7 Estadísticas cuánticas; fermiones.

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1 7 Estadísticas cuánticas; fermiones. ersión borrador. Un gas de Fermi es un sistema de partículas en el que las interacciones entre ellas son su cientemente débiles de forma que los estados monoparticulares no se ven afectados por la presencia de las demás partículas. El modelo tiene aplicaciones útiles en el estudio de electrones de conducción en metales, estrellas enanas blancas, la materia nuclear y muchos otros sistemas. 7. Gas de Fermi degenerado La distribución de Fermi es: f F D (") = e (" )=kt + A temperatura T =, el argumento de la exponencial es para " < y + para " >. Por lo tanto, la ocupación es la unidad para todos los estados con energía menor que y cero para los estados con energía mayor que. El gas de Fermi totalmente degenerado (a T = ) es un sistema en el que todos los estados por debajo del potencial químico están ocupados y todos los estados por encima están vacíos. Recordemos que por de nición, la energía de Fermi " F es igual a (T = ), y que la temperatura de Fermi es T F = " F =k. Si el sistema de fermiones es grande (volumen y número de partículas) el espectro de energías puede considerarse cuasi-continuo, ya que el espaciamiento entre niveles de energía es muy pequeño respecto al valor de la energía. El espectro de energías se expresa entonces mediante la densidad de estados g(") (monoparticular). Para partículas con nadas en una caja cúbica de arista L se tiene: g(") = p m } 3= " = Si los niveles energéticos tienen degeneración g entonces la densidad de estados es: g(") = g p m } 3= " = Por ejemplo: si se trata de electrones libres g =, ya que cada nivel de energía puede acomodar dos electrones con espines opuestos. En la aproximación continua al número de estados, el número total de partículas es: N = f F D (")g(")d" Esta expresión determina en función de N y T. La energía total es: hei = "f F D (")g(")d" Si el gas de Fermi es totalmente degenerado (T = ) la función de Fermi es la función escalón (" " F ) por lo que el potencial químico y la energía de Fermi tienen un valor igual a la del estado ocupado de mayor energía. Además el número de partículas y la energía total son: N = hei = g(")d" "g(")d"

2 Si la temperatura del sistema es baja en comparación con la temperatura de Fermi (gas de Fermi degenerado), la distribución de Fermi di ere de la función escalón sólo en un reducido entorno alrededor de. El cálculo de en función de T (para N jo) requiere cálculo numérico, y depende de g(") del sistema concreto que se trate. 7. Electrones en metales En algunos materiales, por ejemplo los metales, algunos electrones se encuentran deslocalizados, y puede considerarse que los electrones viajan libremente por el material (en un modelo sencillo). La densidad de estados para electrones en una caja cúbica de arista L es: g (") = p m 3= " = } donde se ha tomado g = para tener en cuenta la degeneración de espín de los electrones. El número total de electrones N es: hni = N = g (") f F D (") d" que sirve para determinar el potencial químico (en función de N y T ). Por otra parte, la energía del sistema (que es de origen cinético) es: hei = E = "g (") f F D (") d" En particular, si T =, el número de electrones determina la energía de Fermi: N = g (") d" = p m = 3= m 3 } " 3= F ; =3 N } " F = m 3 =3 } 3= " = d" = Entonces, la energía de Fermi depende exclusivamente de la densidad de electrones, o viceversa. Por ejemplo, para el oro, cada átomo cede un electrón al gas de electrones, de forma que la densidad de electrones es la misma que la de átomos: n = N = M m Au = La energía de Fermi en el oro es: y la temperatura de Fermi del oro: = 9:3 3 Kg/m 3 P A Au =N A 97 3 N A = 5:9 8 m 3 Kg " F (Au) = 5:5 e T F (Au) = 64 K Temperaturas de Fermi similares se obtienen para otros metales, por lo que su comportamiento a temperatura ambiente (3 K) es la de un gas de Fermi degenerado. Es habitual de nir la velocidad de Fermi v F como la velocidad correspondiente a la energía cinética correspondiente a la energía de Fermi: mv F = " F

3 3 4 5 Chemical Potential T Figure : Potencial químico (en unidades de la energía de Fermi) en función de la temperatura (en unidades de la temperatura de Fermi). Para el oro se tiene v F = :4 6 m/s: La energía total es (para T = ): E = = 5 "g (") d" = p m 3= m } " 5= F } 3= " 3= d" = de lo que se deduce que, contrariamente a lo que se puede esperar de partículas clásicas, incluso a temperatura cero, la energía cinética puede ser particularmente alta. La energía media por electrón es: E N = ::: = 3 5 " F de donde se obtiene una sencilla expresión para la energía total: E = 3N" F =5. La densidad de estados a la energía de Fermi es: g(" F ) = p m 3= " = } = 3 = 3N " F 3 3= m } " 3= F " F = El cálculo de en función de T (para N jo), esto es, en el régimen no degenerado, requiere cálculo numérico. En la gura adjunta se muestra (T ) para N jo en un gas tridimensional de electrones libres. Puede apreciarse que para temperaturas mucho menores que la de Fermi, el potencial químico permanece muy próximo a la energía de Fermi. El aumento de la temperatura hace bajar el potencial químico, que pasa a ser negativo para temperaturas altas, como corresponde al caso clásico (ver colectivo canónico). El cálculo de la energía total en función de T también requiere técnicas de cáclulo numérico. El resultado se muestra en una gura adjunta. A altas temperaturas (régimen clásico) la energía crece linealmente con la temperatura, como establece el teorema de equipartición de la energía. Calculemos ahora la capacidad calorí ca del gas de electrones degenerado, esto es, en el límite de bajas temperaturas. Para ello utilizaremos la aproximación de que el potencial químico es muy próximo a la energía 3

