Hoja de Problemas 5. Física Atómica.

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1 Hoja de Problemas 5. Física Atómica. Fundamentos de Física III. Grado en Física. Curso 25/26. Grupo 56. UAM Problema En 896 el astrónomo americano Edward Charles Pickering observó unas misteriosas líneas en el espectro de la estrella ζ-puppis que podían describirse por la fórmula empírica ) λ = R H n 2 /2) 2 n /2) 2 donde R H es la constante de Rydberg y n y n 2 son números enteros positivos con n > n 2. Usando el modelo de Bohr determinar qué elemento químico da origen a esas líneas. Solución Problema Según el modelo de Bohr las líneas del espectro de un átomo hidrogenoide vienen dadas por λ = Z2 R H n 2 ) 2 n 2 Comparando esta expresión con la que nos dan en el enunciado, podemos escribir λ = 22 R H n 2 ) 2 n 2 Por tanto, deducimos que el elemento químico en cuestión es He Z = 2), es decir Helio ionizado. Problema 2 Las longitudes de onda de las líneas espectrales dependen ligeramente de la masa nuclear. Esto se debe a que el núcleo no posee una masa infinita y en realidad el electrón y el núcleo giran alrededor de su centro de masas común. Se puede demostrar que un sistema de este tipo es equivalente a un sistema en el que una partícula de masa reducida µ gira alrededor de la posición de la partícula más pesada a una distancia igual a la separación entre el electrón y el núcleo. La masa reducida viene dada por µ = m e M/m e + M), donde m e es la masa del electrón y M es la masa nuclear.

2 Así, para tener en cuenta el movimiento del núcleo en el modelo de Bohr, debemos reemplazar m e por µ. Determinar los valores correctos para la longitud de onda de la primera línea de la serie de Balmer teniendo en cuenta el movimiento nuclear para a) hidrógeno, H, b) deuterio, 2 H, y c) tritio, 3 H. Comparar estos valores con los obtenidos ignorando el movimiento del núcleo. Solución Problema 2 La primera línea de Balmer corresponde a n 2 = 2, n = 3 λ = R H 4 ) = R H Si utilizamos R H = m e k 2 e 4 /4πc h 3 ) =.96 7 m, de la ecuación anterior obtenemos que λ = nm, sin tener en cuenta el movimiento nuclear. Ahora, si tenemos en cuenta el movimiento nuclear, podemos redefinir la constante de Rydberg haciendo m e µ = m e M/m e + M) donde M es la masa nuclear), con lo que tenemos R H = µk2 e 4 4πc h 3 = µ m e me k 2 e 4 ) 4πc h 3 = µ R H m e La longitud de onda de la línea de Balmer teneiendo en cuenta el movimiento nuclear será entonces λ = 36 ) 36 5R H = 5R H µ/m e ) = me λ µ Introduciendo la definición de la masa reducida y operando obtenemos λ = + m ) e λ M Y finalmente utilizamos esta expresión para calcularnos los casos que mencionan en el enunciado a) Para el Hidrógeno tenemos M = m p. Utilizando m p = MeV/c 2 y m e =.5 MeV/c 2, tenemos λ = nm. b) Para el Deuterio, M p λ = nm. c) Para el Tritio, M 3m p λ = nm. Problema 3 La función de onda normalizada del estado fundamental del átomo de hidrógeno es ψr) = π a ) 3/2 e r/a 2

