III. El Gas Ideal clásico

Transcripción

1 III. El Gas Ideal clásico Función de partición Ecuación de estado Energía interna y calor específico Entropía (Sackur-Tetrode) Paradoja de Gibbs Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

2 Función de partición para una partícula en una caja iveles de energía de una partícula de masa M en una caja cúbica de lado L son: ħ π E n n n ML = ( + + ) i x y z En equilibrio térmico a temperatura T, la función de partición es: Z = e = e = e e e = Z x y z x y z x y z Enx, ny, nz ( ) kt µ nx+ ny+ n z µ n µ n x y µ nz 3 x ( n, n, n ) ( n, n, n ) n n n donde Z x = Z y = Z z son las funciones de partición en una dimensión y Para poder sumar, aproximamos la suma por una integral (*): Z x ħ π n x /3 ML kt µ x π Z = e e dx = n x 0 Z y Z z µ = ħ µ π MLkT 3/ 3/ π MkT Z( VT, ) = 4µ = πħ V (*) Esto es válido si la separación entre niveles es pequeña en relación a kt E µ (nx + ) kt Cual es el orden de magnitud de µ a temperauta ambiente? Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

3 Función de partición para partículas distinguibles Un estado de partículas queda determinado por vectores de componentes enteras. La energía total es la suma E = E La función de partición de partículas no interactuantes (*) es simplemente estados del estados del estados del atomo atomo atomo j= n j = ( n, n, n ) j x y z j E Ej E E E E kt kt kt kt kt kt Z e e e e e e = = = = = Z estados n, n n j= n n n n 3 / MkT Z ( VT, ) = V π ħ Para pensar: Cuánto vale Z para un mol de He en condiciones normales (P=atm, T=0 C)? tiene significado físico este número? (*) Las partículas no interactuantes no se ven. Es como tener cada átomo por si sólo en la caja: x x... = Estados del átomo Estados del átomo Estados del átomo 3 Estados del átomo Estados del gas Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 3

4 Partículas idénticas: Son siempre distinguibles? Caso clásico: En una interacción (choque) entre dos bolas de billar la identidad de los participantes se mantiene en todo momento. Las partículas clásicas idénticas son distinguibles. t Caso cuántico: En una interacción entre dos átomos iguales, los efectos de interferencia entre las ondas de materia asociadas, hacen imposible distinguir quien es quien. Las partículas cuánticas idénticas son fundamentalmente indistinguibles. t?? Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 4

5 Como afecta la indistinguibilidad a Z? Se puede escribir la función de partición (para partículas distinguibles) como µ n µ n n n n Z = g e g e g e n n n =,,, n n n g n, n,, n e µ ( n + n + + n ) µ n (,,, ) n = n + n + n j x j y j z j g nj = numero de estados con energia Ej µ = ħ Cada término de esta suma esta caracterizado por un vector de componentes enteras. π MLkT ( n, n,, n ) Si las partículas son indistinguibles, el intercambio de las etiquetas (i,j) que identifican a dos partículas cualesquiera no produce un estado nuevo. En el vector de componentes hay! intercambios posibles entre pares de partículas, que no corresponden a nuevos estados. La función de partición se corrige entonces por este factor: Gas ideal, partículas indistinguibles 3 / MkT Z ( VT, ) = V! π ħ Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 5

6 Energía interna y Calor Específico La energía interna de un sistema con función de partición Z es: U = ln Z kt T Para el gas ideal: 3 Mk 3 lnz = ln lnt lnv ln! + + π ħ y resulta U = 3 kt C V U = = T V 3 k Resultados ya conocidos para el gas ideal. Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 6

7 Ecuación de Estado (Presión) La presión P se obtiene de la función de partición Z F ln Z P = = kt V V T T Para el gas ideal: P lnv kt = kt = V V Se obtiene la ecuación de estado PV = kt Para pensar: ) Se pueden obtener las expresiones para U(T) y P(V,T) partiendo sólo de los principios de la Termodinámica? ) Son diferentes estas expresiones si las partículas del gas son distinguibles? 3) Muestre que el calor específico a P=cte. es 5kT/. Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 7

8 La entropía se obtiene a partir de Entropía F S = = ktln Z T T V Gas ideal: (ecuación de Sackur-Tetrode) 3 3 S = k lnt + lnv+ ln kln! + π ħ particulas indistinguibles Para pensar: ) Halle la expresión de la entropía S cuando el gas está formado de partículas distinguibles. ) Es extensiva la función S(,V,T)? 3) Muestre que si el gas está formado por partículas indistinguibles, S es extensiva. Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 8

9 Indistinguibilidad: La entropía es extensiva 3 3 Para particulas distinguibles: S = k lnt + lnv + + ln π ħ Si se duplica el tamaño del sistema: se duplica S? V V o! 3 3 S k lnt + lnv + + ln El término lnv π ħ no es extensivo. 3 3 Teniendo en cuenta S = k lnt + lnv + ln ln! la indistinguibilidad + k π ħ de las partículas: 3 V 3 k lnt + ln + + ln π ħ Ahora S es extensiva! 3 V 3 Mk S k lnt + ln + ln + π ħ Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 9 Aprox. Stirling ln! ln

10 S S Paradoja de Gibbs (partículas distinguibles) k 3 V 3 Mk = lnt + ln + ln + π ħ k 3 V 3 Mk = lnt+ ln + ln + π ħ Si se retira el tabique y las partículas son idénticas (M =M =M), resulta 3 3 S = k lnt + lnv + ln S S + > + π ħ + Para pensar: Gas Gas V/ / V/ / Reserva térmica T Absurdo, dado que sólo cambió el punto de vista. ) Muestre que si las partículas son diferentes, el aumento de entropía debido a la mezcla que tiene lugar al retirar el tabique es: S = S + S S = k ) Considere partículas idénticas indistinguibles y muestre como se resuelve la paradoja. ln Módulo de Mecánica Estadística Instituto de Física - Facultad de Ingeniería 0