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1 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Efecto fotoeléctrico. [Ynd 22.6; premio Nobel 1921 (Einstein)] Concepto. Ionización del hidrógeno. Se llama efecto fotoeléctrico a la emisión de electrones en un material como consecuencia de la absorción de radiación electromagnética. Fue reconocido por primera vez por Hertz en En 192, Lenard observó que la energía de los electrones emitidos aumenta con la frecuencia de la radiación; esto contradice la teoría clásica del electromagnetismo, ya que las ecuaciones de Maxwell predicen dependencia sólo de la intensidad. La paradoja fue resuelta en 195 por Einstein 1, quien postuló la existencia de cuantos de radiación electromagnética (fotones, en terminología moderna) cuya energía es proporcional a la frecuencia de la radiación. Este trabajo fue el que valió a Einstein el premio Nobel de Física en La física subyacente consiste en la absorción a nivel microscópico de un fotón, que excita un electrón ligado en un nivel cuántico del material con energía suficiente para extraerlo del mismo, o para promoverlo a una banda conductora (de manera que se genere una corriente eléctrica). La forma más sencilla de un proceso de este tipo, que no requiere tener en cuenta e.g. los detalles de la dinámica de un sólido, es la ionización de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental por la absorción de un fotón con energía E γ > 13.6 ev. Este es un proceso de dispersión inelástica γ(k, η) + H(1s) p + e(k ), (21.1) en el que el estado inicial contiene un átomo de hidrógeno en su estado 1s y un fotón con número de ondas k y polarización η, y en su estado final un protón y un electrón 1 Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik 17 (195) 132.

2 21-2 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena libre con momento k. Trabajaremos en el régimen cinemático no relativista 2 k 2 2m e m e c 2, (21.2) y en el sistema de referencia en que el átomo de hidrógeno está en reposo, lo que a su vez implica que también lo está el protón del estado final (recuérdese m p m e ). De hecho, hemos usado esto implícitamente al considerar un momento distinto de cero sólo para el electrón en la Ec. (21.1). Amplitud de transición a primer orden en la interacción radiación materia Como sabemos, al orden dominante en un proceso de absorción de un fotón por una carga la amplitud de transición del proceso estará dada por el elemento de matriz f Ĥ(1) int i = e 2πm donde los elementos de matriz M 1,2 son de la forma d 3 q ε η (q) (M 1 + M 2 ), (21.3) 2Eγ (q) η M 1 = ψ f â η (q) e iq x ˆp Ψ 1s ; γ(k, η), M 2 = ψ f â η (q) e iq x ˆp Ψ 1s ; γ(k, η), (21.4) y ψ f es la función de onda del estado final protón electrón, del que nos ocuparemos más adelante. Como de costumbre, conviene realizar en primer lugar las operaciones fotónicas, de las que se sigue Por lo tanto M 1 = δ ηη δ(k q) ψ f e iq x ˆp Ψ 1s, M 2 =. (21.5) e 1 f Ĥ(1) int i = 2πm Eγ (q) ε η(k) ψ f e ik x ˆp Ψ 1s. (21.6) Para calcular el elemento de matriz restante empezamos estudiando la aplicabilidad de la aproximación dipolar, que simplificaría el problema de manera considerable. La misma requiere poder aproximar e ik x 1, lo que es cierto si el número de onda del fotón incidente k tiene módulo mucho menor que el inverso de las longitudes típicas ˆx del sistema. Sabemos que si la energía del fotón no es suficiente para ionizar el átomo esto se cumple para todos los estados ligados del mismo. Para extender el argumento al caso que nos ocupa, supondremos que la energía del electrón