3 donde r es la coordenada radial del electrón y a es el radio de Bohr. a) Demostrar que la función de onda está normalizada. b) Representar gráficamente la función de onda en función de r. c) Representar gráficamente la densidad de probabilidad radial y encontrar el radio en que es más probable encontrar al electrón. d) Determinar la probabilidad de encontrar el electrón entre r = a /2 y r 2 = 3a /2. Solución Problema 3 a) Calculamos la integral correspondiente dr ψr) 2 = π πa 3 dr dθ = 4 a 3 e 2r/a a r 2 2 b) Utilizando Matlab por ejemplo 2π dφ r 2 senθ e 2r/a = 4 a 3 ) + 2ra2 + 2a3 4 8 = 4 a 3 a 3 4 = dr r 2 e 2r/a ψ r) a 3/ r / a Figura : Representación gráfica para el apartado b) del Problema 3. c) En este caso, la densidad de probabilidad es P r) = 4πr 2 ψr) 2 = 4πr 2 π La representación gráfica aparece en al figura adjunta. a 3 ) e 2r/a = 4 a r a ) 2 e 2r/a De la gráfica podemos ver que el máximo está en r/a =. Podemos corroborarlo analíticamente haciendo P r) = 4 dr a 3 2re 2r/a 2 ) r 2 e 2r/a r = r2 r = a a a d) 3

4 Pr) a r / a Figura 2: Representación gráfica para el apartado c) del Problema 3. Calculamos la probabilidad que nos piden mediante la integral siguiente 3a /2 a /2 dr P r) = 3a /2 a /2 dr 4 a 3 r 2 e 2r/a = 2e 2r/a [ r a ) 2 ) ] r + + 3a /2 =.496 a 2 a /2 Problema 4 Un átomo de hidrógeno está en el estado 6g. a) Cuál es el número cuántico principal?. b) Cuál es la energía del átomo? c) Cuál es el valor del número cuántico orbital y del módulo del momento angular orbital? d) Cuáles son los valores posibles para el número cuántico magnético? Para cada valor, determinar la correspondiente componente z del momento angular orbital del electrón y el ángulo que el momento angular orbital forma con el eje z. Solución Problema 4 a) El número cuántico principal es n = 6. b) La energía del átomo es E 6 = E /6 2 =.378 ev. c) El número cuántico orbital es l = 4. El módulo del momento angular orbital es por tanto L = ll + ) h = 2 h = 4.47 h. d) Los valores posibles del número cuántico magnético son m = 4, 3, 2,,,, 2, 3, 4. La componente z del momento angular orbital es L z = m h y el ángulo que forma el momento angular orbital con el eje z viene dado por cosθ = L z /L = m/ 2. 4

5 Problema 5 Considérese un hipotético átomo de hidrógeno en el cual el electrón se reemplaza por una partícula K, que es un mesón con espín igual a cero. De este modo, el único momento magnético se debe al movimiento orbital de la partícula K. Supongamos que el átomo se encuentra en presencia de un campo magnético B z =. T. a) Cuál es su efecto sobre los niveles s y 2s del átomo?. b) En cuántas rayas se divide la raya espectral 2p s?. c) Cuál es la separación en longitudes de onda entre las líneas adyacentes? Nota: la masa de la partícula K es MeV/c 2 y su carga es la del electrón. Solución Problema 5 a) La energía potencial asociada a la interacción entre un momento magnético y un campo magnético que apunta en la dirección del eje z viene dada por U = µ B = µ z B z En el caso de la partícula K, la única contribución al momento magnético proviene de su momento angular orbital, es decir, µ = e ) me L L = µ B K m K h donde µ B es el magnetón de Bohr, m e es la masa del electrón y m K es la masa de la partícula K. Así, el momento magnético de esta partícula estára cuantizado de modo que ) me ll µ = µ B + ) m K µ z = µ B me m K ) m l donde l es el número cuántico orbital y m l es el número cuántico magnético. Por tanto, tendremos tanto niveles de energía como valores de m l, de acuerdo con las expresión ) me U = µ z B z = m l µ B B z m K En vista de esta expresión es fácil ver que el campo magnético no tendrá ningún efecto sobre los niveles s y 2s del átomo, ya que corresponde a l = y m l =. b) De acuerdo con el razonamiento del apartado anterior, el nivel 2p l=) se divide en tres niveles de acuerdo con los tres valores de m l =,,. Estos tres niveles dan lugar a tres rayas en el espectro asociadas a las transiciones electrónicas hasta el nivel s. c) Para calcular la separación en longitudes de onda entre las líneas adyacentes hacemos el siguiente argumento. Primero calculamos la separación en energía E entre los niveles 2p y s utilizando ) ke 2 2 E = E n=2 E n= = m µ h 2 3 ) 2 5

