red directa y red recíproca

Transcripción

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2 Cualquier plano puede caracterizarse por un vector perpendicular a él ( hkl ) Familia de planos hkl con distancia interplanar d hkl Tomemos hkl = 1/ d hkl hkl representa a toda la familia de planos con distancia interplanar d hkl. El producto escalar entre este vector y el vector de posición (d' hkl ) de un punto perteneciente a uno de los planos de la familia es un número entero (n) que nos indica el orden de dicho plano dentro de la familia hkl: 0 sería para el plano que pasa por el origen, 1 para el primero, 2 para el segundo, etc. Por lo tanto, σ hkl representa a toda la familia de planos hkl con espaciado interplanar d hkl, y en particular para el primero de dichos planos se cumple que el producto σ hkl d hkl = 1.

3 Red recíproca De esta manera, resulta que los vectores normales (σ hkl ) son recíprocos a los espaciados interplanares. Los extremos de estos vectores forman también una red periódica de puntos, que por esa propiedad ddde reciprocidad ddse llama red recíproca de la red original de traslaciones. Los puntos recíprocos así obtenidos reciben el triplete de números hkl (índices de Miller) que representa a la correspondiente familia de planos.

4 Relación entre celda directa y recírpoca Ejes y ángulos de la celda directa a, b, c, Ejes y ángulos de la celda recíproca a*, b*, c*,, Los ejes recíprocos (a*, b*, c*) corresponderán a los vectores σ 100, σ 010 y σ 001, respectivamente Cualquier vector recíproco se puede expresar como una combinación lineal de estos tres vectores recíprocos de base y cuyas componentes son los índices del vector, es decir, los índices de la familia de planos que describe: σ hkl = h a* + k b* + l c*

5 Relación geométrica entre los ejes de la celda directa y recíproca donde V = (a x b). c = a. b. c (1 cos 2 α cos 2 β cos 2 γ + 2 cos α cos β + 2 cos α cos γ + 2 cos β cos γ) 1/2 De acuerdo con las definiciones anteriores, el módulo de a* es igual a la inversa del espaciado d 100 ( a* = 1/d 100 ), que b* = 1/d 010 y que c* = 1/d 001, y que, por lo tanto los productos escalares: a.a* = 1, a.b* = 0 y análogamente con el resto de parejas de ejes.

6 Interferencia y difracción Una perturbación ondulatoria (una onda) se propaga a una cierta velocidad (v) y se modela satisfaciendo la llamada ecuación de ondas, escalar o vectorial, dependiendo de la naturaleza de la perturbación. Las solucionesde esta ecuación son, combinaciones de términos trigonométricos que vienen caracterizados, cada uno, por una amplitud (A), que mide el valor extremo (máximo o mínimo) respecto de una situación de equilibrio de la perturbación, y una fase Φ: Φ = 2π(K.r ν.t t + α) ) Donde K es el vector de onda, es la frecuencia, es el desfase relativo, t es el tiempo y r es el vector de posición.

7 Condiciones de difracción Teorema: El conjunto de vectores de la red recíproca σ determina las posibles reflexionesde rayos X. La diferencia de fase entre el rayo incidente id y el dispersado d por el elemento de volumen que está separado una distancia r es: exp[i(k k ).r] k ) Rayos x incidentes e ik.r dv cristal k k r O Rayos x salientes e ik.r La amplitud de la onda dispersada en la dirección k es proporcional a la integral sobre el cristal n(r)dv por el factor de fase: Donde k+ k=k k cambio en el vector de onda o vector de dispersión

8 Introduciendo d las componentes de Fourier de n(r) () a la expresión de la amplitud: Cuando el vector de dispersión es igual al vector de la red recíproca el argumento de la exponencial es cero y a=vn G. En dispersión elástica la energía del fotón Ñ se conserva y por lo tanto la frecuencia =ck del rayo saliente es igual a la frecuencia =ck del rayo incidente k=k y k 2 =k 2. De este resultado: k= ó k + = k La condición de difracción es (k + ) 2 = ó 2k + 2 =0 La ec. Anterior es otra forma de la ley de Bragg

9 Ecuaciones de Laue El resultado k= k puede expresarse de otra manera para dar las ecuaciones de Laue. Tomando el producto escalar de k con a, b, c de la red cristalina se obtienen tres condiciones de Laue del vector de dispersión: Estas tres condiciones i de Laue se cumplen siempre que el vector k sea un vector de la red recíproca k*, de forma que sea: k = h a* *+kb* +l l c* pues, debido a las propiedades de la red recíproca, se cumplirá que: k hkl a = h, k hkl b = k y k hkl c = l Es decir, que las tres condiciones de Laue (Premio Nobel de Física en 1914) son equivalentes a establecer que el vector k seaunvectordelared red recíproca ( k = k * hkl ).

10 Además, si se cumplen las condiciones de Laue, y todos los átomos, situados sobre la secuencia de planos paralelos a uno dado de índices hkl con distancia al origen D P que sea un múltiplo entero de d hkl,, difractarán en fase, pues el factor de desfase geométrico será: (k k ) ) r = n λ y se producirá un máximo de intensidad en la dirección de difracción: k = k + λ * hkl N hkl es el vector unitario normal a toda la secuencia de planos que, como hemos visto, en condiciones de máximo de difracción, viene dado por: N hkl = * hkl d hkl La ecuación del plano queda, pues: * hkl r = * hkl r i = * hkl r i cos ( * hkl, r i ) = (1/d hkl ) D P = n

11 En la figura se da una descripción del modelo de Bragg cuando se trata de secuencias de planos del mismo espaciado, pero formados a su vez por átomos de distinto tipo, separados por Δd.Esta separación geométrica origina diferencias de fase dentro de un mismo haz difractado que provocan interferencias y que dan lugar a variaciones i de intensidad id d( (según la dirección), ió lo que permite obtener información de la estructura de los átomos que forman el cristal.

12 Esfera de Ewald Los vectores H ( ) pueden considerarse como pertenecientes a una esfera de radio 1/λ centrada en el punto definido por el vector -s 0 /λ (-k/ ) respecto del origen donde se sitúa el cristal. Esta es la llamada esfera de Ewald, que proporciona una interpretación geométrica, para las posiciones de máximo de difracción, ió pues cuando los vectores H pertenecen a la red recíproca y ésta corta a la esfera de Ewald, se producen máximos de difracción, y el cristal queda situado en posición de Bragg.

13 En esta figura aparece todo el volumen recíproco que puede dar lugar a máximos de difracción al girar la muestra. Cambiando las orientaciones, sepueden recoger todos los haces correspondientes al espacio recíproco contenido en una esfera de radio 2/λ, que se denomina esfera límite.

14 Según la ley de Bragg, el máximo ángulo al que se puede obtener la difracción corresponde al valor máximo de la función seno (la unidad), es decir, que la máxima resolución teórica que se puede alcanzar entre átomos es de λ/2. En la práctica, debido a la disminución de los factores atómicos de dispersión cuando aumenta el ángulo de Bragg, sólo aparecen intensidades apreciables hasta un valor máximo θ max < 90º y la resolución práctica que se alcanza será d min = λ/2 sen θ max. Si se considera que d hkl es una constante de la muestra, al disminuir la longitud de onda incidente, la ecuación de Bragg nos indica que los ángulos de difracción ió (θ) serán menores y por lo tanto el espectro se contrae, pero por contra se pueden obtener más órdenes de difracción y disponer así de mayor resolución estructural. Ampliación del espectro medible al disminuir la longitud de onda, según el modelo de Ewald

15 Cálculo de la distancia interplanar para los diferentes sistemas cristalinos