 x O( ): O( 2 ): ( S1 x ( ) 2 S1 + 2 x ) ( ) S S 0 x 2 x 2 = 0 ( S0 x ) ( ) S2 + 2 S 1 x x 2 = 0

9 in Dado que p = S0 x : S 0 (x) = x x 0 p(x )dx = ± x x 0 2m(E v(x ))dx (6) S 1 (x) = ln p(x) + ln C (7) La función de onda aproximada a primer orden en es: ψ(x) = A ( exp + i x ) p(x )dx + B ( exp i x ) p(x )dx p x 0 p x 0 Podemos distinguir tres regiones: E > V(x), p(x) > 0: Región clásicamente permitida. E < V(x), p(x) imaginario: Región clásicamente prohibida. En mecánica cuántica: efecto tunel. E = V(x), p(x) = 0: Puntos de retroceso clásicos: la función de onda (8) no está definida. (8)

10 in En la región clásicamente permitida podemos considerar la solución real: ψ(x) = A ( 1 x ) sin p(x )dx + α p donde a es un punto de retroceso tal que: para x < a, E < V(x) y para x > a, E > V(x). a De las fórmulas de conexión se deduce que: α = π/4, ψ(x) = A ( 1 x sin p(x )dx + π ) p 4 a (9)

11 Consideremos que el movimiento está acotado entre dos puntos de retroceso clásicos a y b: a x b. in La función de onda (9) puede re-escribirse: ( ψ(x) = A 1 b sin p(x )dx + π p x b a p(x )dx π 2 ) (10) Por otro lado, (9) puede expresarse respecto del punto de retroceso b tal que: x < b, E > V(x) y x > b, E < V(x), ( ψ(x) = B ) 1 b sin p(x )dx + π (11) p 4 x

12 Para que la función de onda sea univaluada en a x b, (9) y (11) deben ser la misma, y de (10) se deduce que: in 1 b a con A = ( 1) n B. p(x )dx π 2 = nπ, n = 0, 1, 2, (12) Regla de ( p(x )dx = 2π n + 1 ) 2 (13)

13 in La regla de cuantización de apareció en la "old quantum theory": las variables de acción clásicas se igualan a un múltiplo entero de. En esos s el factor 1 2 se introduce de forma empírica. Posteriormente dicho factor, la energía del punto cero, aparece como consecuencia del principio de incertidumbre. En la representación semiclásica hemos visto que aparece como consecuencia de la pérdida de fase en las "cáusticas".

14 in N grados de Generalización de la regla de cuantización de a sistemas con N grados de : Sistema separable. Por cada grado de, la variable de acción cumple: I k = p k dq k = n k C k donde C k es un contorno cerrado asociado con el movimiento del grado de k-ésimo, y n k es el correspondiente número cuántico. Los niveles de energía son: E n1,n 2,,n N = H(I 1 = n 1, I 2 = n 2,, I N = n N ) Problema: Este procedimiento de cuantización no es único.

15 in Condición de cuantización de Einstein Esta dificultad fue resuelta en un importante artículo de Einstein de Einstein demostró que las variables de acción, para un sistema con N grados de, debían definirse: I k = 1 2π C k N p l dq l es decir, en términos de los toros invariantes, antes de cuantizar à la. l=1 1 Einstein, A.,Quantensatz von Sommerfeld und Epstein, Verh. Deutsch. Phys. Ges.,19, 82 (1917)

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17 in EBK Consideremos un sistema con N grados de, completamente integrable, cuya función de onda es: donde S( q, I) = ψ = A e i S q q 0 p( q, I)d q (14) De (14) se obtiene la relación entre variables conjugadas: θ = I S( q, I), p = q S( q, I) Sobre los toros clásicos con acciones I, las órbitas clásicas se distribuyen uniformenent en θ.

18 in EBK Así la densidad de puntos asociada en el espacio de configuración q es la proyección de la densidad sobre el toro en el espacio q: dθ d q = det 2 S q j I k, j, k = 1,, N Por tanto, la amplitud de la función de onda será: A = det 2 S q j I k Que en el caso uni-dimensional reduce a: A 1 p 1/2 es decir, la expresión obtenida en la aproximación WKB.

19 in EBK Es importante analizar que S es una función multivaluada de q, ya que p también lo es. En particular, para un movimiento uni-dimensional acotado: p(q, I) = ± 2m(H(I) V(q)) En esta figura se representa la curva de energía constante C, en el espacio de fases, para un movimiento unidimensional acotado. El momento p es una función bi-valuada de q; las dos ramas p 1(q) y p 2(q) colapsan en los puntos de retoceso clásicos q 0, en ellos las tangentes a C son paralelas al eje-p.

20 in EBK En la siguiente figura se representa la proyección de C (dada por dθ dq ) sobre el eje-q, dando la envolvente de ψ(q) 2 ; esta proyección es singular en los puntos de retoceso clásicos.

21 in EBK La función de onda debe definirse de la forma: ψ( q) = r det 2 S r q j I k 1/2 e i Sr( q, I) donde r es cada una de las posibles ramas de S. Para que la función de onda (15) sea univaluada: El cambio total de fase asociado con completar un circuito clásico debe ser un múltiplo entero de 2π. (15) Para un toro N-dimensional hay N circuitos topológicamente distintos C k (k = 1, 2,, N) que al recorrerlos conducen al mismo punto. Además, al recorrer C k se pueden atravesar "cáusticas" que dan lugar a una pérdida de fase de π/2 cada una.

22 in EBK Para un sistema integrable con N grados de resulta, pues, 1 p( q, I)d q π α k C k 2 = 2πn k donde α k es el número de "cáusticas" atravesadas. α k son los índices de Maslov. La condición de cuantización para el problema multidimensional es, por tanto, ( I k = pd q = 2π n k + α ) k C k 4 Regla de cuantización de : EBK

23 in Notas basadas en el Capítulo 6, Chaos and Integrability in Semeclassical Mechanics", Michael Tabor, Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics. An Introduction, John Wiley and Sons, 1989.