3 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 21-3 emitido no es mucho mayor que el valor absoluto de la energía de los estados ligados i.e. 2 k 2 /(2m e ) ev. 2 Bajo esta hipótesis, el elemento de matriz se reduce a e 1 f Ĥ(1) int i = 2πm Eγ (q) ε η(k) ψ f ˆp Ψ 1s. (21.7) Ahora estudiamos la función de onda del estado final ψ f. Sabemos que el elemento de matriz de ˆp sólo es distinto de cero para cambios de una unidad en el momento angular total entre los estados inicial y final. Por otra parte, sabemos que las funciones de onda de un sistema no ligado (espectro de dispersión, E > ) de dos cargas eléctricas en el canal de momento angular l son de la forma ψ l (x) = i l (2l + 1) P l (cos θ) f l (k ; r), (21.8) donde P l es el polinomio de Legendre de orden l, f l es una cantidad que para r tiende a la amplitud de dispersión en onda l del sistema de dos cargas, y (r, θ) son coordenadas esféricas en el sistema de referencia k z. 3 Como el estado atómico inicial Ψ 1s tiene momento angular l =, se sigue que el estado final tiene que estar en el canal l = 1, y por lo tanto su función de onda tendrá la forma ψ f (x) = 3i P 1 (cos θ) f 1 (k ; r). (21.9) Finalmente, necesitamos la forma explícita de f 1, que se encuentra resolviendo la ecuación de Schrödinger estacionaria en el potencial de Coulomb para energías positivas. Esta función es complicada, 4 pero en el límite de baja energía k que nos interesa se puede reducir a la forma f 1 (k ; r) e iδ 1 2r a B 2π k n= ( 2r/a B ) n n! Γ(n + 4), (21.1) donde δ 1 es la fase de dispersión en onda p y a B es el radio de Bohr. Por último, usando 2 Ψ 1s (x) = e r/a B (21.11) 3/2 4π a B llegamos a la siguiente forma para el elemento de matriz de materia: ψ f ˆp Ψ 1s = [ r 2 dr 1 1 3i cos θ e iδ 1 d(cos θ) 2r a B 2π k 2π dϕ ] [ ] ( 2r/a B ) n 2 [ i ] e r/a B, n! Γ(n + 4) 3/2 n= 4π a B (21.12) 2 Nótese que esto corresponde a una velocidad del electrón emitido del orden de 1 6 m/s, muy elevada pero considerablemente menor que c, y por lo tanto en el régimen no relativista (el factor de Lorentz correspondiente es (1 v 2 /c 2 ) 1/ ). 3 Nótese que esta elección del sistema de referencia hace que θ sea el ángulo relativo entre k y k. 4 Se puede encontrar la expresión completa en cualquier texto general de Mecánica Cuántica.

4 21-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena ergo f Ĥ(1) int i = 3 2 π e e iδ 1 ε η(k) I, (21.13) ckk a 3 B donde el vector de integrales I está dado por I j = 1 2π r 2 dr d(cos θ) dϕ cos θ x j e r/a B 1 n= ( 2r/a B ) n n! Γ(n + 4). (21.14) Es fácil comprobar que I 1 = I 2 =, de manera que sólo hay contribución de la componente j = 3: f Ĥ(1) int i = (constante) eiδ 1 kk ε(3) η (k) dr r 3 e r/a B n= ( 2r/a B ) n n! Γ(n + 4). (21.15) La integral radial es más simple de lo que parece, porque luego dr r n+3 e r/a B = Γ(n + 4) a n+4 B, (21.16) dr r 3 e r/a B n= ( 2r/a B ) n n! Γ(n + 4) = n= ( 2) n n! = exp( 2). (21.17) Esto completa el cálculo de la amplitud. Sección eficaz Para calcular la sección eficaz de dispersión a partir de la amplitud seguimos el procedimiento habitual para un proceso con dos partículas en los estados inicial y final. En nuestro caso la velocidad relativa es v 12 = c, 5 y el ángulo sólido de dispersión es el subtendido por k respecto a k. La aplicación de la fórmula para dσ/dω arroja, después de un oportuno reagrupamiento de las constantes multiplicativas, el resultado dσ dω = 128π exp(4) α a2 B ( ) Ry E γ ε (3) η (k) 2, (21.18) 5 La velocidad relativa entre el fotón y el electrón es siempre c por invariancia Lorentz; pero incluso ignorando la relatividad especial, el límite de baja energía en k implicaría v 12 c.

5 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 21-5 donde α es la constante de estructura fina, y Ry = 13.6 ev es la energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno. Finalmente, es fácil demostrar que ε (3) η (k) 2 = 1 2 sin2 θ, así que dσ dω = 64π exp(4) α a2 B ( ) Ry E γ sin 2 θ k 64π exp(4) α a2 B sin 2 θ, (21.19) donde en el último límite se ha usado que si k (electrón emitido con energía nula) la energía del fotón es justo 1 Ry. Vale la pena subrayar algunas propiedades del resultado: La sección eficaz tiene un valor típico determinado por la superficie 4πa 2 B del átomo 6, multiplicada por la constante de estructura fina α que mide la fuerza de la interacción electromagnética fotón electrón. Es inversamente proporcional a la energía del fotón, cuyo valor natural en nuestro límite de baja energía es el Ry (la energía mínima necesaria para ionizar el átomo). La modulación en θ es tal que la sección eficaz se anula para θ =, y es máxima para θ = π/2. Esto implica que la dirección preferida para la emisión de electrones es perpendicular a la dirección de incidencia de la radiación (cf. la figura del inicio). Obviamente, si usamos E γ = ω se sigue la dependencia de la frecuencia en las propiedades de las corrientes eléctricas formadas por electrones extraídos del medio atómico, en contraste con la predicción de la teoría clásica. 6 Nótese que 64/ exp(4) 1.17, i.e. un número de orden 1.

6 21-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena

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