4 E Internal Energy.5.5 T Figure : Energía de un gas de Fermi (unidades reducidas) de Fermi ( ' " F ), que es una constante. En este caso, la función de Fermi es: f F D ' e (" " F )=kt + La capacidad calorí ca es, tomado como origen de energías N" F (esto se hace para que la integral tenga una forma tabulada): [E(T ) N" F ] "f F D (")g (") d" " (" " F ) f F D (")g (") d" = (" " F F D(") g (") f F D (")g (") d" = Si T << T F, F D (")=@T sólo di ere apreciablemente de cero en un pequeño entorno de energías alrededor de " F. Por lo tanto, la única densidad de estados relevante es aquélla alrededor de " F, donde podemos considerarla constante:! (" ' " F ) '! (" F ). La capacidad calorí ca D (") C (T < < T F ) = g (" F ) (" " F ) d" Z " # (" " F ) e (" "F )=kt = g (" F ) (" " F ) kt e (" " F )=kt + d" = = g (" F ) k x " F =kt e x (e x + ) dx donde se ha hecho el cambio de variable x = (" " F ) =kt. El límite inferior de la integral puede extenderse a, ya que el factor e x es despreciable ya en x = " F =kt (para el gas de Fermi degenerado se tiene kt << " F ). El valor de la integral es: x e x (e x dx = + ) 3 4

5 C Isochoric Heat Capacity T Figure 3: Capacidad calorí ca a volumen constante de un gas de Fermi (en unidades de kt) en función de la temperatura (en unidades de la temperatura de Fermi) Finalmente, la capacidad calorí ca es: C (T < < T F ) = 3 g (" F ) k T = = N k T = N " F k T T F Por tanto, la contribución a la capacidad calorí ca del gas de electrones en un metal crece linealmente con la temperatura. A esto hay que añadir la capacidad calorí ca de los átomos del sólido. Si se trata de un modelo de Einstein, C tiene una dependencia exponencial a bajas temperaturas (en comparación con la temperatura de Einstein). El modelo de Debye (que veremos más adelante) predice una dependencia cúbica de C con la temperatura. En ambos casos la contribución electrónica domina a temperaturas su cientemente bajas. Naturalmente, la contribución electrónica tiende al límite clásico (C (T >> T F ) = 3Nk=) para temperaturas su cientemente altas (ver gura). La presión del gas de fermi (con N constante) completamente degenerado (T = ) se obtiene de la enegía libre de Helmholtz F todo el sistema: F = E T S = E @ donde E es la energía del sistema (obtenida anteriormente): E = 3N" F =5 Así, la presión tiene origen en el aumento de la energía de Fermi (y por tanto la total) cuando se reduce el volumen: F p = = 3N 5 3 " F = N 5 " F = = ::: = 3 =3 } 5=3 N 5 m Esto es, al contrario que en un gas clásico, la presión de un gas de fermiones no se anula para temperatura igual a cero. Insertando la densidad del gas de electrones libres para el oro se obtiene p = atmósferas. 5

6 7.3 Estrellas enanas blancas Las enanas blancas son el estadio nal en la vida de una estrella de masa baja o moderada. Se estima que acaban sus vidas como enanas blancas las estrellas con masas entre 6 y 8 veces la masa del Sol, es decir, aproximadamente el 95% de las estrellas de la Galaxia. El modelo más simple de enana blanca considera que todo el hidrógeno ha sido convertido en helio y que la contracción gravitatoria ha reducido su radio a un valor similar al de la Tierra, manteniendo sin embargo una masa comparable con la del Sol. El peso de la estrella, que en una estrella normal es soportado por la presión del gas y, sobre todo, por la presión de radiación de los fotones que generan las reacciones nucleares, es equilibrado por la presión de degeneración de los electrones de la estrella, que vagan por ella y entre los núcleos completamiente ionizados de manera muy similar a como lo hacen los electrones de un metal. La masa de la estrella se determina a partir de medidas de los periodos orbitales de estrellas dobles. Sirio, la estrella más brillante vista desde la Tierra, tiene una compañera enana blanca (Sirio B). La masa se estima en 3 kg (similar a la del Sol). El radio de Sirio B se estima de 7 m ( km). El radio puede obtenerse de la relación entre la temperatura de la estrella (que puede obtenerse, por ejemplo, del ensanchamiento Doppler) y su luminosidad (que depende de su super cie, como veremos en el apartado dedicado a los fotones). La densidad media de la estrella es: = M ' 6 7 kg/m 3 La densidad es muy alta, si se compara con la del Sol ( 3 kg/m 3 ). La distancia media entre átomos de Helio (de masa m = 6:6 7 kg) será: =3 =3 d ' n o = = átomos de He M=m =3 m ' 4:7 m La distancia entre núcleos de helio es mucho menor que el tamaño de los orbitales electrónicos del Helio, de forma que los electrones se encuentran ionizados y vagan por el interior de la estrella. La longitud de onda térmica de los núcleos de He es = p h =mkt = :7 3 m ; por lo tanto se pueden considerar clásicos. La densidad de electrones ( por átomo) es: La energía de Fermi es: " F = n = N = M=m ' 34 m 3 =3 N } m 3 =3 ' 4 5 J = 5 ke La energía en reposo de electrón es m e c = 5 ke. La temperatura de Fermi es: T F = " F k = 3 8 K La temperatura de la estrella es alrededor de 7 K, luego se trata de un gas de fermiones degenerado. La presión del gas de electrones es: La presión del gas de núcleos de helio es: p e = 5 n" F = 7 8 N/m p He = n He kt = 8 N/m 6

