Introducción. ε = + no ha sido bien interpretada, tampoco

Transcripción

1 Introducción La modelación propuesta para los sistemas de muchas partículas con base en un tratamiento diferente a un ensemble de bosones y fermiones tiene consecuencias inmediatas en la formación de pariones. Por ejemplo, en la teoría microscópica se puede reinterpretar la relación entre gap de energía y temperatura crítica. La formación de pariones en un material conductor debido a la interacción electrón fonón es muy importante en la explicación de la superconductividad. La atracción entre electrones es consecuencia del intercambio de un fonón que conduce a la formación de un estado ligado con momento opuesto y un gap en el espectro de energía. Una característica de la excitación del espectro de energía del par de electrones en superconductores, es la aparición de un gap de energía, el cuál es equivalente a la energía de ligadura del par y depende de la temperatura, que alcanza su valor máximo en T = 0 K. Hay diferentes interpretaciones del gap, sin embargo aquí se plantea que el hecho de nombrarle gap es problemático y no apropiado porque representa una zona de energía permitida para el parión y prohibida para electrones individuales. El correspondiente espectro de energía, es decir, la ley de dispersión obtenida de la teoría BCS ( k) E ( k) ( k) ε = + no ha sido bien interpretada, tampoco 11

2 correctamente usada por sus autores, debido a que no es clara la dependencia de la temperatura en el gap de energía ( k ). Después que la BCS fue establecida, muchos trabajos fueron en la dirección de hacer correcciones a las ecuaciones para obtener la temperatura crítica 2, usando teoría de muchos cuerpos y funciones de Green. Sin embargo no hay trabajos dedicados a calcular tales temperaturas, basadas en la ley de dispersión, la cual tiene diferente interpretacion comparada con la BCS. En el presente trabajo se ha calculado, usando la teoría del campo autoconsistente, la energía de los pariones correlacionados por la interacción electrón-fonón-electrón, considerando el hamiltoniano de electrones y fonones antes y después de llegar a la temperatura crítica. Por debajo de la temperatura crítica se obtiene que la energía cinética de los electrones libres con k r y k r es eliminada y la energía de los fonones es igual o proporcional a la energía del par de electrones para cada temperatura en el intervalo [ 0, T C ]. La interacción electrón-fonón es tratada en términos de los operadores de creación y aniquilación de Bose como producto de operadores de Fermi, que son los electrones correlacionados, acoplando la repulsión coulombiana de los electrones con la interacción electrón-fonón de cada electrón del par, lo que lleva a un par de electrones en equilibrio con una energía total constante donde el efecto de disminuir o aumentar la temperatura en el intervalo [ 0, T C ] sólo cambia el estado interno del par, es decir sólo hace más o menos ligado el par. Por otro lado, se ha obtenido una expresión para la temperatura crítica, la cuál es muy similar a la reportada en la literatura; esto permite definir un parámetro, el cuál caracteriza la propiedad particular de cada superconductor. Finalmente, usando la ley de dispersión y este parámetro, se obtiene una expresión para el gap de energía, o mejor dicho una energía de adhesión del par, la cual depende de la temperatura y la temperatura crítica como los describen los experimentos. 12

3 Es bien conocida la propiedad distintiva de los superconductores que anulan su resistencia eléctrica al alcanzar su correspondiente temperatura crítica, también se sabe que existe una corriente eléctrica, que se daría en portadores de carga libres que se puedan mover cuando el campo eléctrico es aplicado. En semiconductores y dieléctricos no existen portadores libres de carga a cero Kelvin, por lo tanto a bajas temperaturas no hay corriente eléctrica en esos materiales. Así, es imposible que ambos, conductividad y superconductividad existan en materiales donde los portadores de carga libres no existan como ocurre en semiconductores y dieléctricos. Si se introducen portadores de carga en esos materiales en alguna fase conductora, como en el caso de planos y cadenas de Cu O en superconductores cerámicos de alta temperatura crítica, entonces pudiera darse superconductividad a través de esos planos y cadenas. En la teoría de Hartree Fock 3 de electrones libres, el conjunto de ondas planas de cada electrón libre con vector de onda k r ocurre dos veces (por la orientación del espín) en el determinante de Slater. Si la onda plana es efectivamente la solución de este problema, entonces la densidad de carga electrónica asociada será uniforme; sin embargo en un gas de electrones libres, los iones son representados por una distribución uniforme de cargas positivas con la misma densidad de carga electrónica. Aquí precisamente el potencial electrónico cancela el potencial de los ion el iones U + U = 0. Entonces los electrones libres sólo pueden ser dispersados por los fonones. En los sólidos donde existe un gas de electrones (conductores), la interacción electrón fonón determina la resistencia eléctrica. Como en la teoría de Hartree Fock de electrones libres sólo la interacción electrón-fonón es considerada, se requiere que los electrones sean acoplados en pares con los fonones en el sentido de eliminar o compensar la interacción electrón-fonón en el intervalo completo de cero hasta la temperatura crítica. Esta es la forma de considerar pares de electrones que pueden moverse con un estado interno caracterizado por la energía de ligadura y, entonces, la resistencia eléctrica puede ser anulada totalmente. 13

