La Teoría de Schrödinger de la Mecánica

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1 Preprint typeset in JHEP style - PAPER VERSION 3 ra Unidad La Teoría de Schrödinger de la Mecánica Cuántica Alfredo Vega Departamento de Física y Centro Científico Tecnológico de Valparaíso (CCTVal), Universidad Técnica Federico Santa María, Casilla 110-V, Valparaíso, Chile s: alfredo.vega@usm.cl Abstract: Comenzamos el estudio de la Mecánica Cuántica de acuerdo a la formulación de Schrödinger. Se discute la forma de la ecuación de Schrödinger y la interpretación de las soluciones de esta. Keywords: Apuntes del curso Física Moderna para estudiantes de la licenciatura en Física de la Universidad de Valparaíso.

2 Contents 1. Argumento de Plausibilidad para la Ecuación de Schrödinger 1 2. Interpretación de Born de la función de Onda 2 3. Valores de Espectación 3 4. La Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo 4 5. Resumen 4 1. Argumento de Plausibilidad para la Ecuación de Schrödinger Comenzamos nuestro argumento de plausibilidad enumerando cuatro supuestos razonables para la ecuación de onda que queremos: Debe ser consistente con los postulados de de Broglie.Einstein (λ = h/p y ν = E/h). Debe ser consistente con E = p2 2m + V Debe ser lineal en ψ(x, t), es decir, si ψ 1 (x, t) y ψ 1 (x, t) son soluciones, la suma debe ser una solución tambien. La energía potencial V generalmente es función de x y posiblemente de t. Sin embargo hay un importante caso especial donde V (x, t) = V 0. 1

3 Usando las relaciones de de Broglie-Einstein podemos escribir h 2 + V (x, t) = hν 2mλ2 Usando el número de onda (k = 2π/λ) y la frecuencia angular (ω = 2πν) se obtiene 2 k 2 + V (x, t) = ω 2m Para satisfacer el tercer punto, se necesita de una ecuación lineal, y finalmente, el punto 4 (alusivo a partículas libres), nos entrega luces de la posible forma de la ecuación que debe satisfacer ψ(x, t) α 2 ψ(x, t) x 2 + V (x, t)ψ(x, t) = β ψ t si consideramos en caso en que V (x, t) = V 0, se llegaría a αk 2 + V 0 comparando esto con = iβω, 2 k 2 2m + V (x, t) = ω 2 2 ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) = i ψ 2m x 2 t Esta el la famosa Ecuación de Schrödinger. Nota: (i) La ecuación de Schrödinger ha sido obtenida para V (x, t) = V 0, pero no podemos probar que funcione para un V(x,t) general, solo podemos postular que esto es cierto. (ii) No esperamos que la ecuación de Schrödinger sea válida cuando se aplica a partículas relativistas. 2. Interpretación de Born de la función de Onda Una interesante e importante propiedad de la función de onda es que es compleja, lo que se debe a la forma de la ecuación. Luego veremos que la función de onda contiene toda la información que el principio de incertidumbre permite obtener sobre una partícula. La conexión básica entre la función de onda y el comportamiento de la partícula asociada se ecpresa en términos de la Densidad de Probabilidad P(x,t). Esta 2

4 cantidad especifica la probabilidad, por unidad de longitud del eje x, de hallar la partícula cerca de la coordenada x en un tiempo t. P (x, t) = ψ (x, t)ψ(x, t). Si en el instante t, se hace una medida para localizar la partícula asociada a la función de onda ψ(x, t), entonces la probabilidad P (x, t)dx de que la partícula sea hallada en una coordenada entre x y x + dx es igual a ψ (x, t)ψ(x, t)dx. La función de onda debe estar normalizada P (x, t)dx = ψ (x, t)ψ(x, t)dx = 1 pues esta integral da la probabilidad total de hallar la patícula descrita por la función de onda, y esta debe valer uno si que hay una partícula. 3. Valores de Espectación El valor de espectación de la coordenada x de una partícula en el instante t es, x = xp (x, t)dx = Nota: También se podría escribir ψ (x, t)xψ(x, t)dx x = ψ (x, t)xψ(x, t)dx ψ (x, t)ψ(x, t)dx En general f(x) = ψ (x, t)f(xψ(x, t)dx En general, el valor promedio de un observable F, representado por un operador ˆF en el estado ψ es ˆF = ψ (x, t) ˆF ψ(x, t)dx Algunos operadores de interés (en representación de coordenadas) son x x, p i x, E i x Nota: Si f(x,p,t) es una cantidad dinámica que es función de x, p y posiblemente t, su valor de espectación es f(x, p, t) = ψ (x, t)f op (x, i / x, t)ψ(x, t)dx donde f op (x, i / x, t) se obtiene de f(x,p,t) reemplazando p por i / x. 3

5 4. La Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo La Ecuación de Schrödinger es 2 2 ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) = i ψ 2m x 2 t usando ψ(x, t) = φ(x)τ(t) y un V (x, t) = V (x) se obtiene 2 d 2 φ(x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) 2m dx 2 que es la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Nota: De la separación de variables se obtiene además una ecuación para τ(t), cuya solución para potenciales independientes del tiempo es τ(t) = e Et/ donde E es la energía total de la partícula en el sistema. Figure 1: La teoría de Schrödinger predice estados dicretos cuando la energía de la partícula y la energía potencial es tal que clásicamente la partícula estaría ligada, y si no está ligada a una región limitada, la teoría predice que la energía puede tomar cualquier valor. 5. Resumen Un sistema mecánico cuántico es descrito por una función de energía potencial particular. Encontramos que si el potencial es independiente del tiempo, la ecuación de Schrödinger para el potencial conduce a una ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Hallamos que soluciones aceptables se dan para ciertos valores de la energía, que listamos en orden creciente como E 1, E 2, E 3,...E n,..., estas energías son llamadas Valores Propios. 4

6 Nota: También puede haber un espectro contínuo. Los correspondientes Funciones Propias φ i (x) son las soluciones de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para el potencial V(x). Para cada valor propio hay una Función de Onda ψ n (x, t), que son de la forma φ n (x) e ient/. El índice n, que toma valores enteros, y que se emplea para designar un valor propio particular y su correspondiente función propia y funciones de onda, es llamado número cuántico. Si el sistema está descrito por la función de onda ψ n (x, t), se dice está en el estado cuántico n. Cada función de onda ψ n (x, t) es una solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial V(x). Como la ecuación es lineal, la combinación lineal de soluciones, tambien es una solución. ψ(x, t) = c 1 ψ 1 (x, t) + c 2 ψ 2 (x, t) c n ψ n (x, t)