7 ,,8 E potencial,6 E,4 E cinética,,,,,4,6,8, M Figure 4: A partir de cierta masa total la energía potencial gravitatoria es mayor que la cinética del gas de electrones. Entonces es fundamentalmente la presión del gas de electrones la que contrarresta la contracción gravitatoria, y no los núcleos de helio. Además, la presión del gas de Fermi no disminuye con la temperatura de la estrella, al contrario que la del gas de núcleos de helio. Sin embargo estrellas que cuyo radio sea menor, presentan mayor densidad de electrones, llegándose a velocidades de fermi comparables a la de la luz. La densidad de estados para los electrones es entonces otra (g(") = ", para la relación energía-momento " = pc) manteniéndose sin embargo la situación (~c) 3 kt << " F. La energía del gas degenerado de electrones ultrarelativistas es entonces (ejercicio): E = N e 3 4 " F Por otra parte la energía de fermi (ejercicio) y la energía cinética total son: " F = 3 =3 Ne ~c E e = =3 Ne 4=3 ~c = 3 =3 4 3 =3 R = 3 9 R 4 4 =3 ~cne 4=3 = 4 =3 ~cne 4=3 = 4=3 A~cNe con A = :44 R La masa M de la estrella (la de los protones y neutrones, fundamentalmente) de densidad uniforme conlleva una energía potencial gravitatoria U g = (3=5) GM =R que aumenta cuadráticamente con M (en valor absoluto). Sin embargo la energía E e del gas de electrones aumenta con M 4=3 (ver gura). El número de electrones es la mitad que de nucleones ya que se trata de átomos de helio. Es decir, N e = M=m n, donde m n es la masa de los nucleones. Resulta que existe una masa M (número y masa de las partículas de los núcleos ionizados) a partir de la cual la presión del gas de electrones no puede soportar la contracción gravitatoria, esto es, si la masa de la estrella es mayor que M se produce el colapso gravitatorio. Para estimar esta masa podemos considerar que en este caso las energías gravitatoria y del gas degenerado de electrones son similares U g (M ) = E e (M ), es decir: 3 5 GM = A~cNe 4=3 3= 5 M = 3 A~c G 7 4m n

8 Es una expresión notable que contiene cuántica (~), relatividad (c) y gravitación (G). Insertando valores (m n = :6 7 Kg): M = :7 3 Kg = :3 M sol ( M sol =masa solar) El cálculo exacto fué realizado por Chandrasekhar (nobel 983), que obtuvo M = :44M sol. 7.4 Materia nuclear Consideremos la materia de los núcleos atómicos, formada por neutrones y protones (que tienen espín =). eremos que se trata de un gas de fermiones degenerado. El radio R de un núcleo atómico puede obtenenerse de la relación empírica: R = :3 5 A =3 m donde A es el número total de nucleones. La densidad de partículas es, pues, aproximadamente constante: n = N = A 4 ' 44 m 3 3 R3 Nótese que es una densidad mucho mayor que la de una estrella enana blanca. Los protones son obviamente distinguibles de los neutrones, por lo que cada sistema (neutrones y protones) tendrá su propio potencial químico. Supongamos, para simpli car, que el número de protones y neutrones es el mismo. Entonces la densidad de cada uno de ellos será :5 44 m 3. La energía de Fermi de cada uno de ellos es: " F = =3 N } m 3 =3 ' 4 J = 5 Me La energía en reposo de los protones o neutrones es mc velocidades relativistas. La temperatura de Fermi es: = Ge, luego está justi cado no considerar T F = " F =k = 3 K. La presión del gas de Fermi (de los protones o de los neutrones) es: p = 3 =3 5 } m 5=3 N = 4:3 33 Pa 8 atm Esta enorme presión ha de estar compensada con la interacción atractiva entre nucleones. Parece razonable llamar fuerza fuerte a esta interacción. 8