El diferencial exterior

Transcripción

1 Capítulo 8 El diferencial exterior 1. El diferencial exterior En esta sección estudiaremos el operador diferencial entre formas. Definición 8.1. Sea ω una k-forma en R n, ω = ω dx. El diferencial dω es la k + 1-forma dada por (8.1 dω = dω dx. Cada dω es la 1-forma descrita en el ejemplo 7.3, dada por dω (v p = Dω (p(v, por lo que la definición (8.1 generaliza el diferencial de una función. Veamos primero un ejemplo explícito. Ejemplo 8.2. Sea ω la 1-forma en R 3 dada por ω = xydx y 2 dy + 3zdz. Entonces, dω es la 2-forma dω = d(xy dx d(y 2 dy + d(3z dz = (ydx + xdy dx (2ydy dy + (3dz dz = xdy dx = xdx dy. El siguiente ejemplo ya sea discutido anteriormente. Ejemplo 8.3 (Divergencia. Sea ω la 2-forma en R 3 dada por ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy. 125

2 El diferencial exterior Entonces dω es la 3-forma dω = dp dy dz + dq dz dx + dr dx dy = P Q dx dy dz + x y ( P = x + Q y + R z R dy dz dx + dz dx dy z dx dy dz. Nótese que la función componente de dω es precisamente la divergencia del campo vectorial (P, Q, R en R 3. La siguiente proposición enumera las propiedades básicas del diferencial. Proposición 8.4. Sean ω y η formas diferenciales en R n. 1. Si ωy η son k-formas, d(ω + η = dω + dη. 2. Si ω es una k-forma y η una l-forma, entonces 3. d 2 ω = d(dω =. d(ω η = dω dη + ( 1 k ω dη. 4. Si f : R n R m es diferenciable, d(f ω = f dω. Notamos que la parte (2 de esta proposición sólo depende del orden de ω y no del de η. Las partes (3 y (4 son de importancia fundamental en la teoría de integración, la cual estudiaremos en el siguiente capítulo. Demostración. La primera parte de la proposición se sigue directamente de la definición. Para la segunda parte, calcularemos d(ω η explícitamente. ( d(ω η = d ω η J dx dx J = d(ω η J dx dx J,J,J =,J (η J dω + ω dη J dx dx J =,J η J dω dx dx J +,J ω dη J dx dx J = dω η +,J ω ( 1 k dx dη J dx J = dω η + ( 1 k ω dη, donde hemos usado la proposicion 7.23 para cambiar el orden del producto dη J dx. La tercera parte también la verificaremos explícitamente. Sea ω = ω dx

3 2. Campos vectoriales y formas 127 una k-forma en R n. Entonces ( d(dω = d dω dx ( = d = = D i ω dx i dx d(d i ω dx i dx = D ji ω dx j dx i dx (D ij ω D ji ω dx i dx j dx =. i<j Para la cuarta parte, sea f : R n R m diferenciable y ω una k-forma en R m. Entonces ( d(f ω = d (ω fdf = d(ω f df y f dω = (f dω df, por lo que entonces es suficiente con demostrar que d(ω f = f dω. En la primera identidad hemos usado las partes (2 y (3 de la proposición, ya que d((ω fdf = d(ω f df + (ω f d 2 f = d(ω f df, ya que d 2 f =. De nuevo, esto se sigue por la regla de la cadena. Tenemos m d(ω f = D i (ω fdx i ( = (Dk ω f (D i f k dx i = k=1 m ( (Dk ω f n D i f k dx i = k=1 2. Campos vectoriales y formas m ( (Dk ω f df k = f dω. Haremos un paréntesis en nuestro estudio de formas diferenciales para estudiar la relación entre éstas y los campos vectoriales en R n, y de tal forma unificar, como habíamos prometido anteriormente, los operadores grad, curl y div en campos vectoriales en R 3. Primero, una breve discusión sobre productos internos y el espacio dual. Sea V un espacio vectorial real de dimension finita, dim V = n <, y V su espacio dual. k=1