4 La superconductividad en conductores de baja temperatura crítica es una propiedad de la materia que se presenta cuando la temperatura de los materiales es menor a cierto valor llamada temperatura crítica (T c ). Se caracteriza por lo siguiente: Pérdida total de la resistencia del material. Efecto Meissner (un superconductor flota sobre un imán). Salto en el calor específico. Gap en el espectro electrónico. A T = O K el sonido no se atenúa dentro de un superconductor. Tunelamiento (efecto Josephson). Vórtices de Abrikosov. Un hito en la evolución teórica del fenómeno lo constituye la teoría de Vitaly Ginzburg 4 y Lev Landau 5, desarrollada en la URSS en la década de los cincuenta. Al igual que la de London, es una teoría completamente fenomenológica y se construyó sobre la base de la teoría de Landau para transiciones de fase de segundo orden, que había tenido éxito en transiciones entre fases cristalinas de un sólido. El problema que presentaba la teoría de London es que trataba a los electrones en forma clásica y la distancia a la cual puede penetrar el campo llamada, longitud de penetración, era independiente, del campo magnético. Pippard 6 demostró experimentalmente la dependencia del campo y la teoría de Ginzburg-Landau daba un marco más general a esos problemas. Una cantidad importante encontrada es la llamada longitud de coherencia ξ que junto a la longitud de penetración posibilitó la clasificación del superconductor en tipo 1 y 2. Por otro lado, en 1959 Gorkov 7 demostró que la teoría de Ginzburg-Landau es el límite de la teoría BCS bajo la condición de que Tc T y λ ξ. Hasta ese momento no se tenía una descripción microscópica del superconductor. Con el advenimiento de la teoría cuántica del campo y su aplicación al estado sólido, 14

5 la manifestación del efecto isotópico, así como conceptos clave tales como la superficie de Fermi, generaron una serie de trabajos que culminaron en la década de los cincuentas con resultados importantes y cruciales en el posterior desarrollo del tema. El problema de la interacción electrón-fonón en metales fue tratado por Fröhlich 8, quien demostró casi al mismo tiempo que Cooper, que era posible una interacción atractiva entre electrones. En ese tenor aparece la idea de los pares de Cooper, consistente en dos electrones ligados en un estado de menor energía que la de los dos electrones libres, por encima del mar de Fermi, y que interactúan atractivamente. Estas ideas fueron semilla para fundar la teoría BCS por John Bardeen, Neil Cooper y Robert Schrieffer en Lo importante de su contribución fue la obtención de ecuaciones que podían compararse con resultados experimentales. A partir de las ecuaciones de los pares de Cooper y las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica, se establece una teoría que mereció el premio Nobel de 1972, tiempo en que los experimentales corroboraron el modelo. Los resultados que se generan a la luz de la teoría BCS son la energía de condensación, que es la diferencia entre el estado normal y el superconductor, y se establece que sí corresponde a un estado de menor energía. También se obtuvieron en ese trabajo las expresiones universales relacionadas con la brecha (el gap) de energía del espectro electrónico, la temperatura crítica y el calor específico. Sin embargo, se dice que la teoría BCS es un modelo aproximado, dado que supone un potencial constante, y por tanto hay un error del 15% o más en predecir las temperaturas críticas. También supone una atracción atractiva universal para el total de electrones que contiene el material, y eso no corresponde a materiales compuestos o de varios átomos. También es necesario señalar que sus modelos son para el caso de acoplamiento débil, que es para un valor pequeño de la interacción electrón-fonón, esto es, cuando kt B ω h D, donde h D ω es la energía de Debye. 15