6 donde m µ es la masa reducida del sistema protón-partícula K, m µ = m p m K /m p + m K ) = MeV/c 2 =633. m e. Introduciendo el resto de valores númericos obtenemos que E = ev. La longitud de onda correspondiente será λ = hc/e =.9 nm. Por otro lado, nos podemos calcular fácilmente la diferencia de energías entre dos niveles consecutivos del triplete que surge por acción del campo magnético externo ) me E = µ B B z 6 9 ev m K Ahora, como E E, utilizando λ = hc/e podemos escribir el cambio de longitud de onda λ correspondiente a un cambio en energía E como λ = hc λ E E2 λ = E E Finalmente, introduciendo en esta expresión los valores numéricos calculados anteriormente, obtenemos λ λ λ.8 3 nm Problema 6 a) Determinar la diferencia de energías entre los electrones que tienen su espín alineado y antialineado con un campo magnético uniforme de.8 T cuando un haz de electrones libres se mueve en una dirección perpendicular al campo. b) La famosa línea de 2 cm del átomo de hidrógeno juega un papel fundamental en radioastronomía para estudiar el contenido del material interestelar en las galaxias. Esta línea tiene su origen en la emisión de un fotón cuando el electrón de un átomo de hidrógeno invierte su espín y pasa de estar alineado a estar en la dirección opuesta al espín del protón del átomo de hidrógeno. Cuál es el valor del campo magnético que experimenta el electrón? Solución Problema 6 a) La energía de interacción entre el momento magnético del electrón debido al espín) y el campo magnético vendrá dada por U = µ z B = 2µ B Bm s donde m s = ±/2. De este modo, la diferencia de energías que buscamos vendrá dada por E = 2µ B B = ev. b) Podemos calcular la diferencia de energías entre los dos estados mediante la expresión E = hc/λ = ev. Para calcular el campo magnético correspondiente a este E simplemente utilizamos la expresión del apartado anterior para obtener B = E/µ B B =.5 T. 6

7 Problema 7 a) Calcular la proyección del momento magnético total µ en el vector momento angular total J y demostrar que viene dada por µ J = e h ) g jj + ) J donde g = + jj + ) + ss + ) ll + ) 2jj + ) A g se lo conoce como el factor de Landé y es necesario para calcular el desdoblamiento de los niveles de energía en un campo magnéico. b) Determinar el valor del desdoblamiento o splitting ) en energías de un átomo en un campo magnético B si se supone que el desdoblamiento depende sólo de la componente µ a lo largo de J. Solución Problema 7 a) El momento magnético total es la suma de los momentos magnéticos debidos al momento angular orbital y al de espín La proyección de µ sobre J vendrá dada por µ = µ l + µ s = e e L + 2S) = J + S) µ J J = e J J + J S J Ahora usamos que despejando J S obtenemos L L = J S) J S) = J J + S S 2J S J S = J J + S S L L) 2 Así, podemos reescribir la proyección de µ sobre J como µ J J = e J J + /2)J J + S S L L) J jj + ) h 2 + /2)[jj + ) h 2 + ss + ) h 2 ll + ) h 2 ] jj + ) h = e = e h jj + ) [ + ] jj + ) + ss + ) ll + ) 2jj + ) que es la expresión que queríamos demostrar. b) En el apartado anterior hemos deducido que la componente de µ a lo largo de J es µ j = e h jj + )g 7

8 Si escribimos la expresión anterior en notación vectorial tenemos J µ j = µ j J = e h J jj + )g = e jj + ) h gj El desdoblamiento de energías viene dado por E = µ j B = e gj B = e gbj z = e h gbm j = µ B gbm j Como m j = j, j +,..., j, j, vemos que para un valor dado del campo magnético, cada nivel de energía se desdobla en 2j + niveles, estando la separación entre ellos determinada por el factor g para ese nivel original. 8