4 El diferencial exterior Si V tiene producto interno (,, éste induce un isomorfismo natural entre V y V dado por u ϕu, donde ϕu(v = (u, v. En R n, con el producto punto como producto interno, este isomorfismo está dado por e j dx j, como lo habíamos discutido antes. Entonces, esto induce un isomorfismo natural entre campos vectoriales y 1-formas, definido de la siguiente forma. Si F : R n T R n, es un campo vectorial, entonces definimos donde ω F es la 1-forma dada por Explícitamente, si F está dado por entonces F ω F ω F (v p = F (p v. F (p = F 1 (pe 1 + F 2 (pe F n (pe n, ω F (p = F 1 (pdx 1 + F 2 (pdx F n (pdx n. Ejemplo 8.5 (Gradiente. Si f : R n R es diferenciable, su gradiente es el campo vectorial grad(f tal que ω grad(f = df. Entonces, el gradiente es el campo vectorial en R n cuyas componentes son las derivadas parciales de f. Para definir el rotacional y la divergencia de un campo, definimos primero la siguiente transoformación. Definición 8.6. Si ω = ω dx es una k-forma en R n, definimos la (n k- forma ω dada por ω = sgn(, Jω dx J, donde, para cada k-multiíndice, J es el (n k-multiíndice tal que ( 1 2 k k + 1 n (, J = i 1 i 2... i k j 1... j n k es la permutación tal que i 1 < i 2 <... < i k, y j 1 < j 2 <... < j k.

5 2. Campos vectoriales y formas 129 La trasformación ω ω es llamada la transformación estrella de Hodge. Para cada permutación σ, sgn σ es el signo de de σ. Por ejemplo, como el signo de ( σ = es 1, tenemos que (dx 1 dx 3 = sgn σdx 2 dx 4 = dx 2 dx 4. Ejemplo 8.7 (Divergencia. Sea F un campo. Entonces, la sucesión de aplicaciones F ω F ω F d( ω F resulta en una n-forma d( ω F = λdx 1 dx 2 dx n, donde el escalar λ es llamado la divergencia de F, denotada por div(f. Explícitamente, en R 3, dado F = (F 1, F 2, F 3, tenemos y entonces Por lo tanto Así que ω F = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz, ω F = F 1 dy dz F 2 dx dz + F 3 dx dy. d( ω F = ( F 1 x + F 2 y + F 3 dx dy dz. z div(f = F 1 x + F 2 y + F 3 z, por lo que esto generaliza la divergencia definida en la primera sección de este capítulo. En general, div(f = D i F i, para un campo F definido en R n (ejercicio 2. Ejemplo 8.8 (Rotacional. Si F es un campo en R n, el rotacional de F se obtiene de la suceción de aplicaciones F ω F dω F (dω F, y se denota por curl F. Entonces curl F es una (n 2-forma. En R 2, si F = (F 1, F 2, tenemos que d(ω F es el escalar (-forma curl F = F 2 x F 1 y,

6 13 8. El diferencial exterior expresión conocida en el cálculo vectorial en R 2. Para el caso R 3, también obtenemos la fórmula conocida (ejercicio 3, por lo que esta definición generaliza entonces el rotacional a campos vectoriales en R n. 3. El lema de Poincaré Sea ω una forma diferencial definida en un conjunto abierto A R n. Definición 8.9. Decimos que ω es cerrada si dω =. Decimos que es exacta si existe una forma diferencial η definida en A tal que ω = dη. Por la proposición 8.4, todas las formas exactas son cerradas, ya que, si ω = dη, entonces dω = d 2 η =. Sin embargo, no está claro si, a la inversa, todas las formas cerradas definidas en un conjunto abierto abierto A son exactas. Si A = R n, por ejemplo, esto es cierto. Ejemplo 8.1. Todas las 1-formas cerradas en R n son exactas. Sea ω = ω i dx i una 1-forma definida en R n tal que dω =. Como dω = dω i dx i = D j ω i dx j dx i = i<j (D i ω j D j ω i dx i dx j =, tenemos que D i ω j = D j ω i para todo i, j, ya que las distintas 2-formas dx i dx j son linealmente independientes. Ahora definimos la función f : R n R como f(x = ω i (txx i dt. Demostraremos que D j f(x = ω j (x para cada j. Tenemos que D j f(x = = ( D j ω i (txx i dt = ω j (txdt + ( D i ω j (txtx i dt, D j ω i (txtx i + ω j (tx dt