6 Ya en la década de los sesenta GM Eliashberg 9, también de la URSS, propone una solución exacta al problema y lo generaliza al acoplamiento fuerte. Su éxito se debió a que logró completar y extender el rango de aplicaciones de la teoría BCS, usando lo esencial de la teoría, principalmente la formación de pares de Cooper vía interacción electrón-fonón. Dicho modelo utiliza funciones de Green y diagramas de Feynman para establecer unas ecuaciones no lineales, cuya posterior solución numérica logró reproducir las relaciones universales de la teoría BCS, la termodinámica del estado superconductor, así como explicar la desviación del campo magnético crítico respecto a la temperatura en superconductores convencionales como el Pb y el Hg. El desarrollo teórico anterior permitió estudiar la posibilidad de obtener pares de electrones correlacionados como una nueva cuasi-partícula que se forma cuando electrones interactuando entre sí, a través de un potencial coulombiano, y a su vez con los fonones en un material conductor, que al llegar a la temperatura crítica se convierte en superconductor 10. De esta manera se representan los operadores de creación y aniquilación de los fonones como combinación lineal de productos de operadores de creación y aniquilación de los electrones. Lo anterior lleva a corregir y reinterpretar el hamiltoniano de la BCS de una mejor forma. Otra aportación reportada se basa en utilizar el hamiltoniano H BCS para obtener la expresión de la temperatura crítica 11. La ley de dispersión del par es calculada y se discute una interpretación más correcta. En este sentido, los cálculos utilizan la teoría del campo autoconsistente. La idea es que la energía del par y la interacción del electrón-fonón en un material superconductor, se consideren en el hamiltoniano sistema antes y después de llegar a la temperatura crítica. Arriba de T c se recupera la energía cinética del electrón libre. La expresión obtenida para T c es compatible con la fórmula de McMillan, que es una solución analítica de las ecuaciones linealizadas de Eliashberg. La expresión para la variación del gap es deducida como una función de la temperatura y es evaluada para el superconductor diboruro de magnesio, MgB 2, 16

7 luego es comparado contra otros resultados teóricos y experimentales. El diboruro de magnesio se sintetizó por primera vez en 1953, pero no fue hasta 2001 que se descubrieron sus propiedades superconductoras. Su bajo costo y el conocimiento de su comportamiento microscópico lo hace un superconductor interesante. La conclusión fundamental se basa en el hecho de que después que la BCS fuera establecida, muchos trabajos se orientaron a realizar correcciones a los modelos para obtener la temperatura crítica. Para ello se usaron técnicas de muchos cuerpos y funciones de Green, enfocadas a determinar el espectro de energía. Sin embargo no hay trabajos dedicados a calcular otras magnitudes físicas basadas en la ley de dispersión, la cual tiene diferentes puntos de vista. El contenido de este trabajo inicia con una discusión general del problema de un sistema de muchas partículas y la expresión de fermiones y bosones en sistemas interactuantes. Se resuelve la ecuación de Schrödinger y se describe la teoría de Hartree-Fock. En el segundo capítulo se aborda la teoría BCS en forma detallada con el objeto de entender el modelo microscópico de la superconductividad. Se generan las ecuaciones universales y se plantean las limitaciones del mismo. En el capítulo tercero se ilustra una síntesis de la teoría de Eliashberg y se obtienen las ecuaciones más importantes para el acoplamiento fuerte. En el capítulo cuatro se presenta el modelo físico propuesto en la determinación del hamiltoniano de la BCS, a partir de un manejo nuevo en los operadores de Bose y de Fermi. Por último, se ilustra la obtención de la ecuación de Eliashberg-McMillan desarrollada desde la ley de dispersión y la teoría del campo autoconsistente (Figura 1). En los apéndices se hace referencia a los modelos fenomenológicos como es el caso de las propiedades termodinámicas, electrodinámicas, pariones y la teoría de Ginzburg-Landau, teoría de Pippard y hamiltoniano de Frölich. En las conclusiones se presentan las perspectivas del trabajo teórico, basado principalmente en hacer comparaciones y validaciones de los analísis aquí 17

8 propuestos, recomendar el uso la grinistica para el modelo, investigar la relación con la llamada generalización del condensado de Bose Einstein y una mención sobre la problemática para pronosticar la temperatura crítica de los materiales superconductores. Al final se hace una reflexión sobre las potencialidades y obstáculos de esta fascinante área de la física contemporánea. 18

9 Figura 1. 19