Física Estadística. A entregar: Lunes 16 de mayo de 2011.

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Juan Francisco Macías Piñeiro
hace 6 años
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1 Física Estadística A entregar: Lunes 16 de mayo de En esta tarea necesitará el uso de las funciones de Bose g n (α). Los siguientes resultados pueden ser de utilidad. La función de Bose se define como g n (α) = 1 x n 1 dx Γ(n) 0 e x α 1 si Re(n) > 0 y α 0. Entre otras, tiene las siguientes propiedades, d dα g n(α) = g n 1 (α) g n (α) e α si α n g n (0) = constante finita si n > 1 g n (α) si α 0 para n 1. Prob. 36. Capacidad Calorífica de un gas de bosones. En clase hallamos que el gran potencial para un gas ideal de bosones (s = 0) en un recipiente de paredes rígidas está dado por Ω(T, V, µ) = kt V g λ 3 5/2 (α), (1) T donde λ T = h/ 2πmkT es la longitud de onda de de Broglie, α = µ/kt y g 5/2 (α) es la función de Bose n = 5/2. a) Calcule la entropía de este gas, como función de (T, V, µ). Muestre que se puede escribir como, S(T, V, µ) = k V λ 3 T ( 5 2 g 5/2(α) αg 3/2(α)). (2) b) Calcule los límites de la entropía para T 0 y T. Verifique que se obtienen los valores esperados y haga un bosquejo de la función para toda temperatura. 1

2 c) Calcule la capacidad calorífica a volumen constante, ( ) S C V = T. (3) T Note que tal función está definida a N = constante, y por lo tanto, tiene que tener cuidado al usar el resultado del inciso a), ya que en ese caso S está expresada como función de µ y no de N. Muestre que la capacidad calorífica se puede expresar como, C V = 3 2 k V [ 5 g 5/2 (α) g λ 3 3/2 (α) T 2 g 3/2 (α) 3 ] g 3/2 (α). 2 g 1/2 (α) d) Calcule los límites de C V para T 0 y T. Verifique que se obtienen los valores esperados y haga un bosquejo de la función para toda temperatura. N,V Prob. 37. Gas de Bose en DOS dimensiones La dimensionalidad del espacio, muy seguido, juega un papel crucial en la existencia de ciertos fenómenos. Lo que puede ser cierto en una dimensión, no necesariamente es válido para 2 o 3 dimensiones. En este Problema usted va a mostrar que un gas de Bose en dos dimensiones, confinado por paredes rígidas i.e. una monocapa de bosones, no exhibe el fenómeno de Condensación de Bose-Einstein. Considere un gas de bosones, spin s = 0, confinados en un recipiente bidimensional de paredes rígidas de área A = L 2, H = N i=1 p 2 i 2m si r i A El momento de las partículas puede cuantizarse como p = h k con k = (2π/L)(m x, m y ), con m x y m y en los enteros. Lo que tiene usted que mostrar es que en un gas bi-dimensional siempre se puede lograr colocar todas las partículas en la fase del gas normal, para cualquier valor de N/A y T. Empiece con la expresión N = k 1 e α+βɛ k 1. 2

3 Igual que en el caso en 3 dimensiones, α = βµ es negativo y puede hacerse cero. a) Exprese la densidad de partículas N/A como una integral en el espacio de momento k, en dos dimensiones. Justifique la identificación, k L2 (2π) 2 dk x dk y. b) Examine la expresión obtenida en (a) y decida si existe o no, a una temperatura T dada, una densidad N/A tan alta que se requiera de un condensado. O equivalentemente, si a una densidad N/A dada, existe una temperatura T tan baja que se requiera la presencia de un condensado. c) De una relación aproximada entre (N/A) y α en el límite de muy alta (N/A). Prob. 38. Unos calculitos de bosones... a) La densidad del helio líquido es ρ =0.146 g/cm 3. Calcule la temperatura de la condensación de Bose-Einstein a esta densidad. b) En 1995, Eric Cornell en Colorado logró experimentalmente la condensación de Bose-Einstein con átomos de Rubidio 85 ( 85 Rb). La temperatura se estimó en aproximadamente 10 9 K. Suponiendo que el gas está contenido en un volumen de paredes impenetrables, calcule la densidad de átomos. Compárela con un gas a temperatura y presión ambientes. 3

4 Prob. 39. Gas de Bose en una trampa armónica En los experimentos recientes de gases de átomos alcalinos bosónicos ( 23 Na, 85 Rb, por ejemplo), tales sistemas no están contenidos en recipientes de paredes rígidas sino confinados por campos magnéticos inhomogéneos, es decir por trampas. Uno de los casos más comunes es la trampa armónica. Suponiendo que el gas es ideal, el Hamiltoniano del sistema es en este caso, [ N p 2 H = i 2m + 1 ] 2 mω2 r i 2, (4) i=1 es decir, N átomos confinados por un campo externo armónico en 3 dimensiones. Los estados de una partícula son, pues, los de un oscilador armónico tridimensional { >= m x, m y, m z >} con m i = 0, 1, 2,... y con energías ɛ = hω(m x + m y + m z ). Note que hemos escogido el origen de la energía tal que la energía del estado base es cero, ɛ 0 = 0. El formalismo desarrollado en clase se aplica directamente simplemente usando los estados anteriores. En particular, el gran potencial es Ω(T, V, µ) = kt ln ( ) 1 e α βɛ (5) con α = µ/kt y β = 1/kT ; supusimos, por sencillez, que los átomos tienen spin s = 0. La termodinámica puede ser obtenida de Ω siguiendo los procedimientos usuales. Así, podemos obtener el número promedio de átomos en la trampa, N = 1. (6) e α+βɛ 1 a) Muestre que la densidad de estados en este problema es ρ(ɛ) = ɛ 2 /2( hω) 3, tal que podemos reemplazar en la fórmulas termodinámicas ρ(ɛ)dɛ = 0 0 ɛ 2 dɛ. (7) 2( hω) 3 Sugerencia: Calcule Γ(ɛ), el número de estados con energía menor o igual a ɛ y recuerde que ρ(ɛ) = dγ(ɛ) dɛ. (8) 4

5 Para calcular Γ(ɛ) note que ɛ = hω(m x + m y + m z ) define un plano en el espacio (m x, m y, m z ). Entonces, Γ(ɛ) es el volumen contenido bajo tal plano. b) Muestre que el número de partículas en la trampa, para α < 0, puede expresarse como ( ) 3 kt N = g 3 (α), (9) hω donde g 3 (α) es la función de Bose n = 3. Analice esta expresión y muestre que se obtiene el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein. Calcule la temperatura de transición para valores dados del número de partículas y de la frecuencia ω de la trampa. 5

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