7 3. El lema de Poincaré 131 donde ya hemos usado el hecho que D i ω j = D j ω i. Como d dt ω j(tx = D i ω j (txx i, entonces, integrando por partes, D j f(x = = ω j (txdt + ω j (txdt + ω j (x t d dt ω j(txdt ω j (txdt = ω j (x. Ahora tenemos el ejemplo de una forma cerrada que no es exacta. Ejemplo Consideremos la 1-forma ω, definida en A = R 2 \ {}, ω = y x 2 + y 2 dx + x x 2 + y 2 dy. Recordemos que, en coordenadas polares, esta forma es igual a dθ. Es decir, si la función f es el cambio de coordenadas definido por el ejemplo 7.27, entonces f ω = dθ. Entonces, como d y f conmutan por la proposición 8.4, la forma es cerrada, lo cual también puede verificarse directamente. Sin embargo, ω no es exacta. Supongamos, por ejemplo, que ω = df para una función F : A R. Entonces como f ω = dθ, por lo que d(f f = d(f F = f df = dθ, F f = θ + k para algún k R. Por lo tanto, si x >, lím y y F (x, y lím F (x, y = 2π. + De aquí podemos concluír que F no puede estar definida en todo R 2 \ {}, y además ser continua en el eje real positivo. Podemos observar que el problema de este último ejemplo es el agujero en el origen. Aunque más adelante haremos preciso este concepto, podemos demostrar el siguiente teorema, que nos da un ejemplo de conjuntos donde toda forma cerrada es exacta. Recordemos que un conjunto A R n es estrella si existe x A tal que, para cada x A, la recta de x a x está contenida en A. Para hacer explícito el punto central x, diremos que A es estrella con respecto a x. Teorema 8.12 (Lema de Poincaré. Sea A R n un conjunto abierto estrella con respecto a. Entonces toda forma cerrada en A es exacta.

8 El diferencial exterior Demostración. Construiremos un operador ω Θω de k-formas definidas en A a (k 1-formas tal que Θ( = y (8.2 d(θω + Θ(dω = ω. Entonces, si ω es cerrada, dω = y d(θω = ω, por lo que concluiremos que ω es exacta. Sea ω = ω dx. Para simplificar la notación, si es un k-multiíndice, denotaremos por α, 1 α k, el (k 1-multiíndice formado al remover de la entrada i α, es decir α = (i 1,..., i α 1, i α+1,..., i k. Dada la k-forma ω en A, definimos entonces la (k 1-forma Θω(x = ( 1 α 1 x iα t k 1 ω (txdt dx α. α=1 La (k 1-forma Θω está bien definida porque la recta de a x A está contenida en A, por lo que ω está definida en dicha recta. Es claro que si ω =, entonces Θω =. Verificamos entonces (8.2. Calculamos d(θω = ( 1 α 1 d (x iα α=1 t k 1 ω (txdt dx α. Ahora bien, d (x iα t k 1 ω (txdt = ( D j x iα ( = + x iα t k 1 ω (txdt dx j t k 1 ω (txdt dx iα t k D j ω (txdt dx j,

9 3. El lema de Poincaré 133 así que d(θω = = + + ( 1 α 1( α=1 k ( 1 α 1 α=1 t k 1 ω (txdt dx iα dx α x iα t k D j ω (txdt dx j dx α t k 1 ω (txdt dx α=1 ( 1 α 1 x iα t k D j ω (txdt dx j dx α, donde hemos usado el hecho que dx iα dx α = ( 1 α 1 dx. Por el otro lado, dω = dω dx = D j ω dx j dx. Entonces Θ(dω = (x j t k D j ω (txdt dx + ( 1 α x iα t k D j ω (txdt dx i dx. α α=1 Así que d(θω + Θ(dω = Por lo tanto, ( k t k 1 ω (txdt + x j t k D j ω (txdt dx. d(θω + Θ(dω = = d ( t k ω (tx dt dx dt ω (x dx = ω.

10 El diferencial exterior Ejercicios 1. Sea f : R n R diferenciable. Muestra que grad f(p es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de f en el punto p. (Sugerencia: Nota que (grad f(p v p = Df(pv, para v p R n p. 2. Sea F un campo vectorial en R n, y div F su divergencia, es decir (div F dx 1... dx n = d( ω F, donde ω ω es la operación estrella de Hodge y ω F es la 1-forma inducida por F vía el isomorfismo natural R n p (R n p. Muestra que div F = D j F j. 3. Sea F un campo vectorial en R n, y curl F su rotacional, es decir la (n 2-forma curl F = (dω F. Muestra que curl(grad F =. 4. En el caso n = 3, el rotacional curl F es una 1-forma que a su vez puede ser identificada con un campo vectorial, también denotado por curl F. a Muestra que curl F = (D 2 F 3 D 3 F 2 dx + (D 3 F 1 D 1 F 3 dy + (D 1 F 2 D 2 F 1 dz. b Muestra que div(curl F =. 5. Sea ω = fdx una 1-forma en [, 1] tal que f( = f(1. Muestra que existe un único λ R tal que ω λdx = dg, donde g es una función que satisface g( = g(1.