Solución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico

Transcripción

1 Solución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico Erika Armenta Jaime Francisco Barrera Raul Camiña Blando Geraldyne L. Castro Herrera

2 Antecedentes Max Plank (1900) propone que la emisión de energía de un cuerpo negro se da en cantidades hν (cuantización de la energía) Einstein (1905) propone que la luz está compuesta por unidades corpusculares (fotones) para explicar el efecto fotoeléctrico. Átomos y moléculas están compuestos por partículas cargadas.

3 Antecedentes Rutherford (1911) establece el modelo atómico planetario. Niels Bohr (1913) introduce el concepto de cuantización de la energía al átomo de hidrógeno. De Broglie (1923) Introduce una componente ondulatoria al electrón (λ=h/mv=h/p) Davisson y Germer (1927) y Stern (1932) observaron patrones de difracción para otras partículas microscópicas (electrones)

4 Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (1926) La mecánica clásica no puede explicar y predecir el movimiento de las partículas. Para conocer el estado inicial y un estado futuro de una partícula microscópica es necesario conocer una función de onda que lo describa. Max Born:

5 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926) Para una partícula unidimensional: Tienes soluciones del tipo:

6 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926) Calculando las derivadas parciales: Sustituyendo en la ecuación:

7 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926) Igualando ambos lados de la ecuación a la constante E:

8 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926) Estados estacionarios

9 Tratamiento clásico del oscilador armónico

10 Descripción inicial de la oscilacion Un cuerpo que repite un solo movimiento continuamente se dice que está oscilando o presenta un movimiento periódico/oscilante.

11 Estos cuerpos se caracterizan por: Posición fija o de equilibrio Al alejarse del equilibrio una fuerza los retorna a su origen Al regresar al origen, ya adquirieron fuerza cinética que les permite continuar con la oscilación (fuerza de restitución) Todo cuerpo que realice esto es un oscilador armónico.

12 Consideraciones: Fuerza normal (N) y gravedad (g) despreciables Resorte de masa despreciable Desplazamiento sin fricción (continuidad)

13 La descripción más sencilla del oscilador, es aquella donde F x es directamente proporcional al desplazamiento x, siendo la constante de proporcionalidad entre ambos k (Ley de Hooke): Esto puede relacionarse con la segunda ley de Newton (F = ma): (1) (2)

14 Una consideración importante a tomar en cuenta, es que el oscilador armónico puede describirse también a través de un movimiento circular simple. Considérese la siguiente imagen:

15 a)x = AcosƟ (3) Describe la componente x del fasor (vector giratorio) del disco en un t determinado, con un Ɵ y un A (radio) determinado b) ω = 2πf (4) Rapidez angular constante, dependiente de frecuencia c) a Q = ω 2 A (5) Vector de aceleración hacia el origen

16 Estas ecuaciones relacionan el movimiento armónico simple con un movimiento circular simple y constante, reflejado a través de la rapidez angular y su relación con k y m (6) (7)

17 En función del tiempo (t), el desplazamiento x del oscilador armónico, puede describirse como sigue: Si en t = 0, el fasor OQ forma un ángulo Φ con el eje +x, entonces, en cualquier instante posterior t, ese ángulo ϴ = ωt + Φ, aplicado a (3) se obtiene: (8)

18 Desplazamiento de (x) es una función periódica de t Se usa la función coseno por su continuidad y simplicidad para representar estos movimientos

19 Considérese ahora el cálculo para la energía del oscilador armónico. Se tienen el siguiente juego de ecuaciones para tal motivo: (9) (10) K = Energía cinética m = masa v = velocidad del cuerpo en cuestión U = Energía potencial del resorte k = Constante de fuerza del resorte x = Desplazamiento o posición en el eje

20 La energia total del sistema viene dado por la suma de K y U : (11) (12) Sin embargo, cuando el cuerpo llega a un punto máximo A de desplazamiento (x = A), este se detiene momentáneamente antes de volver al equilibrio. Por tanto V x y K son iguales a 0.

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22 Tratamiento cuántico del oscilador armónico

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25 Dado que la derivada de la función de onda, debe devolver el cuadrado de x más una constante multiplicada por la función original, se utiliza la forma: Teniendo en cuenta que esta forma (una función gaussiana), satisface el requisito de ir a cero en el infinito, es posible normalizar la función de onda sustituyendo y reordenando esta función en la ecuación de Schrödinger, mediante la evaluación de la derivada segunda.

26 La solución de esta ecuación diferencial depende de unos polinomios conocidos como Polinomios de Hermite, los cuales puede resolverse realizando un desarrollo en serie de potencias. Polinomio de Hermite

27 Estableciendo las condiciones de contorno, resulta la energía del estado fundamental del oscilador armónico cuántico, este conduce a una secuencia de niveles de energía uniformemente espaciados con diferentes valores que dependen del número cuántico n.

28 Representaciones de la función de onda y de la probabilidad de encontrar a la partícula. El oscilador armónico representa correctamente la vibración de un enlace a distancias próximas a la de equilibrio. Para distancias mayores se utilizan otros modelos más complejos.

29 Aplicación de la aproximación del oscilador armónico cuántico La aplicación más importante de esta aproximación es en el área de la espectroscopia vibracional (IR y Raman). Es importante recordar que la distribución energética que posee una molécula en un momento dado está dada por la relación: E Total = E Electronica + E Vibracional +E Rotacional + E traslacional

30 Considerando a una molécula diatómica como objeto de estudio, encontramos que presenta 6 grados de libertad: 3 de traslación 2 de rotación 1 de vibración En el caso de considerar una molécula poliatómica con N átomos en su estructura, va a presentar 3N grados de libertad: 3 de traslación 3 de rotación (2 si es lineal) 3N-6 de vibración (3N-5 si es lineal)

31 Para poder llevar a cabo el estudio físico de estos sistemas complejos, se parte de la aproximación que estos movimientos vibracionales, rotacionales y traslacionales se llevan a cabo de manera independiente para simplificar el tratamiento teórico. De manera experimental los movimientos vibracionales serán estudiados mediante las técnicas espectroscópicas de infrarrojo (absorción) y la espectroscopia Raman (dispersión)

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33 Las espectroscopáas Raman e infrarroja son técnicas complementarias a la hora de estudiar las frecuencias vibracionales de una molécula, ya que algunas bandas fundamentales son visibles en el espectro de infrarrojo pero no en Raman, y viceversa. Raman es de especial interés para moléculas en disolución acuosa ya que el agua no presenta interferencia en el espectro como lo hace en infrarrojo

34 Cuando una molécula absorbe radiación infrarroja, la transición vibracional está acompañada por una transición rotacional. Las reglas de selección para la absorción de radiación infrarroja en una aproximación de oscilador armónicorotor rígido son:

35 En esta aproximación tenemos que la energía debida a la rotación y vibración de una molécula diatómica está dada por la suma estas energías y puede expresarse como Donde, G(v)denota la energía vibracional de la molécula y se conoce como el término vibracional y, F(J) se conoce como el término rotacional.

36 El número de onda y la constante rotacional vienen dadas por las siguientes expresiones: Los valores típicos de v y B están en el orden de 103 cm -1 y 1 cm -1 respectivamente, así que el espaciado entre niveles vibracionales está en alrededor de 100 a 1000 veces el espaciado entre niveles rotacionales

37 No debemos de perder de vista que estos modelos sólo son aproximaciones y que no describen a la molécula real, ya que esta se aleja del comportamiento armónico.